21 Http://joxi.Ru/qmtgUhjKtja2asPky84

22

Теорема о промежуточном значении (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что если непрерывная функция, определённая на вещественном интервале, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть такжеи без ограничения общности предположим, чтоТогда для любогосуществуеттакое, что.

Доказательство  

Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезкеи,Покажем, что существует такая точка, чтоРазделим отрезокточкойна два равных по длине отрезка, тогда либои нужная точканайдена, либои тогда на концах одного из полученных промежутков функцияпринимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке, либо получим последовательностьвложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что

Пусть - общая точка всех отрезков (согласнопринципу Кантора, она существует и единственна) ,Тогдаи в силу непрерывности функции

Поскольку

получим, что 

23 Непрерывность обратной функции

Пусть -- непрерывная монотонная функция,,. Тогда обратная кфункциянепрерывна на отрезке.

        Доказательство.     Во-первых, заметим, что если ,, то.

Во-вторых, пусть ; рассмотрим функцию, которая определена при. Очевидно, что-- непрерывная нафункция, поэтому она принимает наименьшее значениев некоторой точке:

Таким образом, если , то, то есть если, то. Последнее утверждение можно переформулировать так: для любого числанайдётся число, такое что привыполняется неравенство. (При этом,,,.) Получили, что функцияудовлетворяет определению равномерной непрерывности на отрезке; тем самым доказано утверждение теоремы.

24Теорема (о разрывах монотонной функции)

http://joxi.ru/esnGUhjKTJA9ASX9mGQ

25Теорема Кантора. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a,b]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Надо доказать:

Противоположное утверждение:

1. Построение последовательностей.

Возьмем любую последовательность _n, которая монотонно убывает до нуля, т.е.

₁>₂>₃>…_n0, n

Тогда для каждого _n

Перебирая все _n мы получим две последовательности {x_n} и .

2. Выделение сходящихся подпоследовательностей.

Рассмотрим последовательность {x_n}. Она ограничена, т.к. a x_n b. По лемме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность , т.е. . Заметим, что c[a,b] в силу замкнутости [a,b]. А что можно сказать о подпоследовательности ? Т.к. , то

.

Но так как а то по теореме “о двух милиционерах” отсюда следует, что также , т.е. подпоследовательность сходится к тому же пределу c, что и .

3. Сведение к противоречию.

Рассмотрим теперь последний квантор

Переходя к пределу k и учитывая непрерывность функции y=|x|, получим:

 

В силу непрерывности f(x) , так что получаем, что

|f(c)-f(c)| 

т.е. получаем, что 0. Это противоречит квантору , где строго больше 0.

http://joxi.ru/ScrGUhjKTJBOAdh4RuA

26КОМПАКТНОЕ МНОЖЕСТВО

- подмножество Мтопологич. пространства Xтакое, что каждая бесконечная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к нек-рой точке х ₀ пространства X. Если то Мназ. компактным в себе множеством. Оно является компактным пространством в индуцированной из Xтопологии. Обратно, всякое К. м. метрич. пространства является в такой топологии компактным пространством. Множество, замыкание к-рого - К. м., наз. относительно компактным множеством.

27Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал(линейная часть приращения функции.) (в данной точке).

28 (дифференцирование сложной функции). Пусть  функция x = (t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = (t). Тогда сложная функция y = f((t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула

(f((t)))' = f'(x)'(t).

(3)

Доказательство. Зададим x = (t) отличное от нуля приращение  t. Этому приращению отвечает приращение  x =  (t+ t)- (t) функции x = (t). Приращению x отвечает приращение  y = f(x+  x)-f(x). Так как функция y = f(x)дифференцируема, то ее приращение  y представимо в виде (1):

 y =f'(x) x + ( x)  x,

где lim_ x 0 ( x ) = 0. Поделив данное выражение на  t  0, будем иметь:

 y/ t=f'(x) x/ t+  ( x) x/ t.

Из дифференцируемости функции x =  (t) в точке t вытекает, что

lim_ t 0 x/ t = '(t).

Отметим, что из дифференцируемости функции x = (t) следует, что  x 0 при t 0. Следовательно, lim_ t 0 ( x) =0. Таким образом, получим необходимую формулу (3).

29 (производная обратной функции). Пусть функция y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x)0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f^-1(y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f^-1(y) и для ее производной справедлива формула

(f^-1(y))' = 1/f'(x).

Доказательство. Так как функция y = f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x, то существует обратная функция x = f^-1(y), которая является строго монотонной и непрерывной в некоторой окрестности точки y = f(x).

Пусть  y 0 приращение для y, а  x - соответствующее приращение обратной функции x = f^-1(y). Тогда справедливо равенство

 x/ y = 1/( y/ x).

Переходя к пределу в последнем равенстве при  y 0 и учитывая, что в силу непрерывности обратной функции  x 0, получим

lim_ y 0 x/ y = 1/ (lim_ x 0 y/ x).

То есть, x'(y) = 1/y'(x).

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть M –точка графика функции f(x), (рис.22), производная f'(x) равна тангенсу угла наклона касательной, проходящей через M, к оси OX, а производная обратной функции (f^-1(y))' в соответствующей точке y = f(x) равна тангенсу угла наклона  той же самой касательной к оси OY. Так как углы наклона /2, то формула нахождения производной обратной функции выражает очевидный факт: tg = 1/tg .