
2420-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy
.pdf
|
|
+ |
1 |
x |
= |
lim |
1 |
|
|
||
|
|||||
x → − ∞ |
|
|
x |
|
|
= |
|
|
|
|
+ |
lim |
1 |
||||
|
y → + ∞ |
|
Итак, установлено, что
|
|
|
|
|
1 |
|
− y |
|
|
|
|
|
y |
y |
||||
lim |
1 − |
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y → + ∞ |
|
|
|
y |
|
y → + ∞ y −1 |
|
|||||||||||
1 |
y−1 |
lim |
|
+ |
1 |
|
|
|
= e. |
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y −1 |
|
|
|
y→ + ∞ |
|
y −1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
1 |
+ |
|
|
|
|
= е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x →∞ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена переменной при вычислении пределов |
|
ТЕОРЕМА 2.4. Пусть существуют lim f (x) = b и |
lim F( y). |
x →a |
y →b |
Пусть, кроме того, f(x) ≠ b в некоторой проколотой окрестности точ-
ки а, тогда |
в точке |
а существует |
предел сложной |
|
функции |
|||||||||||||||
lim F ( f (x)) = lim F ( y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x →a |
y →b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРИМЕР 2.4. Найти lim |
5 x +1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x →0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Пусть y = 5 x +1. |
Тогда |
|
5 x +1 −1 |
= |
y −1 |
|
, причем |
|||||||||||||
|
|
5 |
−1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||
у → 1 при х → 0. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
x +1 −1 |
|
y −1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
lim |
|
|
= |
lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|||
x →0 |
x |
y →1 y5 −1 |
y→1 y |
4 + y3 + y2 + y +1 5 |
Следствия замечательных пределов
Отметим некоторые важные следствия замечательных пределов (табл. 2.1).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
lim |
tg x |
= 1 |
2. |
lim |
1 − cos x |
= |
1 |
|
3. |
lim |
arcsin x |
= 1 |
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x → 0 x |
|
x → 0 |
|
|
|
2 |
|
|
x→0 |
x |
||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
arctg x |
5. |
lim |
1 |
|
|
1/ x |
|
|
|
|
|
|
ln(1 + x) |
|||||||
|
|
|
+ x |
|
|
= e |
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
lim |
|
|
|
= 1 |
|
x → 0 |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
6. |
lim |
|
= 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x → 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 |
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ex −1 |
|
|
shx |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + x)α −1 |
||||||||
7. |
lim |
|
|
|
= 1 |
8. |
lim |
|
|
= 1 |
|
|
|
|
9. |
lim |
|
|
|
= 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x → 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x → 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 |
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51

Докажем приведенные в табл. 2.1 результаты.
1. |
|
lim |
tg x |
= lim |
sin x |
|
|
|
1 |
|
|
= lim |
sin x |
lim |
|
1 |
|
= 1. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x →0 x |
x →0 |
|
x |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
x →0 |
x |
|
|
|
x →0 cos x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 − cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin(x / 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2. |
= |
|
|
|
|
2 |
= |
|
|
|
. Пусть y = x/2. Тогда у → 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
при х → 0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
cos |
x |
|
|
1 |
|
|
|
sin |
|
у |
2 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x →0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 у →0 |
у |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3. Пусть y = arcsin x, тогда x = sin y, |
arcsin x |
= |
|
|
|
y |
, причем у → 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
sin y |
||||||
при х → 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
arcsin x |
= lim |
|
y |
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y→0 sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Аналогично может быть получен результат 4. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Пусть у = 1/х. Тогда у → ∞ при х → 0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
у |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim (1+ x) |
= lim |
1 + |
|
|
|
|
|
= е. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у →∞ |
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.ln(1 + x) = 1 ln(1 + x) = ln(1 + x)1/ х . Следовательно, x х
lim |
ln(1 + x) |
= lim ln 1+ x |
1/ x |
|
= ln |
lim |
1 |
+ x |
1/ x |
= ln e = 1. |
||
|
) |
|
) |
|
||||||||
|
|
x →0 ( |
( |
) |
|
|
( |
|
|
|||
x →0 x |
|
|
|
x →0 |
|
|
|
|
|
Возможность совершенного выше предельного перехода следует из непрерывности функции lnx, этот вопрос мы обсудим позже.
7. Пусть у = ex – 1, тогда x = ln(1 + y) и у → 0 при х → 0. Следовательно,
|
|
x |
|
|
|
|
lim |
e |
−1 |
= lim |
y |
=1. |
|
|
|
|
|
|||
x →0 |
x |
y →0 ln(1 + y) |
|
52

|
|
x |
− e |
−x |
|
8. Рассмотрим функцию |
y = shx = |
e |
|
− гиперболический си- |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
нус х.
