Kretov1
.pdf§ 2.4. лПВ¯‡ММУВ ФрУЛБ‚В‰ВМЛВ ‚ВНЪУрУ‚
444. Построить векторы a = i + j + 4 k , b i – 2 j и c = 3 i –
– 3 j + 4 k , показать, что они компланарны и найти линейную зависимость между ними.
445.Векторы a , b , c , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что | a | = 4, | b |= 2, | c |= 3, вычислить a b c .
446.Вектор c перпендикулярен к векторам a и b , угол
между a и b равен 30º. Зная, что | a |= 6, | b |= 3, | c |= 3, вычислить a b c .
447.Доказать тождество ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 2 a b c .
448.Доказать тождество a b ( c + λa + µ b ), где λ и µ — какие угодно числа.
449.Даны три вектора: a ={1; –1; 3}, b ={–2; 2; 1}, c ={3;
–2; 5}. Вычислить a b c .
450.Установить, компланарны ли векторы a , b , c , если:
1) |
a = {2; 3; – 1}, |
b |
= {1; |
–1; 3}, c = {1; 9; – 11}; |
|
2) |
a = {3; –2; 1}, |
|
= {2; |
1; 2}, c = {3; – 1; – 2}; |
|
b |
|||||
3) |
a = {2; –1; 2}, |
|
= {1; |
2; – 3}, c = {3; –4; 7}. |
|
b |
|||||
451. Доказать, |
что четыре точки A(1; 2; – 1), B(0; 1; 5), |
||||
C(– 1; 2; 1), и D(2; |
1; 3) лежат в одной плоскости. |
452.Доказать, что четыре точки A1(3; 5; 1), A2(2; 4; 7), A3(1; 5; 3) и A4(4; 4; 5) лежат в одной плоскости.
453.Проверить, компланарны ли данные векторы:
а) a = {1; 2; –2}, b = {1; –2; 1}, c = {5; –2; 1}; б) a = j + k , b = j – k , c = i .
454. При каком значении λ векторы a = i + j + λk ,
b= {0; 1; 0} и c = {3; 0; 1} компланарны?
455.Вычислить ( a + b + c ) ( a – b – c ) ( a – b + c ).
456.Вычислить ( a – b ) ( b – c ) ( c – a ).
71
ЙО‡‚‡ II. щОВПВМЪ˚ ‚ВНЪУрМУИ ‡О„В·р˚
457.Вычислить a ( b – c ) ( a + b + 2 c ).
458.Даны векторы a ={3; 5; –1}, b ={0; –2; 1} и c ={–2; 2; 3}.
Найти ( a × b ) × c .
459. Вычислить произведение b ( c + a ) ( b + 2 c ), если
ab c = 5.
460.Показать, что объем параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда.
461.Вычислить объем параллелепипеда OABCD1A1B1C1,
вкотором даны три вершины нижнего основания О(0; 0; 0),
А(2; – 3; 0) и С(3; 2; 0) и вершина верхнего основания В1(3; 0; 4), лежащая на боковом ребре ВВ1, противоположном ребру ОО1.
462.Найти объем параллелепипеда, построенного на век-
торах a = {1; –2; 1}, b = {3; 2; 1}, c = {1; 0; –1}.
463. Найти высоту параллелепипеда, построенного на век-
торах a = {2; 1; – 3}, b = i + 2 j + k , c = {1; – 3; 1}, опущенную
на грань, построенную на векторах b и c .
464. Найти объем треугольной призмы, построенной на
векторах a = {1; 2; 3}, b = {2; 4; 1}, c = {2; –1; 0}.
465. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, построенный на векторах AB = {4; 3; 0}, AD = {2; 1; 2} и AA1 = {– 3; – 2; 5}.
Найти: а) объем параллелепипеда; б) площадь грани ABCD; в) длину высоты, проведенной из вершины А1; г) угол между ребром AB и диагональю BD1.
466.Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A(2; 2; 2), B(4; 3; 3), C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6).
467.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершина-
ми A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3) и D(3; 7; 2). Найти длину вы-
соты пирамиды, опущенной на грань BCD.
468.Построить пирамиду с вершинами О(0; 0; 0), А(5; 2; 0), В(2; 5; 0) и С(1; 2; 4) и вычислить ее объем, площадь грани АВС и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
72
§2.4. лПВ¯‡ММУВ ФрУЛБ‚В‰ВМЛВ ‚ВНЪУрУ‚
469.Найти объем тетраэдра, построенного на векторах OA ,
OB и OC , если эти векторы направлены по биссектрисам координатных углов и длина каждого вектора равна 2.
470.Построить пирамиду с вершинами А(2; 0; 0), В(0; 3; 0), С(0; 0; 6) и D(2; 3; 8), вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань АВС.
