2420-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy

2.11. Свойства функций, непрерывных в точке

Свойство 1. Если функция непрерывна в точке а, то существует такая окрестность этой точки, в которой функция ограничена, т.е.

δ > 0 С > 0 : x Uδ (a) → | f (x) | < C .

Свойство 2. Если функция непрерывна в точке а и отлична от нуля, то существует такая окрестность этой точки, в которой функция сохраняет знак числа f(a), т.е.

δ > 0 : x Uδ (a) → signf (x) = signf (a) .

Свойство 4. Если функция z = f(y) непрерывна в точке y0, а функция y = ϕ(x) непрерывна в точке х0, причем y0 = ϕ(x0), то в некоторой окрестности точки х0 определена сложная функция f(ϕ(x)), непрерывная в точке х0.

Доказательство. Свойства 1 – 3 являются следствием определения непрерывности и соответствующих свойств пределов функции.

Докажем свойство 4. Возьмем произвольное число ε > 0. Так как z = f(y) непрерывна в точке y0, то найдется число ρ(ε) > 0, такое что для всех у, принадлежащих ρ-окрестности точки y0, соответствующие значения функции f(y) принадлежат ε-окрестности числа f(y0). Так как y = ϕ(x) непрерывна в точке х0, то для найденного ρ(ε) найдется число δ(ρ(ε)) > 0 такое, что для всех х, принадлежащих δ- окрестности точки х0, соответствующие значения функции ϕ(x) принадлежат ρ-окрестности точки y0 = ϕ(x0). Итак, для произвольного ε > 0 найдется δ(ε) > 0, такое что для всех х, принадлежащих δ- окрестности точки х0, f(ϕ(x)) принадлежат ε-окрестности числа f(ϕ(x0)), т.е. сложная функция f(ϕ(x)), определенная в окрестности точки х0, непрерывна в точке х0.

2.12. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.17. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой внутренней точке отрезка, непрерывна в точке а справа, в точке b слева.

62

Множество функций, непрерывных на [a, b], обозначается как

C[a, b].

ТЕОРЕМА 2.7. (Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции.) Если f(x) C[a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Замечания

1.Теорема не верна в случае интервала, а не отрезка. Например, функция f(x) = 1/х непрерывна на (0, 1], но не ограничена на этом интервале.

2.Теорема не верна для функции, разрывной на отрезке, например

определена на отрезке [0, 1], но не является ограниченной.

ТЕОРЕМА 2.8. (Теорема Вейерштрасса о достижимости функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней.) Если f(x) C[a, b], то она достигает на этом отрезке своей точной нижней и верхней грани.

Замечания

1.Теорема не верна в случае интервала, а не отрезка. Например, функция f(x) = х непрерывна на (0, 1), но не достигает на этом интервале своих точных граней.

2.Теорема не верна для функции, разрывной на отрезке. Например, функция

ТЕОРЕМА 2.9. (Теорема Коши о нулях непрерывной на отрезке функции.) Если f(x) C[a, b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то найдется точка ξ (a, b), такая что f(ξ) = 0.

Замечание. Разрывная функция, имеющая на концах отрезка значения разных знаков, может не проходить через нуль.

63

ТЕОРЕМА 2.10. (Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции.) Если f(x) C[a,b] и f(a) = A, f(b) = B, причем А ≠ Β, то для любого числа K, лежащего между А и В, найдется точка ξ [a, b], такая что f(ξ) = K.

СЛЕДСТВИЕ. Если f(x) C[a, b], то множеством значений, принимаемых функцией на [a, b], является отрезок [m, M], где m = inf f(x), M = sup f(x).

2.13. Существование и непрерывность функции, обратной к непрерывной и строго монотонной функции

Пусть D(f) = [a, b] – область определения функции f(x), Е(f) = [c, d] – область значений функции f(x) (рис. 2.10). Если f(x) такова, что для любого у0 [c, d], уравнение

f(x) = у0

имеет единственное решение x = x0, то говорят, что функция обратима. В этом случае, выразив х из формулы у = f(x) и поменяв затем х и

уместами, получим обратную функцию f –1:

у= f –1(x) = g(x), x D(g).

y

d

y = f(x)

y0

c

Рис. 2.10. Пример графика обратимой функции

Свойства обратной функции

1. Если g – функция, обратная к f, то f – функция, обратная к g; при этом

D(g) = Е(f), Е(g) = D(f).

64

Рис. 2.11. Пример графиков взаимно обратных функций

2.g(f(x)) = x, x D(f); f(g(x)) = x, x E(f).

3.График обратной функции симметричен графику функции f(x) относительно прямой у = х. Действительно, точке (х0, f(x0)) = (х0, у0) на графике исходной функции (рис. 2.11) соответствует точка (у0, х0) на графике обратной функции.

4.Если f – строго возрастающая (строго убывающая) функция, то она обратима, причем обратная к ней функция g также является строго возрастающей (строго убывающей) функцией.

ТЕОРЕМА 2.11. Если функция y = f(x) C[a, b] и строго возрастает (убывает), то на отрезке [f(a), f(b)] определена функция x = g(y), обратная к f(x), непрерывная на [f(a), f(b)] и строго возрастающая (убывающая).

