Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

190-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-neskol-kih-peremennyh-1mb

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

∂z ∂z

Найдем ∂u и ∂v

Тогда

∂z

∂u

∂z ∂v

по формулам

∂z

∂x

∂z

∂y

;

∂u

∂x ∂u

∂y ∂u

∂z =

∂z ∂x +

∂z ∂y .

∂v

∂x ∂v

∂y ∂v

= f ′(x, y)

+ f

′(x, y)

;

1 − (uv)2

= f ′(x, y)

− f

′(x, y)

1 − (uv)2

Пример 1.5.5

Найти первую производную неявной функции, заданной уравне-

нием sin(xy) − exy − xy3 = 0.

Решение

Запишем функцию F(x, y) = sin(xy) − exy − xy3 .

Найдем частные производные функции F(x, y) по переменным x и y:

F′ = (sin(xy) − exy − xy3 )′		= y cos(xy) − yexy − y3;
x	x

F′

= (sin(xy)

− exy − xy3 )′

= x cos(xy) − xexy − 3xy2.

Вычислим

по формуле

dх

Fx′

= −

F ′

Тогда

= −

y cos(xy) − yexy − y3

x cos(xy) − xexy − 3xy2

Пример 1.5.6

Найти первую производную неявной функций, заданной уравне-

нием 6x = −2x − 5yx.

Решение

Запишем функцию F(x, y) = 6x + 2x + 5yx.

Найдем частные производные функции F(x, y) по переменным x и y:

F ′ = (6x + 2x + 5yx )′ = 6x ln 6 + 2 + 5yx ln y.
x	x
F ′ = (6x + 2x + 5yx )′ = 5xyx−1.
y	y

Тогда

dy		F ′		6x ln 6 + 2 + 5yx ln y
	= −	x	= −		.
dx	= −	F ′	= −	5xyx−1	.
dx		F ′		5xyx−1
		y

Пример 1.5.7

Найти вторую производную неявной функций, заданной уравне-

нием 1 + xy = ln(exy + e−xy).

Решение

Запишем функцию F(x, y) = 1 + xy – ln(exy + e−xy).

Найдем частные производные функции F(x, y) по переменным x и y:

F′ = (1		+ xy − ln(exy
x
		= y −
= y −	y(exy − e− xy )
= y −		exy + e− xy
		exy + e− xy
F′ = (1		+ xy − ln(exy
y

+ e− xy )′		= y −			1		exy + e− xy ′		=
+ e− xy )′		= y −			exy + e− xy (		exy + e− xy ′		=
	x				exy + e− xy (			)x
1			(yexy − ye− xy ) =

exy + e− xy
exy + e− xy
= y	exy + e− xy			− exy + e− xy			=	2ye− xy	;
= y			exy + e− xy				=	exy + e− xy	;
			exy + e− xy					exy + e− xy
+ e− xy )′y = x −				1		(exy + e− xy )′			=

					exy + e− xy
					exy + e− xy			y

= x −

(xexy

− xe− xy ) =

2xe− xy

exy + e− xy

Тогда

F ′

2ye− xy

2xe− xy

2ye− xy

exy + e− xy

= −

Fy′

exy

+ e− xy

exy + e− xy

2xe− xy

Найдем производную от получившейся функции как производную частного двух функций, учитывая, что y = y(x). Тогда

y′′ = −

y′x − y

Подставим y′ = −

, тогда

−

x − y

− y − y

y′′ = −

= −

Пример 1.5.8

∂z ,

∂z неявной функции, заданной

Найти частные производные

∂x

∂y

уравнением cos2x + cos2y + cos2z = 1.

Решение

Запишем функцию F(x, y, z) = cos2x + cos2y + cos2z – 1.

Найдем частные производные функции F(x, y, z) по переменным x, y и z:

F ′ = (cos2

x + cos2

y + cos2 z − 1)′

= 2cos x(− sin x) = − sin 2x;

F ′ = (cos2

x + cos2

y + cos2 z − 1)′ = 2cos y(− sin y) = − sin 2y;

F ′ = (cos2

x + cos2

y + cos2 z − 1)′

= 2cos z(− sin z) = − sin 2z.

Тогда

∂z = −

Fx′

= −

− sin 2x = −

sin 2x

;

′

− sin 2z

sin 2z

∂z

= −

Fy′

= −

− sin 2y

= −

sin 2 y

− sin 2z

′

sin 2z

Пример 1.5.9.

∂z ,

∂z

Найти частные производные

неявной функций, заданной

∂x

∂y

уравнением z6 y +

= 5 .

y4 z3

Решение

Запишем функцию F(x, y, z) = z6y + 8xy−4z−3 − 5.