471.Вычислить объем тетраэдра, вершины которого нахо-
дятся в точках А(2; – 1; 1), В(5; 5; 4), С(3; 2; –1) и D(4; 1; 3).
472.Даны вершины тетраэдра: А(2; 3; 1), В(4; 1; –2), С(6; 3; 7), D(–5; –4; 8). Найти длинуего высоты, опущенной извершины D.
473.Объем тетраэдра V=5, три его вершины находятся в точках А(2; 1; –1), В(3; 0; 1), С(2; –1; 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oy.
474.Даны вершины пирамиды А (5; 1; – 4), В(1; 2; – 1), С(3; 3; – 4), S(2; 2; 2). Найти длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС.
475.Даны вершины пирамиды А(– 5; – 4; 8), В(2; 3; 1), С(4; 1; – 2), D(6; 3; 7). Найти длину высоты, опущенной на грань ВСD.
476.Дана пирамида с вершинами в точках А1(1; 2; 3), А2(–2; 4; 1), А3(7; 6; 3), А4(4; – 3; – 1). Найти: а) длину ребер А1А2,
А1А3, А1А4; б) площадь грани А1А2А3; в) угол между ребрами А1А4 и А1А3; г) объем пирамиды; д) длину высоты, опущенной
на грань А1А2А3.
73
É Î ‡ ‚ ‡ I I I
йлзйЗх газЦвзйв ДгЙЦЕкх
§ 3.1. гЛМВИМ˚В ФрУТЪр‡МТЪ‚‡ Л ФУ‰ФрУТЪр‡МТЪ‚‡
Определение 1. Множество L элементов любой природы называется линейным пространством, а его элементы векторами, если:
1) задана операция сложения, согласно которой любым двум элементам x и y из L соответствует элемент из L, назы-
ваемый их суммой и обозначаемый x + y ;
2) задана операция умножения на число, по которой каждому элементу x из L и числу ά соответствует элемент из L, называемый произведением x на ά и обозначаемый ά x ;
3) для любых x , y , z из L и любых чисел ά и β выпол-
нены следующие аксиомы:
а) x + y = y + x ;
б) ( x + y ) + z = x + ( y + z );
в) существует такой элемент 0 L, что x + 0 = x для любого x L;
г) для любого элемента x L существует элемент – x L
такой, что x + (– x ) = 0 ;
д) существует элемент 1 L такой, что 1 x = x ;
е) α( x + y ) = α x + α y ;
ж) (α+ β) x = α x + β x ; з) α(β x ) = (αβ) x .
Определение 2. Разностью двух векторов x и y линей-
ного пространства называется такой вектор z этого пространства, что y + z = x .
74
§ 3.1. гЛМВИМ˚В ФрУТЪр‡МТЪ‚‡ Л ФУ‰ФрУТЪр‡МcЪ‚‡
Разность обозначается через z = x – y .
В каждом линейном пространстве существует только один нуль-элемент, для каждого элемента линейного пространства существует только один противоположный элемент, для каждого элемента x L выполняется равенство 0 x = 0, для лю-
бого действительного числа λ и 0 L выполняется равенство
λ0 = 0 , из равенства α x = 0 следует одно из двух равенств: α= 0 или x = 0, элемент (– 1) x является противоположным для элемента x .
Определение 3. Вектор v = α x +β y + γ z + … + λu , где x , y , z , …, u L, α, β, γ, …, λ — действительные числа, назы-
вается линейной комбинацией векторов x , |
y , |
z , …, |
u |
. |
||
Определение 4. Векторы x , y , z , …, |
u |
называются ли- |
||||
нейно независимыми, если равенство: |
|
|
|
|
||
α x + β y + γ z + … + λ |
u |
= 0 |
|
(3.1.1) |
выполняется лишь при α= β= γ= … = λ= 0. Если же равенство (3.1.1) может выполняться и в том случае, когда не все числа α, β, γ, …, λ равны нулю, то говорят, что векторы x , y , z , …,
u линейно зависимы.
Определение 5. Базисом линейного пространства L называется множество элементов, взятых в определенном порядке, если:
1)они линейно независимы;
2)любой элемент из L выражается через эти элементы. Определение 6. Количество элементов базиса называется
размерностью линейного пространства.
Определение 7. Коэффициенты разложения вектора линейного пространства по базисным векторам называется координатами вектора в данном базисе.
Пусть в n-мерном линейном пространстве Ln имеются два базиса: e1 , e2 , …, en (старый) и e1 ′, e2 ′, …, en ′ (новый). Формулы, выражающие векторы нового базиса через векторы старого базиса, имеют вид:
75
ЙО‡‚‡ III. йТМУ‚˚ ОЛМВИМУИ ‡О„В·р˚
e1 ' = a11 e1 +a21 e2 +...+an1 en , e2 ' = a12 e1 +a22 e2 +...+an2 en ,
.............................................
en ' = a1n e1 +a2n e2 +...+ann en .
