22. Статистическая механика. Статистические распределения Максвелла, Больцмана, Бозе-Эйнштейна, Ферми-Дирака
.pdf
Распределение Больцмана.
Статистика Максвелла-Больцмана рассматривает идеальный газ во внешнем поле, то есть дополнительно к кинетической, частицы обладают потенциальной энергией.
Распределение Максвелла-Больцмана характеризует вероятность того, что молекула имеет данный импульс и находится в данном элементе объема:
.
Как видно, это произведение распределения Максвелла и еще одного множителя, который зависит от координат частицы (от них зависит потенциальная энергия частицы).
Согласно теории вероятностей, распределение Максвелла — Больцмана можно рассматривать как произведение вероятностей двух независимых событий — вероятность данного значения импульса и данного положения молекулы. Первая из них:
представляет распределение Максвелла; вторая вероятность:
— распределение Больцмана. Очевидно, что каждое из них нормировано на единицу.
Независимость вероятностей дает важный результат: вероятность данного значения импульса совершенно не зависит от положения молекулы и, наоборот, вероятность положения молекулы не зависит от её импульса.
! |
11 |
! |
|
Это значит, что распределение частиц по импульсам (скоростям) не зависит от поля, другими словами остается тем же самым от точки к точке пространства, в котором заключен газ. Меняется лишь вероятность обнаружения частицы, или, что то же самое, число частиц.
Распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака.
Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна применяются в том случае, когда необходимо учитывать квантовые эффекты, когда частицы обладают «неразличимостью». Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц 
(где 
— квантовая концентрация). Квантовая концентрация — это концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля.
При концентрации nq волновые функции частиц «касаются» друг друга, но практически не перекрываются. Статистике Ферми — Дирака подчиняются т. н. фермионы (частицы, для которых справедлив принцип запрета Паули), а статистике Бозе — Эйнштейна — бозоны. Поскольку квантовая концентрация растёт с увеличением температуры, большинство физических систем при высоких температурах подчиняется классической статистике Максвелла — Больцмана. Исключениями являются системы с очень высокой плотностью, например, белые карлики. В пределе высокой температуры или низкой концентрации частиц обе статистики переходят в классическую статистику Максвелла — Больцмана.
Бозоны, в отличие от фермионов, не подчиняются принципу запрета Паули — произвольное количество частиц может одновременно находиться в одном состоянии. Из-за этого их поведение сильно отличается от поведения фермионов при низких температурах. В случае бозонов при понижении температуры все частицы будут собираться в одном состоянии,
обладающем наименьшей энергией, формируя так называемый конденсат
! |
12 |
! |
|
Бозе — Эйнштейна.
Итак, согласно статистике Бозе-Эйнштейна, среднее число частиц в заданном состоянии определяется следующим образом:
Для статистики Ферми-Дирака распределение выглядит так:
где 
, ni — количество частиц в состоянии i, εi — энергия состояния i, µ — химпотенциал системы, k — постоянная Больцмана, T —
абсолютное значение температуры.
! |
13 |
! |
|
Список литературы
1.! Р. Кубо. Статистическая механика. – М.: Мир, 1967. 2.! Хуанг. К. Статистическая механика. – М.: Мир, 1966.
! |
14 |
! |
|