14 Св-ва пределов

1°   Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

2°   Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

3°   Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

4°   Константу можно выносить за знак предела:

5°   Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

Критерий Коши о существовании предела функции.

Определение 10 (условие Коши). Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа найдется положительное (), что для любых x₁,x₂, удовлетворяющих условию

0<|x1-a|<, 0<|x2-a|<,

справедливо неравенство

|f(x1-f(x2)|<.

Теорема 5 (Критерий Коши). . Для того, чтобы существовал предел функции f(x) в точке a ( lim_x  af(x) = A ) необходимо и достаточно, чтобы f(x) удовлетворяла в точке a условию Коши.

Аналогично формулируется условие Коши и доказывается критерий Коши и для случаев правого(левого) пределов в точке a, предела при x().

15 первый замечательный пердел предел

1. . Рассмотри окружность радиуса и некоторый угол x с вершиной в центре окружности. В точке проведем касательную к окружности . Тогда, как видно из рисунка,. Поэтому .

Так как высота равна , а , то , т.е. при 

.

Деля все части этого неравенства на 

,

и “переворачивая” его, получим

т.е.

.

Но

,

где использовано то, что и то, что согласно левой части неравенства , 

Поэтому окончательно

.

При  ссылаясь на теорему “о двух милиционерах” получим, что

 или .

16 асимптотические формулы для простейших элементарных функций

http://joxi.ru/0r3GUhjKTJBHAfoSJGU

17 символы ландау

Если , такое, чтокроме, быть может, самой точкиx₀, выполняется неравенство

|g(x)| < ε|f(x)|,

то записываем

g = o(f)

при x → x₀. При этом в случае g(x) → 0, f(x) → 0 при x → x₀ считаем, что фунция g есть бесконечно малая более высокого порядка, чем f; если жеg(x) → ∞, f(x) → ∞ при x → x₀, то считаем, что бесконечно большая функция g имеет порядок роста ниже, чем f.

Если существует интервал такой, что, то записьg = O(f) означает, что отношение g(x)/f(x) ограничено при , а записьg = o(f), что g(x)/f(x) → 0 при x → x₀.

Символы O и o называются символами Ландау.

Функции g и f называются эквивалентными, если f - g = o(g), т. е. если такое, чтовыполняется неравенство |f(x) -g(x)| < ε|g(x)|.

При этом записываем f ~ g, а равенство f = g + o(g) называем асимптотическим равенством.

Пусть иg(x) > 0 , тогда

Справедливы асимптотические равенства

sin x = x + o(x), tg x = x + o(x) при x → 0.

18

Экспоне́нта — показательная функция , где e — Число Эйлера ().

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:

или через предел:

Здесь x — любое комплексное число.

19Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .

Дадим несколько расшифровок этого важнейшего определения.

а) Вспоминая понятие предела, запишем непрерывность f(x) в точке х0 в виде

б) Так как х₀=lim x, то непрерывность в точке х₀ можно записать в виде

Отсюда следует важнейшее свойство непрерывной функции: для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предельного перехода

в) Обозначим x=x-x₀ (приращение аргумента) и f=f(x)-f(x₀) (приращение функции). Тогда непрерывность в точке х₀ означает, что , т.е. бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции.

Введем обозначения:

если эти пределы существуют.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ слева (справа) если f(x₀)=f(x₀ – 0) (f(x₀)=f(x₀+0)). Очевидно,что непрерывность в точке х₀ означает непрерывность слева и справа одновременно.

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной на некотором множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества, т.е. если

Обратите внимание, где стоит квантор, это важно.

Определение. Если функция f(x) не является непрерывной в точке х₀, то говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет разрыв.

Односторонний предел по Гейне Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .

• Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .^[1]

Односторонний предел по КошиЧисло называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .

• Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число , такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .^[1]

Точки разрыва и их классификация.

 

            Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀является точкой разрыва, если  функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

            Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа.

 Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева.

20http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Ma/01/04/t.htm