Свойства гиперболических функций будут рассмотрены позже. А сейчас займемся вычислением требуемого предела. Сделаем следующие преобразования:
shx |
|
ex −1 +1 − e−x |
1 |
ex −1 |
|
e−x −1 |
|
||||
|
= |
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
(−x) |
||||||
x |
|
2x |
2 |
|
x |
|
|
Следовательно,
lim |
shx |
== |
1 |
lim |
ex |
−1 |
+ |
1 |
lim |
e−x −1 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
||||||
x→0 x |
|
2 x→0 |
x |
2 x→0 (−x) |
9. Пусть у = (1 + х)α – 1 = e αln(1 + x) – 1, тогда 1 + y = αln(1 + x) и
ln(1 + y) = αln(1 + x),
причем у → 0 при х → 0. Следовательно,
(1 + x)α −1 |
= |
y |
|
αln(1 + x) |
. |
|
ln(1 + y) |
|
|||
x |
|
x |
Перейдя к пределу при х → 0 в последнем выражении, получаем окончательный результат:
lim |
(1 + x)α −1 |
|
= lim |
y |
α lim |
ln(1 + x) |
= α. |
|
|
|
|||||
x →0 |
x |
y →0 ln(1 + y) |
x →0 x |
2.9. Сравнение функций
Эквивалентные функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.12. Пусть функции f(x), g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и отличны от нуля во всех точках этой окрестности. Эти функции называются эквивалентными
(асимптотически равными) при х → а, если
lim f (x) =1.
x→a g(x)
53
При этом используется обозначение f(x) g(x) при х → а. Например:
sinx x при х → 0;
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
x |
x2 |
при х → ∞, так как lim |
|
|
x |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
2 |
2 |
|||
+ 5 |
|
x → ∞ (x |
|
||||
x |
|
|
+ 5)x |
|
Замечание. Если сравниваемые функции обе бесконечно малые или бесконечно большие при х → а, то их эквивалентность означает, что скорость их стремления к нулю или к бесконечности одинакова.
Используя рассмотренные выше замечательные пределы и следствия из них (см. табл. 2.1), можно составить таблицу эквивалентных бесконечно малых функций (табл. 2.2).
Таблица 2.2
sinх х, х → 0 |
ln(1 + х) х, х → 0 |
tgх х, х → 0 |
eх – 1 х, х → 0 |
1 – cosх х2/2, х → 0 |
shх х, х → 0 |
arcin х х, х → 0 |
(1 + х)k – 1 kх, х → 0 |
arctg х х, х → 0 |
|
Соотношения, приведенные в табл. 2.2, остаются справедливыми при х → а, если заменить в них х на функцию α(х) → 0 при х → а. Например:
tg(х–1) х–1 при х → 1,
shх3 х3, при х → 0.
ТЕОРЕМА 2.5. (Замена функций на эквивалентные при вычислении предела.)
Пусть f(x) f1(x), g(x) g1(x) при x → а. Тогда, если существует
lim |
f1(x) |
, |
то существует и lim |
f (x) |
, причем |
||||
|
|
|
|||||||
x→a g1(x) |
|
x→a g(x) |
|||||||
|
|
|
lim |
f (x) |
= lim |
f1(x) |
. |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x→a g(x) x→a g1(x) |
Доказательство. Сделаем необходимое преобразование:
54

f (x) = f (x) f1(x) g1(x) . g(x) f1(x) g1(x) g(x)
Последнее преобразование правомерно, так как функции отличны от нуля в проколотой окрестности точки а.
Так как существует lim |
f1(x) |
, а lim |
f (x) |
= lim |
g1(x) |
= 1 , то |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→a g1(x) |
x→a f1(x) |
|
x→a g(x) |
|||||||||||||||||
|
f (x) |
|
f1(x) |
|
g1 (x) |
|
|
|
f (x) |
|
|
|
f1(x) |
|
|
g1(x) |
|
f1(x) |
|
||||||
lim |
= lim |
lim |
lim |
= lim |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→a |
f1(x) g1 (x) g(x) |
|
x→a f1(x) x→a g1(x) x→a g(x) x→a g1(x) |
||||||||||||||||||||||
Следовательно, существует и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) |
= lim |
f1(x) |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→a g(x) |
x→a g1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
СЛЕДСТВИЕ. При вычислении предела произведения или частного нескольких функций любой сомножитель можно заменять на его предел, если этот предел отличен от нуля.
