Raschetnye_metody_otsenki_prochnosti(1)
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра сопротивления материалов и строительной механики
РАСЧЕТНЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПРОЧНОСТИ
Методическиеуказанияквыполнениюрасчетно-графическихработ покурсу«Сопротивлениематериалов»
Новокузнецк
2013
УДК 620.17 Р24
Рецензент:
кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой инженерных конструкций Н.Н. Алешин
Р24 Расчетные методы оценки прочности : метод. указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т ; сост. Ю.А. Епифанцев, А.В. Витушкин.– Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 2012. – 53 с.
Представлены задания к выполнению расчетнографических работ по разделам статически-неопределимых систем, геометрических характеристик плоских сечений, внутренних усилий и напряжений при поперечном изгибе по курсу «Сопротивление материалов». Приведены примеры решения задач и вопросы по выполненным темам.
Предназначены для студентов направления подготовки 270800.62 Строительство.
Предисловие
Сопротивление материалов – наука о прочности, жесткости и устойчивости отдельных элементов конструкций.
Инженеру строительной специальности часто приходится проводить расчеты элементов конструкций на прочность, то есть на их способность сопротивляться разрушению под действием приложенных к ним внешних нагрузок. Для успешного освоения данного раздела необходимо иметь твердые навыки в решении конкретных задач.
В методические указания включены задания по разделам статиче- ски-неопределимых систем, геометрических характеристик плоских сечений, внутренних усилий и напряжений при поперечном изгибе.
Каждый студент, согласно учебному плану, в третьем семестре выполняет четыре расчетно-графические работы (РГР). Работы выполняются на бумаге формата А3 (297×420). Штамп вычерчивается по форме, приведенной в таблице 1.
Таблица 1 – Форма штампа
|
Название темы |
|
Номер схемы _________ |
||
|
|
Вариант _____________ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кафедра сопротивления материалов и |
|
||||
строительной механики |
СибГИУ |
||||
|
|
|
|
|
|
Выполнил |
|
(подпись) |
|
Ф.И.О. |
|
|
|
гр. |
|||
|
|
|
|
|
|
Принял |
|
(подпись) |
|
Ф.И.О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
РГР № 1 – Расчет статически неопределимой системы
Задание. Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирнонеподвижную опору и прикреплен к двум стержням с помощью шарниров (расчетные схемы приведены на рисунке 1). Расстояние от бруса до опор в вертикальном направлении l= 2 м, a = 1 м. Проверить стержни на прочность при[σ ] = 160 МПаиразличныхсостояниях системы.
Задача1. Расчетсистемыпридействии внешнейсилы
Вертикальная сила F = 120 кН, направленная вниз, приложена в правом крайнем шарнире бруса (на схеме не показана). Площади по-
перечного сечения стальных стержней соответственно равны А1 =
12·10–4 м2, А2 = 2·10–3 м2.
Рисунок 1 – Расчетные схемы шарнирно-стержневых систем
4
Рисунок 1 – Расчетные схемы шарнирно – стержневых систем
5
Рисунок 1 – Расчетные схемы шарнирно – стержневых систем
6
Пример решения. Рассмотрим шарнирно-стержневую систему, представленную на рисунке 2.
Рисунок 2 – Схема шарнирно-стержневой системы
Данные для расчета:
а = 4 м; в = 3 м; с = 2 м; A = 10 −3 м2; α = 45˚; [σ]= 160 МПа.
Решение
Для определения напряжений от действия внешней нагрузки в деформируемых стержнях 1 и 2 необходимо знать внутренние усилия в этих стержнях N1 и N2 , которые направлены вдоль стержней (рисунок 3).
При этом их направления выбираем по правилу: если стержень получает удлинение, то усилие в нем направляем от бруса, и, наоборот, если стержень укорачивается, то к брусу.
От действия заданной нагрузки F в неподвижном шарнире А возникают реактивные силы V A и НA . Для определения усилий в стержнях
рассмотрим условия статического равновесия данной системы.
Рисунок 3 – Схема к определению усилий в стержнях
7
Статическая сторона задачи
Приведем уравнения статического равновесия стержня ВАС. Поскольку система плоская, составим три уравнения:
∑X = 0; |
НA +N 2 cos45 = 0; |
(1) |
∑Υ = 0; |
V A + N1 – N2 sin45 −F = 0; |
(2) |
∑M A = 0; |
N1 в + N2 a sin45 – F(c+в) = 0. |
(3) |
В этих трех уравнениях имеется четыре неизвестных усилия. Поскольку величины опорных реакций V А и НА по условию задачи опре-
делять не требуется, то для дальнейшего решения задачи пользуемся уравнением (3). В этом уравнении два неизвестных, таким образом, задача один раз статически неопределима. Дополнительное уравнение составляем из условия совместности перемещений, т.е. геометрической зависимости между деформациями стержней.