Найдем частные производные функции F(x, y, z) по переменным x, y и z:

	F ′ = (z6 y	+ 8xy−4 z		−3 + 5)′ = 8y−4 z−3;
	x			x
F ′ = (z6 y + 8xy−4 z−3			+ 5)′ = 6z6 y		ln z − 32xy−5 z−3		;
y				y
F	′ = (z6 y + 8xy−4 z−3		+ 5)′ = 6yz6 y−1			− 24xy−4 z−4.
z				z

Тогда

∂z

′

8y−4 z−3

8/ y4 z3

∂x = −

= −

2(3y5 z4 z6 y−1 − 12x)/ z4 y4

Fz′

6yz6 y−1 − 24xy−4 z−4

= −

;

3y5 z4 z6 y−1 − 12x

12x − 3y5 z6 y+3

∂z

= −

Fy′

= −

6z6 y ln z

− 32xy−5 z−3

= −

2(3z6 y z3 y5 ln z − 16x) / z3 y

∂y

Fz′

6yz6 y−1

− 24xy−4 z−4

2(3y5 z4 z6 y−1

− 12x) / z4 y4

= −

(3z6 y+3 y5 ln z − 16x)z4 y4

= −

(3z6 y+3 y5 ln z − 16x)z

(3y5 z6 y+3 − 12x)z3 y5

(3y5 z6 y+3 − 12x) y

16xz − 3z6 y+ 4 y5 ln z

3y6 z6 y+3 − 12xy

Пример 1.5.10

Найти dz и d 2z , если z = z(x, y) − неявная функция, заданная урав-

нением x = ln z + 1 z y

Решение

Запишем функцию F(x, y, z) = x − ln z − 1 = x − ln z + ln y − 1. z y z

Найдем частные производные функции F(x, y, z) по переменным x, y и z:

F′ =		x	− ln z + ln y − 1 ′	=	1	;

x					z
	z		x

F′

− ln z + ln y − 1 ′

;

F′

− ln z + ln y − 1 ′

= −

−

= −

x + z

Тогда

∂z

F ′

+ z

1 z2

= −

: −

;

∂x

F ′

z x + z x + z

∂z

Fy′

x + z

= −

−

∂y

F ′

y(x + z)

Найдем дифференциал первого порядка функции z по формуле

dz =		∂u dx +			∂u dy.
		∂x			∂y
Тогда
dz =	z		dx +		z2
						dy.

	x + z			y(x + z)

Найдем частные производные второго порядка функции z, учиты- вая, что z – функция переменных x и y.

∂2 z		∂	∂z		z ′		z′	(x + z) − z(x + z)′
	=			=		=	x	x	=
∂x2								(x + z)2
		∂x	∂x	x + z x

z′ (x + z) − z(1+ z′ )

(x + z)2

Подставим z′ =

, тогда

x + z

∂

(x + z) − z 1

z − z −

− z

x + z

;

(x + z)2

(x + z)3

∂x2

(x + z)2

∂2 z

∂

∂z

′

(z2 )′y ( y(x + z)) − z2 ( yx + yz)′y

∂y

y(x

+ z)

∂y

(

))

∂

2zz′ ( y(x + z)) − z2 (x + z + yz′ )

y2 (x + z)2

Подставим z′

, тогда

y(x + z)

( y(x + z)) − z2

x + z + y

∂2 z

y(x + z)

∂y2

y2 (x + z)2

2z3 − z2 x − z3 −

+ z)

y2 (x + z)2

(z3

− z2 x)(x + z) − z4

z3 x − z2 x2 + z

4 − z3 x − z4

− z2 x2

;

y2 (x + z)3

2 (x + z)3

∂

∂z

′

z′ (x + z)

− z(x + z)′

∂y

(x + z)2

∂x∂y

∂x x + z y

z′ x + zz′

− zz′

z′ x

(x + z)2

Подставим

z′

, тогда

y(x + z)

∂2 z

z2 x

y(x

+ z)

∂x∂y

(x + z)2

y(x + z)3

Найдем второй дифференциал функции z по формуле

∂2 z

dxdy.

∂x2

∂y2

∂x∂y

Тогда

d 2 z = −	z2	dx2	−		z2 x2	dy2	+	2z2 x	dxdy.
	(x + z)3			y2	(x + z)3			y(x + z)3

1.6.Производная функции в данном направлении

иградиент функции

Производная по направлению


							= M0 M
Производной функции z = f(x, y)					в данном направлении a		= M0 M
называется
	∂z	=		f (M ) − f (M0 )
			lim			,
	∂a		lim			,
	∂a		\|a\|→0		\| a \|

где f(M) и f(M0) − значения функции в точках M и M0.

Если z = f(x, y) – дифференцируемая функция двух переменных, то производная функции z по направлению вектора a находится по формуле

	∂z	=	∂z	cosα +	∂z		α ,
			∂x			sin
						sin
	∂a				∂y
где α – угол, образованный вектором a						с осью OX.

