Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2420-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy

.pdf
Скачиваний:
102
Добавлен:
23.03.2016
Размер:
6.63 Mб
Скачать

 

 

+

1

x

=

lim

1

 

 

 

x → − ∞

 

 

x

 

 

=

 

 

 

 

+

lim

1

 

y → + ∞

 

Итак, установлено, что

 

 

 

 

 

1

 

− y

 

 

 

 

 

y

y

lim

1 −

 

 

 

 

=

lim

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

y → + ∞

 

 

 

y

 

y → + ∞ y −1

 

1

y−1

lim

 

+

1

 

 

 

= e.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y −1

 

 

 

y→ + ∞

 

y −1

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

1

+

 

 

 

 

= е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x →∞

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замена переменной при вычислении пределов

 

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть существуют lim f (x) = b и

lim F( y).

x →a

y →b

Пусть, кроме того, f(x) ≠ b в некоторой проколотой окрестности точ-

ки а, тогда

в точке

а существует

предел сложной

 

функции

lim F ( f (x)) = lim F ( y).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x →a

y →b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИМЕР 2.4. Найти lim

5 x +1 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x →0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Пусть y = 5 x +1.

Тогда

 

5 x +1 −1

=

y −1

 

, причем

 

 

5

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

у → 1 при х → 0. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

x +1 −1

 

y 1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

lim

 

 

=

lim

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

=

 

.

x →0

x

y →1 y5 1

y→1 y

4 + y3 + y2 + y +1 5

Следствия замечательных пределов

Отметим некоторые важные следствия замечательных пределов (табл. 2.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

lim

tg x

= 1

2.

lim

1 cos x

=

1

 

3.

lim

arcsin x

= 1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x → 0 x

 

x → 0

 

 

 

2

 

 

x→0

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

arctg x

5.

lim

1

 

 

1/ x

 

 

 

 

 

 

ln(1 + x)

 

 

 

+ x

 

 

= e

 

 

 

 

4.

lim

 

 

 

= 1

 

x → 0

(

 

 

)

 

 

 

 

6.

lim

 

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x → 0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x → 0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex −1

 

 

shx

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 + x)α −1

7.

lim

 

 

 

= 1

8.

lim

 

 

= 1

 

 

 

 

9.

lim

 

 

 

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x → 0

x

 

 

 

 

 

 

 

x → 0

x

 

 

 

 

 

 

 

x → 0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51

Докажем приведенные в табл. 2.1 результаты.

1.

 

lim

tg x

= lim

sin x

 

 

 

1

 

 

= lim

sin x

lim

 

1

 

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x →0 x

x →0

 

x

 

 

 

 

cos x

 

 

 

x →0

x

 

 

 

x →0 cos x

 

 

 

 

 

 

2sin

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

1 sin(x / 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

=

 

 

 

 

2

=

 

 

 

. Пусть y = x/2. Тогда у → 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при х → 0 и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

cos

x

 

 

1

 

 

 

sin

 

у

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

=

 

 

lim

 

 

 

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x →0

 

 

x

 

 

 

 

 

2 у →0

у

 

 

 

2

 

 

 

 

3. Пусть y = arcsin x, тогда x = sin y,

arcsin x

=

 

 

 

y

, причем у → 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

sin y

при х → 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

arcsin x

= lim

 

y

 

 

 

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y→0 sin y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично может быть получен результат 4.

 

 

 

 

 

 

5. Пусть у = 1/х. Тогда у → ∞ при х → 0 и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim (1+ x)

= lim

1 +

 

 

 

 

 

= е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x →0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у →∞

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.ln(1 + x) = 1 ln(1 + x) = ln(1 + x)1/ х . Следовательно, x х

lim

ln(1 + x)

= lim ln 1+ x

1/ x

 

= ln

lim

1

+ x

1/ x

= ln e = 1.

 

)

 

)

 

 

 

x →0 (

(

)

 

 

(

 

 

x →0 x

 

 

 

x →0

 

 

 

 

 

Возможность совершенного выше предельного перехода следует из непрерывности функции lnx, этот вопрос мы обсудим позже.

7. Пусть у = ex – 1, тогда x = ln(1 + y) и у → 0 при х → 0. Следовательно,

 

 

x

 

 

 

lim

e

−1

= lim

y

=1.

 

 

 

 

x →0

x

y →0 ln(1 + y)

 

52

 

 

x

e

x

8. Рассмотрим функцию

y = shx =

e

 

− гиперболический си-

 

2

 

 

 

 

 

 

нус х.

