Ситникова, И. В. Мат.анализ. Практ

A ∩ B = {x : x A è x B}.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. К известным числовым множествам относятся следующие множества:

N = {1; 2; 3...; n,...}- множество натуральных чисел;

Z = {0; ±1; ± 2; ±3...; ± n,...}- множество целых чисел;

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается конечной или бесконечной периодической десятичной дробью. Все бесконечные периодические десятичные дроби

Пусть a и b – действительные числа, причем

Числовыми промежутками называют подмножества множества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

{x : a ≤ x ≤ b.}= [a; b]- отрезок (сегмент);

полуинтервалы.

Промежутки [à; b], (a; b), [a; b), (a; b] называют конечными, остальные

бесконечными. Каждому числовому промежутку соответствует множество точек координатной прямой.

11

Пусть x0 - произвольное действительное число. Любой интервал (a; b) ,

содержащий точку x0 , называется окрестностью точки x0 . Например, интервал

ε -окрестность точкиx0 .

Упражнения 1

1.1. Даны множества А = {х, х = 3n +1, n N}, B = {x, x = n2 , n N}, где N-

множество натуральных чисел. Укажите, каким из этих множеств принадлежат и не принадлежат числа 3, 4, 9, 13, 25. Запишите принадлежность и непринадлежность элементов соответствующим множествам с помощью знаков

и .

1.2.Составьте список элементов, заданных характеристическим свойством:

1)А = {х, х N; −11 < x ≤ −3}; 2) А = {х, x4 −10x2 +9 = 0}.

1.3.Опишите множества точек на плоскости: 1) А = {M , OM = R};

2)А = {M , OM ≤ R}; 3) А = {M , COM = BOM }.

1.4.Опишите множества точек М (х; у) на координатной плоскости,

обладающих следующими характеристическими свойствами: 1) х2 + у2 = 36 ;

2)х2 + у2 ≤ 36 ; 3) у ≤ х.

1.5.Укажите среди следующих множеств пустое: 1) множество ромбов с неперпендикулярными диагоналями; 2) множество прямоугольников с

неравными сторонами; 3) множество целых корней уравнения 4х2 −1 = 0 ;

4)множество целых корней уравнения х2 − 4 = 0 .

1.6.Какие из следующих утверждений верны: 1) {a, b, c, d, e}= {e, c, b, a};

2){12 , 22 ,32 , 42 }= { 256, 16, 81, 1}.

1.7.Укажите, какие из следующих множеств конечны, а какие бесконечны:

12

1)множество студентов академии; 2) множество атомов водорода в океане; 3) множество натуральных чисел, кратных 8; 4) множество всех окружностей, проходящих через две данные точки; 5) множество звезд в Галактике;

6)множество корней многочлена; 7) множество корней тригонометрического уравнения sin 3x sin 6x = 0 .

1.8.Даны множества: А - множество всех четырехугольников; В - множество всех квадратов; С - множество всех параллелограммов; D - множество всех трапеций; E - множество всех ромбов; F - множество всех многоугольников. Укажите, какие из этих множеств являются подмножествами других данных множеств. Ответ записать с помощью знака .

1.9.Во множестве целых чисел Z даны следующие подмножества: А - множество четных чисел; В - множество нечетных чисел; С - множество чисел кратных 3; D - множество чисел, кратных 6; E - множество чисел, десятичная запись которых оканчивается цифрой 0; F - множество чисел, делящихся и на 2, и на 3; G - множество чисел, делящихся на 10; H - множество чисел, десятичная запись которых оканчивается одной из цифр 1, 3, 5, 7, 9; J - множество чисел, сумма цифр десятичной записи которых делится на 3; K - множество чисел, кратных 2 и кратных 5.

Укажите, какие из этих множеств являются подмножествами других данных множеств. Ответ записать с помощью знаков = и .

1.10.Найдите пересечения для каждой пары множеств:

1)A = {a, b, c, d, e, f }; У = {а, c, d, e, g}; 2) B = {a, b, c}; A = {а, b, c, d, e, f }

1.11.Множество А состоит из всех студентов данной группы, множество

В- из всех студентов академии, а множество С - из всех отличников.

Охарактеризуйте множество А∩ В∩С.

13

1.12. Найти множество А∩ В∩С, если А состоит из точек М(х; у) для

которых у ≥ х, В – из точек, для которых х2 + у2 ≤ 25 , и С – из точек, для которых х > 0.

1.13.Найти объединение пар множеств из упражнения 11.

1.14.Даны множества целых чисел: А = {0; 1; 3; 4; 5; 6; 7}, Â = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9},

С= {−3; − 2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}; D = {2; 3; 4; 5; 6}. Перечислите элементы, входящие во множества: 1) А∩ В∩С ∩ D ; 2) А В С D ; 3) (А∩ В) (C ∩ D) ;

4)(А В) ∩(С D) .

1.15.Приведите пример множеств А, В, С, таких, что одновременно

А∩ В = , А В = С .

1.16. Найдите объединения множеств, где k Z : 1) A = {3k +1}, B = {3k},

C = {3k + 2}; 2) A = {6k +1}, B = {6k + 4}.

Домашнее задание № 1

1. Опишите множества точек М (х; у) на координатной плоскости, обладающих следующими характеристическими свойствами: а) x2 + y 2 ≥ 25 ;

б) x2 + y ≤ 2 ; в) y > x + 2 .

