2420-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy

Пусть, кроме того, f(x) ≠ b в некоторой проколотой окрестности точ-

Следствия замечательных пределов

Отметим некоторые важные следствия замечательных пределов (табл. 2.1).

51

Докажем приведенные в табл. 2.1 результаты.

6.ln(1 + x) = 1 ln(1 + x) = ln(1 + x)1/ х . Следовательно, x х

Возможность совершенного выше предельного перехода следует из непрерывности функции lnx, этот вопрос мы обсудим позже.

7. Пусть у = ex – 1, тогда x = ln(1 + y) и у → 0 при х → 0. Следовательно,

52

нус х.

Свойства гиперболических функций будут рассмотрены позже. А сейчас займемся вычислением требуемого предела. Сделаем следующие преобразования:

Следовательно,

9. Пусть у = (1 + х)α – 1 = e αln(1 + x) – 1, тогда 1 + y = αln(1 + x) и

ln(1 + y) = αln(1 + x),

причем у → 0 при х → 0. Следовательно,

Перейдя к пределу при х → 0 в последнем выражении, получаем окончательный результат:

2.9. Сравнение функций

Эквивалентные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.12. Пусть функции f(x), g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и отличны от нуля во всех точках этой окрестности. Эти функции называются эквивалентными

(асимптотически равными) при х → а, если

lim f (x) =1.

x→a g(x)

53

При этом используется обозначение f(x) g(x) при х → а. Например:

sinx x при х → 0;

Замечание. Если сравниваемые функции обе бесконечно малые или бесконечно большие при х → а, то их эквивалентность означает, что скорость их стремления к нулю или к бесконечности одинакова.

Используя рассмотренные выше замечательные пределы и следствия из них (см. табл. 2.1), можно составить таблицу эквивалентных бесконечно малых функций (табл. 2.2).

Таблица 2.2

Соотношения, приведенные в табл. 2.2, остаются справедливыми при х → а, если заменить в них х на функцию α(х) → 0 при х → а. Например:

tg(х–1) х–1 при х → 1,

shх3 х3, при х → 0.

ТЕОРЕМА 2.5. (Замена функций на эквивалентные при вычислении предела.)

Пусть f(x) f1(x), g(x) g1(x) при x → а. Тогда, если существует

Доказательство. Сделаем необходимое преобразование:

54

f (x) = f (x) f1(x) g1(x) . g(x) f1(x) g1(x) g(x)

Последнее преобразование правомерно, так как функции отличны от нуля в проколотой окрестности точки а.

СЛЕДСТВИЕ. При вычислении предела произведения или частного нескольких функций любой сомножитель можно заменять на его предел, если этот предел отличен от нуля.

Решение. Так как sin5х 5х, e3х – 1 3х, 1 – cosх х2/2 при х → 0, то

ПРИМЕР 2.6. Найти lim sin x − tg x .

x→0 x3

Решение. Сначала преобразуем функцию, предел которой необходимой найти:

f (x) = sin x − tg x = sin x(cos x −1) . x3

Так как sinх х, cosх – 1 – х2/2, cosх 1 при х → 0, то

55

Замечание к примеру 2.6. Если бы мы формально заменили функции, стоящие в числителе дроби, на эквивалентные, то получили бы следующий результат:

Итак, в случае суммы или разности функций замену их на эквивалентные при вычислении предела производить нельзя!!!

Понятие функции, бесконечно малой по сравнению с другой функцией.

Символ «о-малое»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.13. Пусть функции f(x), g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и g(x) отлична от нуля во всех точках этой окрестности. Если

lim f (x) = 0,

x→a g(x)

то функция f(x) называется бесконечно малой по сравнению с g(x) при х → а. При этом используется обозначение

f(x) = о(g(x)) при х → а.

Последняя запись читается так:«f(x) есть о-малое от g(x)) при х → а».

Замечание. В частности, запись f(x) = о(1) означает, что f(x) – бесконечно малая при х → а функция.