2.14. Непрерывность элементарных функций

Многочлены и дробно-рациональные функции

ТЕОРЕМА 2.12. Любой многочлен степени n

Pn(x) = anxn + … + a1x + a0, ak R k, an ≠ 0,

является непрерывной на R функцией.

Доказательство. Пусть х0 – произвольная точка числовой оси. Докажем, что

65

lim Pn (x) = Pn (x0 ).

x → x0

= an x0n + ... + a1x0 + a0 = P n (x0 ).

СЛЕДСТВИЕ. Всякая дробно-рациональная функция f (x) = Pn (x) ,

Qm (x)

где Pn(x) – многочлен степени n, Qm(x) – многочлен степени m, непрерывна во всех точках, в которых ее знаменатель не обращается в ноль.

Доказательство. Пусть х0 – произвольная точка числовой оси, та-

кая что Qm(x0) ≠ 0. f (x) = Pn (x) непрерывна в точке х0 как частное

Qm (x)

непрерывных функций.

Тригонометрические и обратные тригонометрические функции

ТЕОРЕМА 2.13. Функции у = sin x и y = cos x непрерывны на всей числовой оси.

Доказательство. Пусть х0 – произвольная точка числовой оси. Рассмотрим разность

То есть

sin x →sin x0 при х → х0 .

Это значит, что у = sin x – непрерывна в точке х0. Аналогично доказывается непрерывность косинуса.

66

СЛЕДСТВИЕ. Функция y = tg x непрерывна во всех точках, кроме х = π/2 + πn; функция y = ctg x непрерывна во всех точках, кроме

х = πn.

Доказательство. Это есть следствие непрерывности синуса и косинуса и теоремы о непрерывности частного двух непрерывных функций.

ТЕОРЕМА 2.14. Обратные тригонометрические функции у = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x непрерывны в своей области определения.

Доказательство

Функция у = arcsin x, х [–1,1] – обратная к у = sin x, х [–π/2, π/2]; функция y = arccos x, х [–1,1] – обратная к y = cos x, х [0, π]; функция y = arctg x, х R – обратная к y = tg x, х (–π/2, π/2); функция y = arcctg x, х R – обратная к y = ctg x, х (0, π).

Эти функции непрерывны в своей области определения как обратные к непрерывным функциям.

Показательная и логарифмическая функции

ТЕОРЕМА 2.15. Показательная функция у = ах, где 0 < а < 1 или а > 1, непрерывна на всей числовой оси.

Доказательство. Воспользуемся неравенством, которое приведем без доказательства:

ах – 1| < С(а) х при х → 0.

(Здесь С(а) – константа, зависящая от основания степени а.) Пусть х0 – произвольная точка числовой оси. Используя последнее

неравенство, имеем оценку

ax − ax0 = ax0 ax−x0 −1 ≤ ax0 C(a) x − x0 → 0 при х → х0 .

Отсюда следует, что и ax − ax0 → 0 при х → х0 , т.е. у = ах – непре-

рывна в точке х0.

ЗАМЕЧАНИЕ. В частности, y = ех непрерывна на всей числовой прямой. Эту функцию называют экспонентой.

ТЕОРЕМА 2.16. Логарифмическая функция y = logax, где 0 < а < 1 или а > 1, непрерывна на полуоси х > 0.

67

Доказательство. Логарифмическая функция y = logax непрерывна в своей области определения как обратная к непрерывной функции

у = ах.

Гиперболические функции

С рассмотренной выше экспонентой непосредственно связаны так называемые гиперболические функции, которые вводятся следующим образом:

Эти функции (рис. 2.12) непрерывны на всей числовой прямой.

Рис. 2.12. Графики гиперболических функций y = shx и y = сhx

y = cthx = chx = ex + e−x – гиперболический котангенс. shx ex − e−x

Функция y = thx непрерывна на всей числовой прямой, а y = сthx имеет разрыв второго рода в точке х = 0 (рис. 2.13).

68

Доказательство. Из определения логарифма имеем х = elnx, следовательно, у = хα = eαlnx, т.е. степенная функция – композиция показательной и логарифмической функции, умноженной на константу. Показательная и логарифмическая функции непрерывны при х > 0, следовательно, степенная функция также непрерывна по теореме о непрерывности сложной функции.

Замечание. При рассмотрении степенной функции предполагалось, что х > 0, так как при х ≤ 0 выражение хα имеет смысл не для всех α в области действительных чисел. Однако, если α – рационально и выражение хα имеет смысл при х < 0, то функция у = хα при α > 0 будет непрерывна на всей числовой прямой, а при α < 0 – на всей действительной оси, кроме точки х = 0.

Показательно-степенная функция

Пусть функции u(x) и v(x) определены на промежутке (a, b), причем u(x) > 0 на (a, b). Тогда функцию, определяемую формулой

y = (u(x))v(x) =ev(x)lnu(x),

называют показательно-степенной.

Если функции u(x) и v(x) непрерывны на промежутке (a, b), то функция (u(x))v(x) непрерывна на (a, b) как суперпозиция непрерывных функций et и t = v(x)lnu(x).

Класс элементарных функций

К простейшим элементарным функциям обычно относят рассмотренные выше функции хα, ах, logax, sinx, cosx, tgx, сtgx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcсtgx. Класс функций, получаемых из простейших элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций или путем суперпозиции этих функций, называется классом элементарных функций, а каждая функция этого класса – элементарной функцией.

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

70