Определение 8. Матрицу
a |
a |
... |
a |
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
0 |
|
A = |
|
... |
... |
|
|
... ... |
|
|
|||
|
an2 |
... |
|
|
|
an1 |
ann |
|
(3.1.2)
(3.1.3)
называют матрицей перехода от старого базиса к новому. Возьмем какой-нибудь вектор x . Пусть {ξ1; ξ2; …; ξn} —
координаты этого вектора в старом базисе, а {ξ1′; ξ2′; …; ξn′} — его координаты в новом базисе. При этом старые координаты вектора x выражаются через новые координаты этого вектора по формулам:
ξ1 = a11ξ1 '+a12ξ2 '+...+a1nξn ',
ξ2 |
= a21ξ1 |
'+a22ξ2 '+...+a2nξn |
', |
.............................................. |
(3.1.4) |
||
|
|||
ξn |
= an1ξ1 |
'+an2ξ2 '+...+annξn ', |
которые называются формулами преобразования координат. Замечание 1. Столбцы матрицы А являются координа-
тами в формулах перехода от старого базиса к новому, а строки этой матрицы — координатами в формулах преобразования старых координат через новые.
Определение 9. Линейное пространство L′ называется подпространством линейного пространства L, если элементами пространства L′ являются только элементы пространства L.
76
§ 3.1. гЛМВИМ˚В ФрУТЪр‡МТЪ‚‡ Л ФУ‰ФрУТЪр‡МcЪ‚‡
Если x , y , …,u — какие-нибудь векторы линейного пространства L, то векторы αx +β y +…+λu , где α, β, …, λ — дей-
ствительные числа, образуют подпространство пространства L. Определение 10. Множество всех линейных комбинаций векторов α x + β y + … + λu называется линейной оболочкой
векторов x , y ,…, u и обозначается через L( x , y ,…, u ).
Если L1 — подпространство линейного пространства L, то d(L1) ≤d(L), где d(L1), d(L) соответственно размерности пространства L1 и L.
Пусть в линейном пространстве L имеются два подпро-
странства L1 и L2.
Определение 11. Пересечением подпространств L1 и L2 называется множество L3, все члены одновременно принадлежащие L1 и L2. Обозначается: L3 = L1 ∩L2.
Определение 12. Суммой подпространств L1 и L2 называется множество L4 всех элементов вида x + y , где
x L1, а y L2.
Обозначается: L4 = L1 + L2.
Замечание 2. L3 и L4 являются подпространствами пространства L.
Замечание 3. d(E1) + d(E2) = d(E3) + d(E4).
Рассмотрим однородную линейную систему уравнений
a x |
+a x |
2 |
+... +a |
|
x |
n |
|
= 0, |
|
|||||
|
11 1 |
|
12 |
|
1n |
|
|
|
|
|
||||
a21x1 +a22 x2 |
+... +a2n xn |
= 0, |
(3.1.5) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
............................................ |
|
|||||||||||||
a |
x |
+a |
m2 |
x |
2 |
+... +a |
mn |
x |
n |
= 0. |
|
|||
|
m1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 13. Совокупность линейно независимых решений u1 , u2 , …, uk системы уравнений (3.1.5) называется
фундаментальной системой решений, если любое решение системы уравнений (3.1.5) может быть представлено в виде
линейной комбинации векторов u1 , u2 , …, uk .
77
ЙО‡‚‡ III. йТМУ‚˚ ОЛМВИМУИ ‡О„В·р˚
Если ранг матрицы
a |
a |
... |
11 |
12 |
|
a21 |
a22 ... |
|
A = |
... ... |
|
... |
||
|
am2 ... |
|
am1 |
a1n a2n
...
amn
меньше n, то система (3.1.5) имеет ненулевое решение. Число векторов, определяющих фундаментальную систему решений, находится по формуле k= n – r, где r — ранг матрицы А.
Замечание 4. Совокупность всех решений системы (3.1.5) являетсяподпространствомпространстваLn размерностиk.
бДСДзаь
477.Образует ли линейное пространство множество эле-
ментов (x1; x2; 1; 1), (y1; y2; 1; 1), (z1; z2; 1; 1)?
478.Является ли линейным пространством множество много-
членоввторойстепени: a0t2+a1t+a2, b0t2+b1t+b2, c0t2+c1t +c2, …?
479.Образует ли линейное пространство множество всех
многочленов не выше третьей степени?