2.Составьте список элементов, заданных характеристическим свойством:

а) À = {x, x Z; −5 ≤ x ≤ 3}; б) À = {x N, x4 −10x2 +9 = 0}.

3.Даны множества: А - множество всех треугольников; В - множество всех равносторонних треугольников; С - множество всех прямоугольных треугольников; D - множество всех равнобедренных треугольников; E - множество всех остроугольных треугольников; F - множество всех многоугольников. Укажите, какие из этих множеств являются подмножествами других данных множеств. Ответ записать с помощью знака .

4.Найти пересечение и объединение для каждой пары множеств

а) A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {−1, 0, 1}; б) A = {x −5 ≤ x ≤ 4} и B = {x −1 ≤ x ≤ 6}.

14

2. Функция. Свойства функций

Пусть задано некоторое числовое множество Х. Если каждому числу х из множества Х ставится в соответствие единственное число у, то говорят, что на множестве Х задана функция y = f (x) .

Переменная х называется независимой переменной, или аргументом, у – зависимой переменной. Множество X = D(x) называется областью определения

координатной плоскости с координатами (х, f(х)), где х – любое число из области определения функции.

значение x D(x) , то определена функция x =ϕ( y) с областью определения E и

множестве D1 . Причем для x D1 соответствующее значение u =ϕ(x) D . Тогда

f (−x) = − f (x) .

15

f (x1 ) > f (x2 ) , то функция называется убывающей на множестве D1 .

3.Функция y = f (x) , определенная на множестве D , называется

периодической на этом множестве, если существует такое число T > 0 , что для любого x D выполняются условия (x ±T ) D и f (x ±T ) = f (x) .

Преобразования графиков функций:

График функции y = f (x) +b ( y = f (x) −b ), b>0, может быть получен из графика функции y = f (x) сдвигом его вдоль оси Оу на b единиц вверх (вниз).

График функции y = f (x − a) ( y = f (x + a) ), а>0, может быть получен из графика функции y = f (x) сдвигом его вдоль оси Ох на а единиц вправо (влево).

График функции y = k f (x) ( y = 1k f (x) ), k>1, может быть получен из

графика функции y = f (x) растяжением (сжатием) его вдоль оси Оу в k раз.

y = f (x) следующим образом: часть графика функции y = f (x) , расположенной ниже оси Ох, симметрично отражается относительно этой оси, остальная часть остается без изменения.

16

График функции y = f ( x ) может быть получен из графика функции

y = f (x) следующим образом: часть графика функции y = f (x) , расположенной в области х ≥0, остается без изменения, а его часть для области х<0 заменяется симметрическим отражением относительно оси Ох части графика для х≥0.

-тригонометрические: y =sin x, y = cos x, y = tgx, y = ctgx ;

-обратные тригонометрические

y = arcsin x, y = arccos x, y = arctgx, y = arcctgx .

Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных функций, называется элементарной функцией.

Упражнения 2

2.2.Найти множество значений функций: 1) у = х2 −1; 2) у = 1− х2 ;

3)у = х+1 2 ; 4) у = 12 sin x ; 5) y = 2x −3 ; 6) y = 31−x2 ; 7) y = x22x+1 .

17

2.3. Каждую из функций представьте в виде композиции более простых функций: 1) F (x) = (x10 +1)10 ; 2) F (x) = 3 x2 +1 ; 3) F(x) = 2 x ; 4) F (x) = cos 23x ;

5)F (x) = sin x ; 6) F (x) = tg(4sin x ) .

2.4.Выясните четность (нечетность) функций: 1) f (x) = 2x4 − x2 + 3 ;

2.6.Постройте графики функций: 1) у = х2 − 5х + 6 ; 2) y = xx −+12 ;

x −3, x ≤1

3)y = 2log2 (x + 4) ; 4) y = 3x2 − 2 ; 5) у = 2cos3x ; 6) y = x2 + 4, x >1 .

Домашнее задание № 2

в) y = 3 2x+1 .

18

3. Последовательности. Предел числовой последовательности

Числовой последовательностью {xn } называют функцию, заданную на множестве натуральных чисел: xn = f (n), n N ; xn называют n-м членом последовательности.

Чаще всего последовательности задают формулой n-ого члена

Другой способ задания числовой последовательности – рекуррентный. В нем задается начальный элемент и правило нахождения n-ого члена по (n-1)-му: xn = f (xn−1 ) . При таком способе задания для нахождения, например, 100-ого члена последовательности надо сначала найти 99-ый член.

Последовательность {xn } называется возрастающей (убывающей), если xn+1 > xn ( xn+1 < xn ) для любого натурального n.

Число а называется пределом последовательности {xn }, если для любого

Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся, а не имеющую предел - расходящейся.

При нахождении пределов последовательностей используют свойства

19

Упражнения 3

3.1.Составьте одну из возможных формул n-ого члена

последовательности: 1) 2, 5, 8, 11, 14, …; 2) 3, 32 , 43 , 83 ,... ; 3) 1, 13 , 15 , 17 ,...

3.2.По формуле n-ого члена каждой последовательности вычислите ее 27-

2) x1 = −10, xn+1 = xn +5 .

3.4. Даны последовательности. Выясните, какие из них являются монотонными: 1) an = 3n2+n 2 ; 2) bn = n2 −6n ; 3) xn = 32n .

3.5. Укажите номер того члена последовательности xn = 5n2+n 3 , начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют неравенству

xn −2,5 < 0,01.

3.6. Используя определение предела последовательности, докажите, что:

20