ПРИМЕР 2.5. Найти lim |
sin 5x(e3x −1) |
|
|
. |
|
|
||
x→0 |
1 − cos x |
Решение. Так как sin5х 5х, e3х – 1 3х, 1 – cosх х2/2 при х → 0, то
|
sin 5x(e3x |
−1) |
|
5x 3x |
||
lim |
|
|
= lim |
|
|
= 30. |
|
|
x2 |
|
|||
x→0 1− cos x |
x→0 |
/ 2 |
|
ПРИМЕР 2.6. Найти lim sin x − tg x .
x→0 x3
Решение. Сначала преобразуем функцию, предел которой необходимой найти:
f (x) = sin x − tg x = sin x(cos x −1) . x3
Так как sinх х, cosх – 1 – х2/2, cosх 1 при х → 0, то
lim f (x) = lim |
x(−x |
2 |
/ 2) |
= − |
1 |
. |
|
|
3 |
|
|
||||
x→0 |
x→0 x |
|
2 |
|
|||
|
|
|
55

Замечание к примеру 2.6. Если бы мы формально заменили функции, стоящие в числителе дроби, на эквивалентные, то получили бы следующий результат:
lim |
sin x − tg x |
= lim |
x − x |
= lim |
0 |
= 0. |
|
|
|
||||
3 |
3 |
3 |
||||
x→0 |
x |
x→0 |
x |
x→0 |
x |
Итак, в случае суммы или разности функций замену их на эквивалентные при вычислении предела производить нельзя!!!
Понятие функции, бесконечно малой по сравнению с другой функцией.
Символ «о-малое»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.13. Пусть функции f(x), g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и g(x) отлична от нуля во всех точках этой окрестности. Если
lim f (x) = 0,
x→a g(x)
то функция f(x) называется бесконечно малой по сравнению с g(x) при х → а. При этом используется обозначение
f(x) = о(g(x)) при х → а.
Последняя запись читается так:«f(x) есть о-малое от g(x)) при х → а».
|
|
4 |
|
Например: х4 = o(x2) при х → 0, так как lim |
x |
|
= lim x2 = 0 . |
|
2 |
||
x→0 x |
|
x→0 |
Замечание. В частности, запись f(x) = о(1) означает, что f(x) – бесконечно малая при х → а функция.
В табл. 2.3 приведены некоторые важные свойства символа о-малое. Считается, что х → а, а равенства, содержащие этот символ, читаются слева направо.
|
|
|
|
Таблица 2.3 |
|
|
|
|
|
|
|
1) o(C g(x)) = o(g(x)), С = const |
6) o(gm(x)) o(gn(x)) = o(gm+n(x)), m, n N |
|
|||
2) C o(g(x)) = o(g(x)), С = const |
7) gn–1(x) o(g(x)) = o(gn(x)), n N |
|
|||
3) o(g(x)) + o(g(x)) = o(g(x)) |
8) (o(g(x))n = o(gn(x)), n N |
|
|||
4) o(o(g(x)) = o(g(x)) |
|
n |
|
• |
|
|
9) |
o(g |
( x)) |
= o(gn−1( x)) , n N, g(x) ≠ 0 в U δ (a) |
|
5) o(g(x) + o(g(x)) = o(g(x)) |
|
||||
|
|
|
|||
|
g(x) |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
56

Асимптотическое представление функций
ТЕОРЕМА 2.6. (Критерий эквивалентности функций.) Для того чтобы функции f(x) и g(x) были эквивалентными при х → а, необходимо и достаточно, чтобы f(x) = g(x) + о(g(x)) при х → а.
Доказательство
1. Пусть f(x) g(x) при х → а, т.е. lim f (x) =1. Это значит, что
x→a g(x)
f (x)
=1 + о(1), х → а ,
g(x)
т.е.
f(x) = g(x) + о(g(x)) при х → а.
2. Обратно: пусть f(x) = g(x) + о(g(x)) при х → а. Тогда f (x) =1 + о(1), g(x)
x → a, следовательно,
lim f (x) =1.
x→a g(x)
Теорема 2.6 позволяет табл. 2.2 эквивалентных бесконечно малых записать в другом виде (табл. 2.4).
Таблица 2.4
sinх = х + о(х), х → 0 |
ln(1 + х) = х + о(х), х → 0 |
tgх = х + о(х), х → 0 |
eх – 1 = х + о(х), х → 0 |
1 – cosх = х2/2 + о(х2), х → 0 |
shх = х + о(х), х → 0 |
arcinх = х + о(х), х → 0 |
(1 + х)k – 1 = kх + о(х), х → 0 |
arctgх = х + о(х), х → 0 |
|
Используя эту таблицу, можно вычислять пределы функций.
