Примеры решения задач

Пример 2.1. В вагоне, движущемся горизонтально с ускорением 2м/с², висит на шнуре груз массой 200г. найти силу натяжения шнура и угол отклонения его от вертикали.

Решение:

На груз независимо от состояния движения действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения (рис.2.16).

В покоящемся или равномерно движущемся вагоне обе силы коллинеарные и их векторная сумма равна нулю. При движении вагона в системе координат, связанной с Землёй, второй закон Ньютона (для груза) имеет вид

В проекциях

ma_x=ma=Tsinαma_y=0= Tcosα-mg

решаем систему уравнений

разделив первое уравнение на второе, получим , откуда

Возведя оба уравнения системы в квадрат, определим силу натяжения нити:

Пример 2. 2. Невесомый блок укреплен в вершине наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а =30°. Гири 1 и 2 одинаковой массы m₁ = m₂ = 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т, если коэффициент трения гири 2 о наклонную плоскость μ= 0,1. Трением в блоке пренебречь.

Решение

Пусть m₁ =m₂ = m. Запишем уравнение второго закона Ньютона для первой и второй гири в проекциях на направление их движения с учетом T₁ =T₂ = T

Получим:

m₁ а = m₁g - T (1)

m₂ а = T-m₂g sin - F_тр (2) 0 = N - m₁g cos  (3)

Из уравнения (3) следует, что N = m₁g cos. А так как F_тр =  N, то

F_тр =  m₁g cos.

Подставив это выражение в уравнение (2), получим:

m₁ а = m₁g - T (4)

m₂ а = T-m₂g sin -  m₁g cos (5)

Сложим левые и правые части уравнений (4) и (5)

( m₁ + m₂ ) а = m₁ g – m₂g ( sin +  cos )

Отсюда

.

Пример 2.3. На покоящуюся частицу массой m в момент t = 0 начала действовать сила F= a t(τ-t), где a – постоянная, τ - время действия силы. Найти путь, пройденный телом за время действия силы.

Решение

Запишем уравнение движения тела

Отсюда

Постоянная интегрирования равна нулю

Пример 2.4. На небольшое тело массы m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости в момент t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F=at , где a - постоянная. Направление этой силы всё время составляет угол α с горизонтом (рис.2.18). Найти скорость тела в момент отрыва от плоскости.

Решение

Уравнение движения тела имеет вид

В проекциях на направление движения (ось 0Х)

Отсюда скорость тела в момент отрыва запишем в виде

где τ- момент отрыва тела от горизонтальной поверхности.

Отрыв тела наступает в момент, когда сумма проекций сил, действующих на него, на ось У станет равной нулю, т.е.

Отсюда находим момент времени, когда происходит отрыв

Скорость в момент отрыва будет равна:

Пример 2.5. Тело массой 1кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением S=2t²+4t+1. Определите: а) работу силы за 10с с начала её действия; 2) зависимость кинетической энергии от времени.

Решение

Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл:

(1)

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна

F=ma или (2)

Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим находим

(3)

(4)

Тогда

(5)

Из выражения (3) определим

dS=(4t+4)dt (6)

Подставим (5) и (6) в уравнение (1) , получим

По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10с

Кинетическая определяется по формуле

Ответ: А=960Дж; Т=m(8t²+16t+8)

Пример 2.6. Самолет Ил-62 имеет четыре двигателя, сила тяги каждого 103 кН. Какова полезная мощность двигателей при полете самолета со скоростью 864 км/ч?

Решение

Механическая работа при совпадении направлений вектора силы и перемещении равна

A = Fs.

Отсюда для механической мощности имеем

.

Так как при равномерном прямолинейном движении

, то N = Fυ;

N = 240 м/с  1,03  10⁵ Н  2,5  10⁷ Вт = 25 000 кВт.

Пример 2.7. На частицу, движущуюся горизонтально, действует сила которая зависит от пройденного пути как . Найти работу, которую совершила эта сила на участке отдо.

Решение

В данном случае F является величиной переменной, зависящей от пути. Работу этой силы найдём как

Пример 2.8. Потенциальная энергия растянутой пружины имеет вид

. Найти силу, с которой пружина действует на руку.

Решение

Сила упругости является консервативной силой. Направим ось Х вдоль оси пружины. Тогда . Знак минус указывает на то, что сила F направлена в сторону, противоположную смещению, т.е. является силой притяжения.

Пример 2.9. Потенциальная энергия частицы в некотором двумерном силовом поле имеет вид U= αx²+βy², где α и β - положительные постоянные. Какую форму имеет поверхность, для которой модуль вектора силы F = const .

Решение

Используя связь между силой и энергией в виде (1.20), находим проекции силы

F_x=-2αx; F_y=-2βy

Модуль силы

Найдём поверхность, для которой F = const

Поверхность, для которой F = const, имеет форму эллипса.

Пример 2.10. Вычислите работу силы упругости при изменении деформации пружины жесткостью 200 Н/м от х₁ = 2 см до х₂ = 6 см.

Решение

По закону Гука, проекция вектора силы упругости на ось ОХ, направленную по вектору перемещения конца пружины при ее деформации, равна

(F_упр)_x = -kx.

Так как сила упругости изменяется пропорционально деформации, то для вычисления работы можно найти среднее значение ее проекции при изменении деформации пружины от 2 до 6 см:

;

= - 8 Н.