Свойства гиперболических функций будут рассмотрены позже. А сейчас займемся вычислением требуемого предела. Сделаем следующие преобразования:

shx

 

ex −1 +1 − e−x

1

ex −1

 

e−x −1

 

 

=

 

=

 

 

 

 

+

 

 

.

 

 

 

 

 

(−x)

x

 

2x

2

 

x

 

 

Следовательно,

lim

shx

==

1

lim

ex

−1

+

1

lim

e−x −1

=1.

 

 

 

 

 

 

x→0 x

 

2 x→0

x

2 x→0 (−x)

9. Пусть у = (1 + х)α – 1 = e αln(1 + x) – 1, тогда 1 + y = αln(1 + x) и

ln(1 + y) = αln(1 + x),

причем у → 0 при х → 0. Следовательно,

(1 + x)α 1

=

y

 

αln(1 + x)

.

 

ln(1 + y)

 

x

 

x

Перейдя к пределу при х → 0 в последнем выражении, получаем окончательный результат:

lim

(1 + x)α −1

 

= lim

y

α lim

ln(1 + x)

= α.

 

 

 

x →0

x

y →0 ln(1 + y)

x →0 x

2.9. Сравнение функций

Эквивалентные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.12. Пусть функции f(x), g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и отличны от нуля во всех точках этой окрестности. Эти функции называются эквивалентными

(асимптотически равными) при х → а, если

lim f (x) =1.

x→a g(x)

53

При этом используется обозначение f(x) g(x) при х → а. Например:

sinx x при х → 0;

 

4

 

 

 

 

4

 

x

x2

при х → ∞, так как lim

 

 

x

=1.

 

 

 

 

 

2

 

 

2

2

+ 5

 

x → ∞ (x

 

x

 

 

+ 5)x

 

Замечание. Если сравниваемые функции обе бесконечно малые или бесконечно большие при х → а, то их эквивалентность означает, что скорость их стремления к нулю или к бесконечности одинакова.

Используя рассмотренные выше замечательные пределы и следствия из них (см. табл. 2.1), можно составить таблицу эквивалентных бесконечно малых функций (табл. 2.2).

Таблица 2.2

sinх х, х → 0

ln(1 + х) х, х → 0

tgх х, х → 0

eх – 1 х, х → 0

1 – cosх х2/2, х → 0

shх х, х → 0

arcin х х, х → 0

(1 + х)k – 1 kх, х → 0

arctg х х, х → 0

 

Соотношения, приведенные в табл. 2.2, остаются справедливыми при х → а, если заменить в них х на функцию α(х) → 0 при х → а. Например:

tg(х–1) х–1 при х → 1,

shх3 х3, при х → 0.

ТЕОРЕМА 2.5. (Замена функций на эквивалентные при вычислении предела.)

Пусть f(x) f1(x), g(x) g1(x) при x → а. Тогда, если существует

lim

f1(x)

,

то существует и lim

f (x)

, причем

 

 

 

x→a g1(x)

 

x→a g(x)

 

 

 

lim

f (x)

= lim

f1(x)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x→a g(x) x→a g1(x)

Доказательство. Сделаем необходимое преобразование:

54

x3 cos x

f (x) = f (x) f1(x) g1(x) . g(x) f1(x) g1(x) g(x)

Последнее преобразование правомерно, так как функции отличны от нуля в проколотой окрестности точки а.

Так как существует lim

f1(x)

, а lim

f (x)

= lim

g1(x)

= 1 , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→a g1(x)

x→a f1(x)

 

x→a g(x)

 

f (x)

 

f1(x)

 

g1 (x)

 

 

 

f (x)

 

 

 

f1(x)

 

 

g1(x)

 

f1(x)

 

lim

= lim

lim

lim

= lim

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x→a

f1(x) g1 (x) g(x)

 

x→a f1(x) x→a g1(x) x→a g(x) x→a g1(x)

Следовательно, существует и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

f (x)

= lim

f1(x)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→a g(x)

x→a g1(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

СЛЕДСТВИЕ. При вычислении предела произведения или частного нескольких функций любой сомножитель можно заменять на его предел, если этот предел отличен от нуля.

ПРИМЕР 2.5. Найти lim

sin 5x(e3x 1)

 

.

 

x→0

1 cos x

Решение. Так как sin5х 5х, e– 1 3х, 1 – cosх х2/2 при х → 0, то

 

sin 5x(e3x

1)

 

5x 3x

lim

 

 

= lim

 

 

= 30.

