§ 1.2 Траектория, путь и перемещение

При движении частицы конец радиус-вектора в выбранной системе отсчёта описывает линию – траекторию движения. Траектории имеют разную форму. О ней иногда удаётся судить по видимому следу, оставляемому движущимся телом. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение, движение по окружности, криволинейное движение и т.п.

Поступательным движением твёрдого тела называется движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым траекториям. В этом случае отрезок, соединяющий две любые точки тела, перемещается параллельно самому себе. Пример такого движения- перемещение кабинок аттракциона «колесо обозрения», т.е. поступательное движение необязательно является прямолинейным.

Если траектория плоская, т.е. все её точки находятся в одной плоскости, то её уравнением будет зависимость y=f(x), где y и х – координаты движущейся частицы в выбранной системе отсчёта.

Длину траектории называют пройденным путём S (рис.1.2). Путь является скалярной величиной и потому никакой информации о направлении движения не содержит.

Перемещениемчастицы называют вектор, проведённый из начального положения частицы в выбранной системе отсчёта в её конечное положение в той же системе отсчёта (рис.1.2). Легко заметить, что для любых двух точек 1 и 2 соединяющее их перемещение может быть представлено в виде разности радиус-векторов этих точек:

(1.3)

Модуль вектора перемещения |Δr| равен:

(1.4)

При прямолинейном движении модуль перемещения и пройденный путь совпадают, т.е. |Δr|=S.

§ 1.3 Скорость и ускорение при поступательном движении

Рассмотрим движение частицы на протяжении интервала времени Δt содержащего интересующий нас момент. Отношение перемещения, совершённого частицей за данное время, к этому интервалу времени называют средней скоростью движения на рассматриваемом участке траектории.

(1.5)

С

корость тела в любой момент времени (или в любой точке траектории) называетсямгновенной. Если мы будем уменьшать время Δt, перемещение Δr при этом тоже будет уменьшаться. Предел отношения вектора перемещения к интервалу времени, если интервал времени стремится к нулю, равен мгновенной скорости материальной точки в данный момент времени:

(1.6)

В математике такой предел называют производной.

Отсюда следует определение скорости: скорость – есть первая производная (векторная производная) от радиуса-вектора по времени.

(1.7)

где - проекции вектора скорости на оси.

Рис.1.3

Модуль скорости равен

(1.8)

При Δt→0 хорда М₁М₂ стремится к касательной, поэтому вектор мгновенной скорости υ направлен по касательной к траектории движения материальной точки в сторону движения (рис. 1.3). Вектор средней скорости направлен вдоль хорды М₁М₂ в ту же сторону, что вектор перемещения. Так как модуль вектора |Δr | равен длине dS малого участка траектории (пути dS), то

(1.9)

т. е. модуль скорости равен первой производной пути по времени.

Тогда пройденный путь равен

(1.10)

Единица скорости—метр в секунду (м/с). 1м/с = 3.6 км/ч

Скорость тела с течением времени может изменяться. Величиной, характеризующей быстроту изменения скорости, является ускорение. Ускорение равно пределу, к которому стремится отношение изменения скорости к промежутку времени Δt, за который это изменение произошло, когда Δt→0.

Иначе говоря, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени или второй производной радиуса-вектора по времени.

(1.11)

или

(1.12)

где - координаты вектора ускорения.

Модуль ускорения равен

(1.13)