№282. Диденко И. С., Гераськин В. В. Кристаллофизика

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

единичным. Если направление перпендикулярно плоскости Р, то оно при отражении в плоскости симметрии совмещается само с собой это направление может быть единичным. Если направление лежит плоскости Р, то оно также может быть единичным.

Полярное направление может располагаться косо по отношению к плоскости симметрии, может лежать в плоскости симметрии. Перпен- дикулярное к плоскости симметрии направление полярным не является.

Рассмотрим, как может располагаться единичное направление отно- сительно оси симметрии. Если направление лежит косо к оси симмет- рии, то оно не будет единичным, поскольку ось симметрии Ln «размно- жит» это направление n раз. Если направление перпендикулярно к оси, то оно также повторится n раз, т.е. не будет единичным, кроме частного случая, когда направление перпендикулярно оси L2. Если направление совпадает с осью симметрии, то оно может быть единичным.

1.3. Методика определения элементов симметрии кристаллического многогранника

При нахождении элементов симметрии кристаллических многогран- ников следует руководствоваться правилами, приведенными ниже

1.Плоскость симметрии следует искать либо перпендикулярно граням многогранника (плоскость симметрии должна делить их по- полам), либо вдоль ребер, либо перпендикулярно ребрам по их сере- динам. Плоскости симметрии образуют равные углы с одинаковыми гранями и ребрами.

2.Оси симметрии могут проходить через вершины многогранни- ка, центры граней или середины ребер (перпендикулярно им). Зачас- тую форма грани подсказывает порядок оси, расположенной перпен- дикулярно этой грани.

3.При описании симметрии многогранника для подсчета числа плоскостей и осей симметрии следует установить многогранник в одном положении, чтобы одну и ту же плоскость или ось не сосчи- тать несколько раз.

4.При работе с кристаллическим многогранником следует иметь

ввиду, что элементы симметрии, сочетаясь друг с другом, образуют замкнутую математическую группу. Поэтому набор элементов сим- метрии не случаен, число таких наборов ограничено (32 класса сим- метрии). Все элементы симметрии пересекаются в одной точке, а весь набор элементов симметрии называется точечной группой (классом) симметрии.

11

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

5. Найденные элементы симметрии следует записывать в опреде- ленной последовательности. При записи учебного символа симмет- рии (записываются все элементы симметрии кристаллического мно- гогранника) сначала записывают оси симметрии более высокого по- рядка, затем более низкого, далее плоскости и последним центр сим- метрии. Если в многограннике имеется несколько осей одного по- рядка или плоскостей, то количество их указывается соответствую- щей цифрой перед элементом симметрии.

1.4.Порядок выполнения работы

1.Определить для кристаллического многогранника набор эле- ментов симметрии.

2.Записать учебный символ точечной группы (класса) симметрии

Пример 1.1. При рассмотрении модели кристаллического много- гранника берилла (рис. 1.5) легко обнаружить, что через середины гра- ней-оснований проходит ось L6, поскольку при повороте многогранника на 60° он совмещается сам с собой. Аналогично, повернув многогран- ник на 180° вокруг осей, проходящих через середины шести боковых вертикальных граней и шести вертикальных ребер, обнаруживаются шесть осей L2. Три плоскости симметрии проходят через середины бо- ковых граней и три – через боковые ребра и делят многогранник на зер- кально равные части, седьмая плоскость проходит горизонтально через центр кристалла, параллельно граням-основаниям. Положив много гранник на любую грань и обнаружив наверху антипараллельную грань найдем центр симметрии. Теперь можно записать учебный символ (формулу) класса симметрии многогранника: L66L27PC.

Рис. 1.5. Кристаллический многогранник (берилл), обладающий симметрией L66L27PC

12

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

Пример 1.2. Через вершины BE кристаллического многогранника, представленного на рис. 1.6, проходит инверсионная ось L4 . Дейст-

вительно, если повернуть любую грань на 90о и отразить ее в цен- тральной точке кристалла, как в центре симметрии, то можно обна- ружить аналогичную грань. Через середины ребер АF и DC, а также АD и CF проходят оси L2, что можно проверить поворотами на 180°, а через ребра BF и ВD, а также A СЕ проходят зеркальные плос- кости симметрии. Центр симметрии отсутствует. Следовательно, класс симметрии кристаллического многогранника L4 2L22P.

Рис. 1.6. Кристаллический многогранник, обладающий симметрией L4 2L22P

1.5. Требования к отчету

Отчет о работе должен содержать:

1)запись класса симметрии модели кристаллического многогран- ника в учебной символике;

2)данные о наличии единичных и полярных направлений в кри- сталлическом многограннике.

Литература

Розин К.М., Петраков В.С. Кристаллофизика: Учеб. пособие. –

13

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

Контрольные вопросы

1.Чему равен элементарный угол поворота α при действии осей симметрии L2, L3, L4, L6?

2.Ось симметрии какого порядка проходит через середины осно-

ваний цилиндра?

3.Почему в кристаллических многогранниках невозможны оси L5,

L7, L8?

4.Указать единичные и полярные направления у фигуры, изобра-

женной на рис. 1.1.

5.Будет ли полярным направление, совпадающее с осью L3, если перпендикулярно этой оси расположена плоскость Р?

6.Как могут располагаться единичные и полярные направления относительно инверсионных осей симметрии?

7.Какими элементами симметрии можно заменить ось L6 ?

8.Есть ли полярные направления у куба?

