Задача 2. Теория двойственности

В предлагаемой альтернативной хозяйственной ситуации получите с помощью средств MS Excel (надстройка Поиск решения) оптимальный план производства продукции, проведите экономико-математический анализ оптимального плана с помощью двойственных оценок.

Предприятие выпускает три сорта мороженого: «Шоколадный пломбир», «Белочка» и «Лакомка» и реализует его по цене 57, 53 и 55 руб. за килограмм соответственно. Для производства используются три вида сырья. Расход сырья на производство одного килограмма мороженого и его запасы приведены в таблице:

Сырье	Запас Сырья (кг.)	Расход сырья на производство 1кг. мороженого
		«Шоколадный пломбир»	«Белочка»	«Лакомка»
Молоко	24	0,6	0,7	0,6
Масло	15	0,2	0,2	0,3
Шоколад	5	0,2	0,1	0,1

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум прибыли от реализации продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Построим математическую модель прямой задачи.

Введем управляющие переменные:

- количество произведенного мороженого «Шоколадный пломбир» (кг.),

- количество произведенного мороженого «Белочка» (кг.),

- количество произведенного мороженого «Лакомка» (кг.).

Построим функцию цели. Если реализовать кг мороженого по цене 57 руб./кг, то прибыль составитруб. и т.д. Следовательно, целевая функция - прибыль предприятия – запишется выражением

.

Исходя из требования максимизации прибыли:

.

Построим систему ограничений. Расход каждого вида сырья определяется выражением:

для молока - ,

для масла - ,

для шоколада - .

Так как расход сырья не может превышать количества, которым располагает предприятие, получим систему неравенств:

По смыслу задачи ясно, что переменные могут принимать лишь неотрицательные значения, т.е.,и.

Теперь можно сформулировать математическую модель задачи:

найти

при ограничениях: ,

,и.

Решим задачу с помощью программы Excel«Поиск решения».

Подготовим форму: введем исходные условия задачи, зависимости для целевой функции и левых частей ограничений. Запустим программу Поиск решений.

Результат поиска решения:

В результате решения задачи найден оптимальный план ,и. При этом.

Ответ : максимальная прибыль составит 2220 руб. и будет получена при выпуске 10 кг. мороженого «Шоколадный пломбир» и 30 кг. мороженого «Лакомка».

Сформируем отчет по устойчивости.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Применим правила построения модели двойственной задачи:

1. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений исходной задачи. Введем обозначения: - двойственная оценка-го сырья. Все переменные,инеотрицательны.

2. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены системы ограничений прямой задачи .

3. Прямая задача – на максимум, следовательно, двойственная к ней – на минимум: .

4. Число ограничений в двойственной задаче равно числу переменных в прямой – 3.

5. В прямой задаче все неравенства в системе ограничений имеют вид «», следовательно, в двойственной задаче – вид «».

6. Матрицы ограничений исходной и двойственной задач являются транспонированными друг к другу:

7. Правыми частями в ограничениях двойственной задачи являются коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи .

Учитывая эти правила, запишем модель двойственной задачи:

найти

при ограничениях

.

Значения двойственных оценок находятся в отчете по устойчивости в столбце «Теневая цена»: ,и

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

Как и должно быть в соответствии с Теоремой 1, экстремальные значения целевых функций прямой и двойственной задач совпадают, значит, оптимальный план двойственной задачи найден верно.