Работа силы упругости равна произведению модуля среднего значения силы на модуль перемещения и косинус угла между этими векторами:

A = F_{упр. ср} (x₂ – x₁) cos .

При растяжении пружины вектор силы упругости направлен противоположно вектору перемещения, поэтому угол  между ними равен 180, а cos  = -1. Тогда работа силы упругости будет равна

А = 8 Н  4  10^-2 м  (-1) = -0,32 Дж.

Работа силы упругости может быть найдена и по изменению потенциальной энергии пружины:

;

= - 0,32 Дж.

Пример 2.11. Горизонтально катящийся шар m массой испытывает абсолютно неупругое столкновение с таким же неподвижным шаром. Найти уменьшение кинетической энергии системы. Скорость первого шара до удара υ. Энергию вращения шаров не учитывать.

Решение

Система (шар+шар) является замкнутой и поэтому при решении можно воспользоваться законом сохранения импульса. Импульс системы до удара Р₁ = m·υ, после удара Р₂ = 2 m·υ₂, где υ₂ - скорость движения шаров (удар абсолютно неупругий, следовательно, после удара шары движутся вместе). Итак,

m·υ = 2 m·υ₂

Отсюда находим скорость шаров после удара . Уменьшение кинетической энергии найдём как разность начальной и конечной кинетической энергии найдём как разность начальной и конечной кинетической энергии системы

Пример 2.12. Пуля, массой m₁ = 10 г, летящая горизонтально, абсолютно упруго соударяется с шаром массой m₂ = 6 кг, подвешенным на легком стержне длиной  = 1 м, и отскакивает в противоположном направлении. В результате удара шар отклоняется от вертикали на угол α = 40°. Найти скорость пули до и после удара. Массой стержня пренебречь.

Решение

В горизонтальном направлении на пулю и шар внешние силы не действуют, поэтому сумма проекций импульсов пули и шара на ось Ох (рис. 16, а) остается постоянной:

m₁υ₁ = - m₁и₁ + m₂и₂ (1)

где и₁, и₂ – модули скоростей соответственно пули и шара после удара.

Поскольку удар абсолютно упругий, то суммарная механическая энергия пули и шара сохраняется:

(2)

На основании закона сохранения энергии имеем: ,

где h - высота, на которую поднялся шар.

Как видно из рис. 16 h = ℓ- ℓ cos α = ℓ (1 - cos α ). Подставив это выражение в последнее уравнение, получим:

. (3)

Нами получена система трех уравнений с тpемя неизвестными υ₁, и₁, и₂. Для решения этой системы удобно переписать уравнения (1.21) и (1.22) так:

m₁(υ₁ + u₁) = m₂u₂ (4)

(5)

Разделив теперь почленно уравнение (1.25) на уравнение (1.24), получим:

υ₁ – u₁ = u₂. (6)

Умножив обе части этого уравнения на m₁ и после этого сложив его почленно с уравнением (1.21), получим: 2m₁υ₁ = u₂(m₁ + m₂), откуда ,

или, учитывая выражение (1.23),

. (7)

На основании уравнений (1.23), (1.26) и (1.27) получим:

. (8)

Подставив в формулы (1.27) и (1.28) числовые значения величин и произведя вычисления, получим: υ₁ = 631 м/с, и₁ = 629 м/с.

Пример 1.26. Атомное ядро с массой m и кинетической энергией T сталкивается с другим ядром, которое до столкновения покоилось. Происходит ядерная реакция, в результате которой образуются две частицы с массами m₁ и m₂, причём на реакцию затрачивается энергия Q. При каких условиях скорости образовавшихся частиц будут направлены вдоль скорости падающей частицы.

Решение

Пусть Р - импульс падающей частицы, Р₁ и Р₂ –импульсы образовавшихся частиц. Если все импульсы имеют одинаковое направление, то

Р = Р₁ + Р₂ . Кроме того,

Учитывая, что , исключаем из полученных уравнений Р₂ и получаем квадратное уравнение относительно Р₁. Из условия вещественности корней получаем искомое условие

.

79. Пушка массы М стоит на гладкой горизонтальной поверхности и в момент t = 0 выстреливает снарядом массы m под углом  к горизонту, при этом снаряд вылетает со скоростью υ₀. Найти, какую скорость приобретает пушка после выстрела.

Решение:

На систему пушка – снаряд действуют две внешние силы: сила тяжести и сила реакции опоры со стороны горизонтальной поверхности. Обе силы направлены по вертикали. Система не замкнута – писать закон сохранения импульса в векторном виде нельзя. Однако, так как проекция внешних сил на горизонталь равна нулю, можно записать закон сохранения импульса только для его проекции на это направление, то есть на ось Ох:

0 =  Ми + m υ ₀ cos .

Из последнего соотношения легко находится скорость пушки

и = .

83. Найти скорость вылета снаряда из пружинного пистолета массой m при выстреле вертикально вверх, если жесткость пружины равна k, а сжатие равно х.

Решение

Сжатая пружина обладает потенциальной энергией, которая расхордуется на совершение работы по преодолению силы тяжести снаряда и сообщению ему кинетической энергии. Потенциаьная энергия пружины равна работе переменной силы упругости на перемещении х:

F_упр = -kx; ;

;

;

.