Заметим, что если направление вектора							a совпадает с положи-

тельным направлением оси OX или оси OY, то производная по на- правлению соответственно будет равна частной производной от функции z = f(x, y) по переменной x или y соответственно.

Если u = f(x, y, z) – дифференцируемая функция трех переменных,

то производная функции u			по направлению вектора a определяется

аналогично и вычислить ее можно по формуле
∂u	=	∂u	cos α +	∂u	cosβ +	∂u
		∂x		∂y		cos γ,
∂a						∂z

где α, β, γ – углы между вектором a и положительным направлени- ем осей OX, OY, OZ соответственно.

Производная функции в данном направлении характеризует ско- рость изменения функции в этом направлении.

Из формул для нахождения производной функции по направле- нию очевидно, что производная по направлению вектора, противо- положного вектору a , равна производной по направлению вектора a , взятой с противоположным знаком. Это означает, что при пере- мене направления на противоположное абсолютная величина скоро- сти изменения функции не меняется, а меняется только характер ее изменения. Если, например, в направлении a функция возрастает, то в противоположном направлении она убывает, и наоборот.

Градиент функции

Градиентом функции z = f(x, y) называется вектор, координатами которого служат значения частных производных этой функции, т.е.

grad z =	∂z i	+ ∂z			∂z	; ∂z
			j =				.

	∂x	∂y		∂x		∂y

Градиент функции z = f(x, y) в каждой точке направлен по норма- ли к соответствующей линии уровня функции.

Градиентом функции u = f(x, y, z) называется вектор, координатами которого служат значения частных производных этой функции, т.е.

grad u =	∂u i	+ ∂u	j +			∂u	; ∂u	; ∂u
				∂u k =					.

	∂x	∂y		∂z	∂x ∂y			∂z

Пользуясь определением градиента, формулу для вычисления

производной по направлению вектора a можно записать в виде

∂u
	= (grad z, a0 ) ,
∂a
где вектор a0 = (cos α, cosβ, cos γ )		− орт вектора a , координатами

которого являются направляющие косинусы вектора a . Следовательно, производная по направлению вектора a равна

скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления.

Свойства градиента функции:

1) направление градиента функции в каждой точке совпадает с на- правлением нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку;

2)градиент направлен в сторону возрастания функции;

3)производная по направлению вектора a достигает наибольше-

го значения, если направление a совпадает с направлением градиен- та функции и этот максимум равен длине вектора grad u.

Пример 1.6.1

Найти производную функции z = y2 – 2x2 −5xy в точке М(–3, –4) по направлению к началу координат (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Решение

Найдем частные производные функции z по переменным x и y:

∂z = −4x − 5y;	∂z = 2 y − 5x.
∂x	∂y

Вычислим частные производные в точке М(–3, –4):

∂z		= −4(	−3)	− 5(−4)	= 12 + 20 = 32;
∂z
∂x
	M
	M
∂z		= 2(−4) − 5(−3) = 15 − 8 = 7.
∂z
∂y
		M
		M

Координаты вектора = = (3, 4) тогда длина вектора

a = MO = 9 + 16 = 5.

Найдем направляющие косинусы вектора a :

cos α = 3 ; cosβ = 4 . 5 5

Вычислим производную

по

направлению

= MO по

вектора a

формуле

∂z

cos α +

∂z

cosβ.

Тогда

∂a

∂x

∂y

∂z

96 + 28

124

∂a

Пример 1.6.2

Найти производную функции u =

x y

в точке M(5, 1, 2) в на-

правлении, идущем от этой точки к точке P(7, −1, 3).

Решение

Найдем частные производные функции u по переменным x, y и z:

		y	′		y
∂u =	x		=			;

∂x		z			z
				x

∂u

′

;

∂y

2 yz

′

x y

∂u =

x y

= −

∂z

Тогда частные производные в точке M(5, 1, 2)

∂u

;

∂u

;

∂u

= −

∂x

∂y

∂z

= (2, −2, 1) , тогда длина вектора

Координаты вектора a = MP

= 4 + 4 + 1 = 3.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.20163.07 Mб65186- Путешествуем с английским- Русско-англ разг для бизнесм и путешеств_ред. Мерхелевич_2006.pdf
#
11.11.20181.62 Mб341866.doc
#
08.09.20191.05 Mб241878_ekonomika.doc
#
11.11.20181.99 Mб271882 курсовая ПМП.doc
#
29.09.201988.58 Кб1718_oskol.doc
#
23.03.20161.25 Mб86190-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-neskol-kih-peremennyh-1mb.pdf
#
06.05.20194.67 Mб341920.doc
#
01.03.20252.56 Mб11OPR-E_SM.doc
#
16.09.2019736.77 Кб91The Tower of London is one of the world.doc
#
20.04.2015606.03 Кб1031_2_223.pdf поляков.pdf
#
14.11.201971.92 Кб531а Правоведение. Контрольная работа № 1 2012-13...docx