§ 1.4 Полное ускорение материальной токи. Нормальное и тангенциальное ускорение.

Вектор ∆υ можно разложить на две составляющие: - вдоль касательной, - вдоль нормали рис.1.4). Из рисунка видно, что - определяет изменение скорости по модулю, вторая составляющая, характеризует изменение скорости по направлению за промежуток времени Δt

(1.14)

Т

Рис.1.4

аким образом, полное ускорение имеет две взаимно-перпендикулярные составляющие: а_τ — тангенциальное, а_n — нормальное или центростремительное (рис. 1.5).

Тангенциальное ускорение а_τ, направленное по касательной к траектории, определяет быстроту изменения модуля скорости. Модуль тангенциального ускорения равен производной модуля скорости по времени:

(1.15)

Нормальное ускорение а_n, характеризует изменение скорости по направлению и совпадает с нормалью к траектории к центру ее кривизны. Модуль нормального ускорения

(1.16)

[R — радиус кривизны траектории].

Окончательно для вектора ускорения запишем

(1.17)

а его модуль равен

(1.18)

В заключении рассмотрим несколько случаев:

а) а_τ =0, а_n =0. Так как а_n =0, то из (1.16) следует, что R→ ∞, т.е. траектория движения – прямая линия. Так как а_τ =0, то из (1.15) имеем υ = const, что соответствует равномерному прямолинейному движению;

б) а_τ = const, а_n =0. Движение прямолинейное (а_n =0). Скорость изменяется пропорционально времени (). При а_τ >0 движение равноускоренное, при а_τ < 0- равнозамедленное;

в) а_τ = 0, а_n = const. Движение равномерное (а_τ =0), υ = const. Из (1.16) следует, что при а_n = const R= const. Траекторией движения является окружность. В этом случае ускорение иногда называют центростремительным.

г) а_τ = const, а_n = const. Из первого соотношение следует, что скорость изменяется пропорционально квадрату времени, а означает, что R изменяется пропорционально квадрату времени. Траектория движения будет спираль.

§ 1.5 Кинематика вращательного движения абсолютно твёрдого

тела вокруг неподвижной оси.

Абсолютно твёрдым телом называют систему материальных точек, расстояния между которыми остаются неизменными. Это понятие соответствует некоторой модели, в действительности абсолютно твёрдых тел нет, так как любое тело способно к деформации.

Вращательное движение - это такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Почти любое криволинейное движение можно представить как последовательность движений, проходящих по дугам окружностей.

Наиболее простой случай вращательного движения абсолютно твёрдого тела – вращение относительно неподвижной оси. Пусть радиус окружности, описываемой некоторой точкой, равен r, а ее линейное перемещение - dS. Тогда угловое перемещение dφ (угол поворота радиуса-вектора)

или dS = r dφ (1.19)

Кинематическими характеристиками вращательного движения кроме угла поворота являются угловая скорость ω и угловое ускорение β.

Если за промежуток времени Δt тело поворачивается на угол Δφ, то быстрота его вращения характеризуется угловой скоростью.

Угловая скорость равна первой производной от угла поворота тела по времени:

(1.20)

Вектор ω направлен вдоль оси вращения, его направление можно определить, пользуясь правилом правого винта (рис. 1.5). Если направление вращения винта совпадает с вращением тела, то конец винта укажет направление вектора ω.

Если ω = соnst, то вращательное движение называют равномерным.

Время одного полного поворота тела вокруг оси вращения называют периодом обращения Т, а величину ν, обратную периоду, — частотой:

(1.21)

За один период угол поворота радиуса-вектора точки равен 2π рад, поэтому 2π = ω Т, или

(1.22)

• Единица угловой скорости — радиан в секунду (рад/с).

Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением. Если за промежуток времени Δt угловая скорость получает приращение Δω.

Угловое ускорение равно первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота радиуса-вектора по времени:

(1.23)

Угловое ускорение также является векторной величиной. При ускоренном вращении β совпадает с вектором ω, при замедленном вращении β противоположно ω.

• Единица углового ускорения — радиан в секунду в квадрате (рад/с²).

Если угловое перемещение всех точек абсолютно твердого тела одинаково, то все точки тела имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение в данный момент времени.

Линейные характеристики — перемещение, скорость, ускорение — различны для разных точек твердого тела. Связь между линейными и угловыми характеристиками движущейся точки можно получить, используя равенство 1.19.

Дифференцируя это равенство по времени, получаем

или r (1.24)

Дифференцируя это равенство по времени дважды, получаем соотношение между тангенциальным и угловым ускорениями:

или a = r·β (1.25)

Связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:

S= rφ; υ=r·ω; a_τ = r·β a_n = r·ω² . (1.26)

Формулы кинематики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:

• Уравнение равномерного вращательного движения

(1.27)

• Зависимость угловой скорости от времени в равнопеременном вращательном движении

(1.28)

• Уравнение равнопеременного вращательного движения

(1.29)