 

 

x2

 

x→0 1cos x

x→0

/ 2

 

ПРИМЕР 2.6. Найти lim sin x − tg x .

x→0 x3

Решение. Сначала преобразуем функцию, предел которой необходимой найти:

f (x) = sin x tg x = sin x(cos x 1) . x3

Так как sinх х, cosх – 1 – х2/2, cosх 1 при х → 0, то

lim f (x) = lim

x(x

2

/ 2)

=

1

.

 

3

 

 

x→0

x→0 x

 

2

 

 

 

 

55

Замечание к примеру 2.6. Если бы мы формально заменили функции, стоящие в числителе дроби, на эквивалентные, то получили бы следующий результат:

lim

sin x tg x

= lim

x x

= lim

0

= 0.

 

 

 

3

3

3

x→0

x

x→0

x

x→0

x

Итак, в случае суммы или разности функций замену их на эквивалентные при вычислении предела производить нельзя!!!

Понятие функции, бесконечно малой по сравнению с другой функцией.

Символ «о-малое»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.13. Пусть функции f(x), g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и g(x) отлична от нуля во всех точках этой окрестности. Если

lim f (x) = 0,

x→a g(x)

то функция f(x) называется бесконечно малой по сравнению с g(x) при х → а. При этом используется обозначение

f(x) = о(g(x)) при х → а.

Последняя запись читается так:«f(x) есть о-малое от g(x)) при х → а».

 

 

4

 

Например: х4 = o(x2) при х → 0, так как lim

x

 

= lim x2 = 0 .

 

2

x→0 x

 

x→0

Замечание. В частности, запись f(x) = о(1) означает, что f(x) – бесконечно малая при х → а функция.

В табл. 2.3 приведены некоторые важные свойства символа о-малое. Считается, что х → а, а равенства, содержащие этот символ, читаются слева направо.

 

 

 

 

Таблица 2.3

 

 

 

 

 

1) o(C g(x)) = o(g(x)), С = const

6) o(gm(x)) o(gn(x)) = o(gm+n(x)), m, n N

 

2) C o(g(x)) = o(g(x)), С = const

7) gn–1(x) o(g(x)) = o(gn(x)), n N

 

3) o(g(x)) + o(g(x)) = o(g(x))

8) (o(g(x))n = o(gn(x)), n N

 

4) o(o(g(x)) = o(g(x))

 

n

 

 

 

9)

o(g

( x))

= o(gn−1( x)) , n N, g(x) ≠ 0 в U δ (a)

 

5) o(g(x) + o(g(x)) = o(g(x))

 

 

 

 

 

g(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56

Асимптотическое представление функций

ТЕОРЕМА 2.6. (Критерий эквивалентности функций.) Для того чтобы функции f(x) и g(x) были эквивалентными при х → а, необходимо и достаточно, чтобы f(x) = g(x) + о(g(x)) при х → а.

Доказательство

1. Пусть f(x) g(x) при х → а, т.е. lim f (x) =1. Это значит, что

x→a g(x)

f (x)

=1 + о(1), х → а ,

g(x)

т.е.

f(x) = g(x) + о(g(x)) при х → а.

2. Обратно: пусть f(x) = g(x) + о(g(x)) при х → а. Тогда f (x) =1 + о(1), g(x)

x → a, следовательно,

lim f (x) =1.

x→a g(x)

Теорема 2.6 позволяет табл. 2.2 эквивалентных бесконечно малых записать в другом виде (табл. 2.4).

Таблица 2.4

sinх = х + о(х), х → 0

ln(1 + х) = х + о(х), х → 0

tgх = х + о(х), х → 0

eх – 1 = х + о(х), х → 0

1 – cosх = х2/2 + о(х2), х → 0

shх = х + о(х), х → 0

arcinх = х + о(х), х → 0

(1 + х)k – 1 = kх + о(х), х → 0

arctgх = х + о(х), х → 0

 

Используя эту таблицу, можно вычислять пределы функций.

ПРИМЕР 2.6. Найти lim sin 5x − 2 tg x .

x→0 ex 3 1 + x

Решение. Приведем необходимые асимптотические разложения функций в числителе и знаменателе дроби:

sin 5x = 5x + o(5x) = 5x + o(x);

2 tg x = 2(x + o(x)) = 2x + 2o(x) = 2x + o(x);

57

sin 5x − 2 tg x = 5x + o(x) − 2x − o(x) = 3x + o(x);

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

ex 3 1 + x = (ex −1) − ((1 + x)

 

−1) = (x + o(x)) − (

x + o(x)) =

x + o(x) .