Геометрическая сторона задачи
Под действием силы F брус ВАС повернется и займет положение
В1 АС1 (рисунок 3), при этом точка С перейдет в положение С1 , а точка
В– в положение В1 , перемещаясь по нормали к первоначальному по-
ложению бруса ВАС вследствие малости угла поворота. Тогда отрезок СС1 является удлинением стержня 1. Чтобы найти величину удлинения
стержня 2, необходимо на направление стержня 2 из точки В опустить перпендикуляр. Отрезок В1D представляет собой удлинение стержня 2.
Таким образом,
СС1 = ∆l1, |
В1D = ∆l2 . |
Установим зависимость между величинами ∆l1 и ∆l2 . Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 можно записать:
|
|
|
|
|
|
|
CC1 |
= |
AC |
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
BB |
AB |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
B1 D |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где BB1 = |
(из ∆ BB1 D). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin 45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
CC1 |
sin 45 |
|
|
AC |
|
|
|
|
∆l1 sin 45 |
|
b |
|
|||
|
|
= |
|
, |
или |
|
= |
. |
||||||||
|
|
|
B D |
|
AB |
|
∆l |
2 |
a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
∆l1 sin 45 a = ∆l2 b . |
|
|
(4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (4) представляет зависимость между удлинениями стержней системы.
Физическая сторона задачи
Удлинения стержней 1 и 2 выражаем через усилия N1 и N2 по закону Гука:
∆l1 = |
Ν1l1 |
; |
|
|
|
|
|
∆l2 = |
|
Ν2 l2 |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
EA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E2A |
|
||||||
Тогда выражение (4) запишем так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Ν1l1 |
sin 45 |
a = |
|
Ν2 l2 |
в. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
E 2A |
|
|||||||||||||||||
|
|
EA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Зная, что |
|
l1 = в и l2 |
= |
|
|
|
|
в |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
sin 45 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ν |
|
в2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ν1 sin 45 ва = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
и затем |
|
2 sin 45 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 Ν1 (sin 45)2 a = Ν2 в. |
|
|
(5) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Решивсовместноуравнение(3) и(5), выразимусилияN1 и Ν2 |
черезF: |
|||||||||||||||||||||
Ν |
1в + Ν2 sin 45 а − F(в + с)= 0; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в = 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||
2Ν1 sin 2 45 а − Ν2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Из второго уравнения выразим N 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Ν2 = |
2Ν |
1 |
sin 2 |
45 а |
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
|
|
|
|
|
Ν1в + |
2Ν1 sin 3 45 а2 |
|
− F(в + с)= 0 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполним преобразования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ν |
|
= |
|
|
F(в + с) в |
|
= |
|
|
120 (3 + 2) 3 |
|
=88,8 кН. |
||||||||
1 |
|
в2 |
+ 2 sin 3 45 а2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
+ |
2 |
|
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
2 0.74 120 4 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Ν2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
=118,4 кН. |
|||||||||
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим напряжения в стержнях и сравним с допустимыми:
σ1 |
= |
Ν |
1 |
|
= |
88,8 10 |
3 |
|
=88,8 МПа < [σ ] = 160 МПа; |
||
A |
|
10−3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
σ2 |
= |
N |
2 |
|
= |
118,4 10 |
3 |
= 59,2 МПа <[σ ] = 160 МПа. |
|||
2A |
|
2 10− |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Значит стержни проходят на прочность.
Задача 2. Расчет системы с учетом неточности изготовления стержней
Первый стержень шарнирно-стержневой системы изготовлен короче проектного размера на величину δ = 2 мм. Площади поперечного сечения стальных стержней равны А1 = 0,8·10–3 м2, А2 = 1,2·10–3 м2, Е = =2·105 МПа.
Пример решения. В шарнирно-стержневой системе (рисунок 4) стержень 2 выполнен короче проектной длины на величину δ = 2 10−3 м
(δ по сравнению с длиной стержня весьма мало). В связи с этим после монтажа в стержнях возникли начальные (монтажные) напряжения. Требуется определить эти напряжения и сравнить с допустимыми.
Рисунок 4 – Схема с монтажной погрешностью
Данные для расчета:
a = 4 м; в = 3 м; А = 10-3 м2; α = 45o ; Е = 2 105 МПа, [σ ] = 160 МПа.
Решение
Направление внутренних усилий в стержнях N1 и N 2 выбираем из условия, что после сборки системы стержень 1 сжимается, а стержень 2
10