1.5. Основы общей теории поля напряжений и деформаций в сплошной среде.

Если перейти от рассмотрения напряжённо - деформированного состояния отдельной точки к рассмотрению состоянию какого-либо тела, то прежде всего необходимо ввести новое понятие «перемещение». Под «перемещением» будем понимать изменение положения какой-либо фиксированной точки в пространстве только за счёт деформирования тела. Поскольку перемещение есть вектор, его проекции на оси координат X, Y и Z соответственно будут u, v и w.

Связь между компонентами напряжённо - деформированного состояния в отдельных точках (точнее, между компонентами тензора деформаций) и компонентами перемещений в сплошной среде устанавливается с помощью уравнений, в основе которых лежат выражения для компонентов перемещений двух бесконечно близких точек (рис. 1.2.). Они называются геометрическими или уравнениями Коши.

Рис.1.2.Схема к выводу геометрических уравнений.

Применительно к процессам деформирования горных пород задачи о напряженно-деформированном состоянии рассматривают преимущественно в статической постановке. При этом, если около некоторой точки М мысленно вырезать бесконечно малый параллелепипед, и начало координат поместить в его центре, то для него должны удовлетворяться шесть условий равновесия:

Сумма проекций сил на оси координат:SХ = 0; SY = 0; SZ = 0.

Сумма моментов сил относительно осей координат: SM_x = 0; SM_y = 0; SM_z = 0.

Однако для того чтобы основное условие — сплошность среды—выполнялось и после деформирования, соотношение компонент деформаций должно удовлетворять условиям неразрывности деформаций. Эти условия, называемые уравнениями Сен-Венана, непосредственно следуют из геометрических уравнений.

Таким образом, в соответствии с моделью сплошной среды для определения напряженно-деформированного состояния какого-либо тела имеется основная система из девяти независимых уравнений, в которых содержится 15 неизвестных: s_x, s_y, s_z, t_xy, t_xz, t_zy, e_x, e_y, e_z, g_xy, g_yz, g_zx, U, V, W.

Данные уравнения являются общими для любых моделей сплошной среды.

Однако в зависимости от конкретного вида применяемой модели сплошной среды, например упругой, пластической, вязкой и т. д., для отражения особенностей деформирования вводится специальная группа уравнений, описывающая эти физические законы связи напряжений и деформаций.

Дополнением указанной группы уравнений к общей системе уравнений сплошной среды удается избавиться от статической неопределенности и число независимых уравнений становится равным числу неизвестных, которые таким образом могут быть найдены в ходе решения поставленных задач.

С точки зрения практических вопросов геомеханики большой интерес представляют частные случаи напряженно-деформированного состояния среды—плоское напряженное состояние и плоская деформация.

Плоское напряженное состояние возникает, когда все действующие напряжения параллельны какой-либо одной. плоскости. В этом случае s_z = 0; t_zx = t_zy = 0 и тензор напряжений Т_н имеет вид:

sх	txy
tyx	sy

В то же время, несмотря на равенство нулю s_z;, тензор деформации содержит компоненту линейной деформации e_z, она определяется уравнением

n

e_z = - ----- (s_x + s_y) (1.2)

E

Таким образом, тензор деформации T_Д при плоском напряженном состоянии имеет вид:

ez	0.5gxy	0
0.5gyx	ey	0
0	0	ez

Плоское напряженное состояние характерно для объектов, у которых один из размеров существенно меньше двух других, например для тонких пластин, нагруженных по контуру силами, параллельными их плоскости. В частности, если в гравитационном поле сил в массиве пород вокруг вертикального ствола мысленно выделить тонкий слой, перпендикулярный к его оси, то напряженное состояние пород в выделенном слое можно практически полагать плоским.

Условия плоской деформации возникают в случае, если перемещения точек деформируемого объема происходят только в одной плоскости при этом e_z = 0; g_xz = 0; t_yz = t_xz = 0 и тензор деформации T_Д может быть записан в виде:

eх	0.5 gxy
0.5 g yx	ey

Вместе с тем, хотя e_z = 0, тензор напряжений T_H для условия плоской деформации содержит компоненту s_z и имеет вид:

sх	txy	0
tyx	sy	0
0	0	sz

При этом

s_z = v(s_x + s_y) (1.3)

В состоянии плоской деформации находятся средние точки тела, размеры которого в одном каком-либо направлении очень велики, при условии, что не изменяющиеся по значению нагрузки действуют перпендикулярно к этой длинной оси. Например, в гравитационном поле сил в условиях плоской деформации фактически находятся породы вокруг сечения горизонтальной горной выработки.