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

+

 

o(x)

 

 

 

 

 

 

 

sin 5x − 2 tg x

 

 

 

3x + o(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

3 + o(1)

 

 

f (x) =

 

 

 

 

 

 

x

 

 

=

=

 

 

 

 

 

 

 

=

,

 

ex 3 1 + x

2

x + o(x)

 

2 o(x)

 

2

+ o(1)

 

 

 

 

 

 

3

 

3

+

 

 

 

 

x

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где о(1) → 0 при х → 0. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim f (x) = lim

3 + o(1)

=

9

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

x→0

+ o(1)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функции одного порядка. Символ «О-большое»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 2.14. Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и отличны от нуля во всех точках этой окрестности. Эти функции будем называть функциями одного порядка при х → а, если существует

lim f (x) = C ≠ 0.

x →a g(x)

В этом случае будем использовать обозначения

f(x) = О(g(x)) при → а,

g(x) = О(f(x)) при → а.

Последние соотношения читаются так: «f(x) есть О-большое от g(x) при x → а», «g(x) есть О-большое от f(x) при х → а».

Например:

2

3

 

2 + 3х3 = О(х2) при х → 0, так как lim

2x

+3x

= lim(2 +3x) = 2 ≠ 0 ;

 

2

x →0

x →0

x

 

 

 

58

 

 

 

2

+

3

 

 

 

2

 

2

3

3

 

 

2x

3x

 

 

 

+ 3х

= О(х ) при х → ∞, так как

lim

 

 

 

 

= lim

3

+

 

 

= 3 ≠ 0 ;

 

3

 

 

 

 

 

 

x →∞

x

 

 

x →∞

 

 

x

 

100 + x = О(ех) при х → 0, так как lim

100 + x

=100 ≠ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x →0

e

 

2.10. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва

Понятие непрерывности функции в точке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.15. Функция f(x), определенная в некоторой полной окрестности точки а, называется непрерывной в точке а, если

lim f (x) = f (a),

x →a

т.е. если

ε > 0 δ > 0 : x Uδ (a) → f (x) Uε ( f (a)).

Назовем разность х – а приращением аргумента, а разность f(х) – f(а) – приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента. Обозначим

х = х – а, у = f(х) – f(а).

Тогда х = а + х, у = f(а + х) – f(а) и непрерывность функции в точке а означает, что

у → 0 при х → 0.

Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

ПРИМЕР 2.7. Доказать, что функция f(x) = х2 непрерывна в любой точке а своей области определения.

Решение. Функция определена на всей числовой прямой. Возьмем произвольную точку а R и найдем приращение функции, соответствующее приращению аргумента х:

у = f(а + х) – f(а) = (а + х)2 – а2 = 2а х + ( х)2 → 0 при х → 0.

Следовательно, функция непрерывна в точке а.

59

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.16. Функция f(x), определенная в левой полуокрестности точки а, называется непрерывной в точке а слева, если

lim f (x) = f (a).

x → a−0

Функция f(x), определенная в правой полуокрестности точки а, называется непрерывной в точке а справа, если

lim f (x) = f (a).

x → a + 0

Замечание. Очевидно, функция f(x), определенная в некоторой полной окрестности точки а, непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке как слева, так и справа.

Точки разрыва

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки а. Точка а называется точкой разрыва функции f(x), если функция либо не определена в этой точке, либо определена, но не является непрерывной в точке а.

Если существует lim f (x) , но функция не определена в этой точке

x→a

или lim f (x) ≠ f (а) , то а называют точкой устранимого разрыва.

x→a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) функция

f (x) =

sin x

 

не определена в точке х = 0, но

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

sin x

=1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1,

если

x < 0,

2) функция

 

 

 

2

 

f (x) = signx

=

 

если

x = 0,

f(x) = (signx) , где

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

x > 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

1,

(рис. 2.7) определена на всей числовой оси, но

 

 

 

 

 

 

lim f (x) =1 ≠ f (0) = 0.

 

 

 

 

 

 

x→0

 

 

 

 

 

 

 

Если существуют lim

f (x) = f (a − 0) и lim

 

f (x) = f (a + 0) , но

 

x → a − 0

 

 

x → a + 0

 

 

 

f(a − 0) ≠ f(a + 0),

то а – точка разрыва первого рода. Разность f(a + 0) – f(a – 0) называется скачком функции в точке а.

60