480.Даны функции f1(t), f2(t), f3(t),… Является ли множество этих функций линейным пространством, если эти функции образуют: 1) совокупность всех непрерывных функций на отрезке [a; b]; 2) совокупность всех дифференцируемых функций на отрезке [a; b]; 3) совокупность всех элементарных функций; 4) совокупность всех неэлементарных функций?
481.Может ли линейное пространство состоять: 1) из одного вектора; 2) из двух различных векторов?
482.Образует ли линейное пространство совокупность троек целых чисел (n1; n2; n3)?
483.Образует ли линейное пространство все геометрические векторы, имеющие общее начало в начале координат и расположенные в I октанте?
484.Показать, что если среди векторов x , y , z , …, u
имеется нуль-вектор, то рассматриваемые векторы линейно зависимы.
78
§3.1. гЛМВИМ˚В ФрУТЪр‡МТЪ‚‡ Л ФУ‰ФрУТЪр‡МcЪ‚‡
485.Рассматривается линейное пространство многочленов
не выше второй степени. Доказать, что векторы p1 = 1 + 2t + 3t2, p2 = 2 + 3t + 4t2 и p3 = 3 + 5t + 7t2 линейно зависимы.
486.Доказать, что три некомпланарных вектора a , b и c линейно независимы.
487.Доказать, что любые четыре вектора a , b , c и d линейно зависимы.
488. Дан вектор x = e1 + e2 + e3 + e4 . Разложить этот вектор по новому базису e1 ′, e2 ′, e3 ′, e4 ′, если e1 ′= e2 + e3 + e4 , e2 ′= e1 +
+e3 + e4 , e3′= e1 + e2 + e4 , e4 ′= e1 + e2 + e3 .
489.Данвектор x =8 e1 +6 e2 +4 e3 –18 e4 . Разложитьэтотвек-
торпоновомубазису, связанномусостарымбазисомуравнениями e1 ′=–3 e1 + e2 + e3 + e4 , e2 ′=2 e1 –4 e2 + e3 + e4 , e3′= e1 +3 e2 –5 e3 +
+e4 , e4 ′= e1 + e2 + 4 e3 – 6 e4 .
490.Даны зависимости e1 =a e2 , e2 ′=b e3 , e3 ′=c e4 , e4 ′=d e5 , e5 ′= f e1 . Написать формулы, связывающие старые координа-
ты {ξ1; ξ2; ξ3; ξ4; ξ5} вектора x с новыми координатами {ξ1; ξ2; ξ3; ξ4; ξ5} этого же вектора.
491. Возможны ли зависимости e1 ′= e2 – e3 , e2 ′= e3 – e1 ,
e3 ′= e1 – e2 между старым базисом e1 , e2 , e3 и новым базисом
e1 ′, e2 ′, e3 ′?
492.Может ли подпространство линейного пространства L состоять из одного элемента?
493.Дано линейное пространство, состоящее из всех геометрических векторов. Является ли подпространством этого пространства множество векторов с началом в начале координат и расположенных в I октанте?
494.Дано линейное пространство L многочленов не выше пятой степени. Доказать, что множество L1 многочленов вида
a0t + a1 и множество L2 многочленов b0t4 + b1t2 + b2 являются
79
ЙО‡‚‡ III. йТМУ‚˚ ОЛМВИМУИ ‡О„В·р˚
подпространством пространства L. Найти подпространства
L3 = L1 ∩L2 и L4 = L1 + L2.
495. Рассмотрим два подпространства пространства L всех геометрических векторов: L1 — множество векторов, параллельных координатной плоскости xOy, и L2 — множество векторов, параллельных плоскости xOz. Найти L3 = L1 ∩L2 и
L4 = L1 + L2.
496. Найти базис и размерность подпространства решений однородной системы уравнений
x1 +2x2 +3x3 +4x4 = 0, |
|||||||
|
0,5x1 + x2 +1,5x3 +2x4 = 0, |
||||||
|
|||||||
|
|
+2 / 3x2 |
+ x3 +4 / 3x4 |
= 0, |
|||
1/ 3x1 |
|||||||
1/ 4x |
+1/ 2x |
2 |
+3 / 4x |
+ x |
4 |
= 0. |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
497. Найти базис и размерность подпространства решений системы уравнений
x1 −2x2 + x3 = 0,2x1 − x2 − x3 = 0,−2x1 +4x2 −2x3 = 0.
498. Найти размерность и базис пространства решений системы уравнений
x1 + x2 − x3 + x4 = 0,x1 − x2 + x3 − x4 = 0,3x1 − x2 + x3 − x4 = 0.
499. Определить размерность подпространства решений, базис и общее решение системы уравнений
x1 +2x2 + x3 + x4 + x5 = 0,x1 −2x2 + x3 + x4 − x5 = 0.
80