ПРИМЕР 2.6. Найти lim sin 5x − 2 tg x .
x→0 ex − 3 1 + x
Решение. Приведем необходимые асимптотические разложения функций в числителе и знаменателе дроби:
sin 5x = 5x + o(5x) = 5x + o(x);
2 tg x = 2(x + o(x)) = 2x + 2o(x) = 2x + o(x);
57

sin 5x − 2 tg x = 5x + o(x) − 2x − o(x) = 3x + o(x);
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
ex − 3 1 + x = (ex −1) − ((1 + x) |
|
−1) = (x + o(x)) − ( |
x + o(x)) = |
x + o(x) . |
|||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ |
|
o(x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
sin 5x − 2 tg x |
|
|
|
3x + o(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + o(1) |
|
|
|||||||||
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
, |
|||||||||||||||
|
ex − 3 1 + x |
2 |
x + o(x) |
|
2 o(x) |
|
2 |
+ o(1) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
+ |
|
|
|
|
x |
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где о(1) → 0 при х → 0. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
lim f (x) = lim |
3 + o(1) |
= |
9 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
x→0 |
+ o(1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции одного порядка. Символ «О-большое»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 2.14. Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и отличны от нуля во всех точках этой окрестности. Эти функции будем называть функциями одного порядка при х → а, если существует
lim f (x) = C ≠ 0.
x →a g(x)
В этом случае будем использовать обозначения
f(x) = О(g(x)) при → а,
g(x) = О(f(x)) при → а.
Последние соотношения читаются так: «f(x) есть О-большое от g(x) при x → а», «g(x) есть О-большое от f(x) при х → а».
Например:
2 |
3 |
|
||
2х2 + 3х3 = О(х2) при х → 0, так как lim |
2x |
+3x |
= lim(2 +3x) = 2 ≠ 0 ; |
|
|
2 |
|||
x →0 |
x →0 |
|||
x |
||||
|
|
|
58
|
|
|
2 |
+ |
3 |
|
|
|
2 |
|
||||
2 |
3 |
3 |
|
|
2x |
3x |
|
|
|
|||||
2х |
+ 3х |
= О(х ) при х → ∞, так как |
lim |
|
|
|
|
= lim |
3 |
+ |
|
|
= 3 ≠ 0 ; |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x →∞ |
x |
|
|
x →∞ |
|
|
x |
|
|||
100 + x = О(ех) при х → 0, так как lim |
100 + x |
=100 ≠ 0. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x →0 |
e |
|
2.10. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва
Понятие непрерывности функции в точке
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.15. Функция f(x), определенная в некоторой полной окрестности точки а, называется непрерывной в точке а, если
lim f (x) = f (a),
x →a
т.е. если
ε > 0 δ > 0 : x Uδ (a) → f (x) Uε ( f (a)).
Назовем разность х – а приращением аргумента, а разность f(х) – f(а) – приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента. Обозначим
х = х – а, у = f(х) – f(а).
Тогда х = а + х, у = f(а + х) – f(а) и непрерывность функции в точке а означает, что
у → 0 при х → 0.
Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
ПРИМЕР 2.7. Доказать, что функция f(x) = х2 непрерывна в любой точке а своей области определения.
Решение. Функция определена на всей числовой прямой. Возьмем произвольную точку а R и найдем приращение функции, соответствующее приращению аргумента х:
у = f(а + х) – f(а) = (а + х)2 – а2 = 2а х + ( х)2 → 0 при х → 0.
Следовательно, функция непрерывна в точке а.
59
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.16. Функция f(x), определенная в левой полуокрестности точки а, называется непрерывной в точке а слева, если
lim f (x) = f (a).
x → a−0
Функция f(x), определенная в правой полуокрестности точки а, называется непрерывной в точке а справа, если
lim f (x) = f (a).
x → a + 0
Замечание. Очевидно, функция f(x), определенная в некоторой полной окрестности точки а, непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке как слева, так и справа.
Точки разрыва
Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки а. Точка а называется точкой разрыва функции f(x), если функция либо не определена в этой точке, либо определена, но не является непрерывной в точке а.
Если существует lim f (x) , но функция не определена в этой точке
x→a
или lim f (x) ≠ f (а) , то а называют точкой устранимого разрыва.
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) функция |
f (x) = |
sin x |
|
не определена в точке х = 0, но |
|
|||||
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
lim |
sin x |
=1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x→0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1, |
если |
x < 0, |
2) функция |
|
|
|
2 |
|
f (x) = signx |
= |
|
если |
x = 0, |
f(x) = (signx) , где |
0, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
x > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
||
(рис. 2.7) определена на всей числовой оси, но |
|
|
|
|
||||||
|
|
lim f (x) =1 ≠ f (0) = 0. |
|
|
|
|
||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если существуют lim |
f (x) = f (a − 0) и lim |
|
f (x) = f (a + 0) , но |
|||||||
|
x → a − 0 |
|
|
x → a + 0 |
|
|
|
f(a − 0) ≠ f(a + 0),
то а – точка разрыва первого рода. Разность f(a + 0) – f(a – 0) называется скачком функции в точке а.
60