В табл. 2.3 приведены некоторые важные свойства символа о-малое. Считается, что х → а, а равенства, содержащие этот символ, читаются слева направо.

56

Асимптотическое представление функций

ТЕОРЕМА 2.6. (Критерий эквивалентности функций.) Для того чтобы функции f(x) и g(x) были эквивалентными при х → а, необходимо и достаточно, чтобы f(x) = g(x) + о(g(x)) при х → а.

Доказательство

1. Пусть f(x) g(x) при х → а, т.е. lim f (x) =1. Это значит, что

x→a g(x)

f (x)

=1 + о(1), х → а ,

g(x)

т.е.

f(x) = g(x) + о(g(x)) при х → а.

2. Обратно: пусть f(x) = g(x) + о(g(x)) при х → а. Тогда f (x) =1 + о(1), g(x)

x → a, следовательно,

lim f (x) =1.

x→a g(x)

Теорема 2.6 позволяет табл. 2.2 эквивалентных бесконечно малых записать в другом виде (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Используя эту таблицу, можно вычислять пределы функций.

ПРИМЕР 2.6. Найти lim sin 5x − 2 tg x .

x→0 ex − 3 1 + x

Решение. Приведем необходимые асимптотические разложения функций в числителе и знаменателе дроби:

sin 5x = 5x + o(5x) = 5x + o(x);

2 tg x = 2(x + o(x)) = 2x + 2o(x) = 2x + o(x);

57

sin 5x − 2 tg x = 5x + o(x) − 2x − o(x) = 3x + o(x);

Функции одного порядка. Символ «О-большое»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 2.14. Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и отличны от нуля во всех точках этой окрестности. Эти функции будем называть функциями одного порядка при х → а, если существует

lim f (x) = C ≠ 0.

x →a g(x)

В этом случае будем использовать обозначения

f(x) = О(g(x)) при → а,

g(x) = О(f(x)) при → а.

Последние соотношения читаются так: «f(x) есть О-большое от g(x) при x → а», «g(x) есть О-большое от f(x) при х → а».

Например:

58

2.10. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва

Понятие непрерывности функции в точке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.15. Функция f(x), определенная в некоторой полной окрестности точки а, называется непрерывной в точке а, если

lim f (x) = f (a),

x →a

т.е. если

ε > 0 δ > 0 : x Uδ (a) → f (x) Uε ( f (a)).

Назовем разность х – а приращением аргумента, а разность f(х) – f(а) – приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента. Обозначим

х = х – а, у = f(х) – f(а).

Тогда х = а + х, у = f(а + х) – f(а) и непрерывность функции в точке а означает, что

у → 0 при х → 0.

Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

ПРИМЕР 2.7. Доказать, что функция f(x) = х2 непрерывна в любой точке а своей области определения.

Решение. Функция определена на всей числовой прямой. Возьмем произвольную точку а R и найдем приращение функции, соответствующее приращению аргумента х:

у = f(а + х) – f(а) = (а + х)2 – а2 = 2а х + ( х)2 → 0 при х → 0.

Следовательно, функция непрерывна в точке а.

59

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.16. Функция f(x), определенная в левой полуокрестности точки а, называется непрерывной в точке а слева, если

lim f (x) = f (a).

x → a−0

Функция f(x), определенная в правой полуокрестности точки а, называется непрерывной в точке а справа, если

lim f (x) = f (a).

x → a + 0

Замечание. Очевидно, функция f(x), определенная в некоторой полной окрестности точки а, непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке как слева, так и справа.

Точки разрыва

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки а. Точка а называется точкой разрыва функции f(x), если функция либо не определена в этой точке, либо определена, но не является непрерывной в точке а.

Если существует lim f (x) , но функция не определена в этой точке

x→a

или lim f (x) ≠ f (а) , то а называют точкой устранимого разрыва.

f(a − 0) ≠ f(a + 0),

то а – точка разрыва первого рода. Разность f(a + 0) – f(a – 0) называется скачком функции в точке а.

60