9.Сколько плоскостей симметрии имеет куб?

14

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

Лабораторная работа 2

ПРОЕКТИРОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ НИЗШЕЙ И СРЕДНЕЙ КАТЕГОРИЙ

2.1. Цель работы

Приобретение навыков построения стереографических проекций

2.2. Теоретическое введение

Для изображения на плоском рисунке пространственного распо- ложения элементов симметрии, граней и ребер кристаллов в кри- сталлографии употребляются специальные проекции.

Согласно закону постоянства углов характерными константами кристаллов являются их угловые величины. Это позволяет построить полярный комплекс кристалла (совокупность плоскостей и направ- лений, проходящих через центр тяжести кристалла), получаемый па- раллельным переносом плоскостей и ребер кристалла. Таким обра- зом, проектирование кристалла можно свести к проектированию сис- темы плоскостей и направлений проходящих через одну точку. Кри- сталлографические проекции должны без искажения воспроизводить на плоскости угловые величины. Данному требованию удовлетворя- ют стереографическая и гномостереографическая проекции.

2.2.1. Стереографическая проекция

Проектирование производится с помощью сферы проекций с цен- тром в точке О, совпадающим с центром полярного комплекса кри- сталла (рис. 2.1). S–N – ось проекций, точки S и N – точки зрения – по- люса сферы проекций (как южный и северный полюсы на глобусе). Через центр сферы О перпендикулярно S–N проводится горизонталь- ная плоскость, называемая плоскостью проекций. Сфера проекций вырезает на плоскости проекций круг, отвечающий экватору сферы. Этот круг называется кругом проекций, на нем и проводятся все по-

15

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

строения. Плоскость проекций пересекается с поверхностью сферы по окружности, ограничивающей круг проекций. Эта окружность называется окружностью круга проекций.

Рис. 2.1. Схема построения стереографической проекции направления (а) и стереографические проекции направлений на круге проекций (б)

Пусть требуется построить стереографическую проекцию про- извольного направления в кристалле. Совместим центр тяжести кристалла с центром сферы проекций. Если выбранное направление не проходит через центр сферы О, то перенесем его параллельно само- му себе так, чтобы оно прошло через О; получим направление ОМ. Точка пересечения А направления с поверхностью сферы проекций на-

зывается сферической проекцией направления. В точку А сферической проекции, лежащую верхней полусфере (рис. 2.1, а), направляют луч зрения из одного из полюсов сферы проекций S или N так, чтобы луч зрения пересекал круг проекций. В данном случае для направления ОМ луч зрения La направляем из южного полюса сферы проекций S и находим точку а пересечения луча зрения с плоскостью проекций.

Точка а и является стереографической проекцией заданного на-

правления OM. Если же сферическая проекция направления лежит на нижней полусфере (направление OТ на рис. 2.1, а), то для по- строения его стереографической проекции b луч зрения Lb проводят из северного полюса N сферы проекций.

Таким образом, на круге проекций стереографическая проекция направления представляет собой точку (точки a и b на рис. 2.1, б для направлений OM и OТ). Если сферическая проекция направления

16

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

лежит на верхней полусфере, то ее стереографическая проекция изо- бражается кружком. Если же сферическая проекция направления ле- жит на нижней полусфере, то ее стереографическая проекция обо- значается крестиком.

Таким образом, стереографическая проекция вертикального на- правления вверх изображается кружочком в центре круга проекции, а стереографическая проекция вертикального направления вниз – кре- стиком в том же месте (направления 1-1 на рис. 2.1, б). Стереографи- ческая проекция горизонтального направления изображается кру- жочком на окружности (границе) круга проекций (направление 2 на рис. 2.1, б). Стереографическая проекция наклонного направления изображается точкой (кружочком или крестиком) внутри круга про- екций (направления a, b, 3 и 4 на рис. рис. 2.1, б), не совпадающей с его центром. Следует отметить, что чем направление более горизон- тально по отношению к плоскости проекций, тем ближе его стерео- графическая проекция к окружности круга проекций. Наоборот, чем направление вертикальнее, тем его стереографическая проекция ближе к центру проекций.

Таким же образом по заданной сферической проекции плоскости строят ее стереографическую проекцию. Если проектируемая плос- кость не проходит через центр кристалла, совмещенного с центром сферы проекций, то ее переносят параллельно самой себе так, чтобы она прошла через центр сферы О. Пусть проектируемая плоскость пересекает верхнюю часть сферы проекций по дуге большого круга ACВ, являющейся сферической проекцией плоскости (рис. 2.2, а). Если каждую точку этой дуги соединить лучами зрения с точкой S, то они пересекут плоскость проекций по дуге АKВ, которая и явля-

ется стереографической проекцией плоскости AСВ. Концы дуги обязательно опираются на концы одного из диаметров круга проек- ций (в данном случае – АВ). Стереографическая проекция верхней части плоскости на чертеже обозначается сплошной линией, нижней части – пунктирной (рис. 2.2, б).

Стереографическая проекция наклонной плоскости представляет собой две симметричные дуги относительно диаметра круга проек- ций, на который они опираются (рис. 2.3, а). Чтобы не загружать чер- теж, проецируют только пересечение плоскости с верхней полусфе- рой (сплошная линия), а нижнюю часть плоскости обычно не про- ецируют. Стереографические проекции вертикальных плоскостей – диаметры круга проекций, горизонтальных плоскостей – окружность круга проекций (рис. 2.3, б, в).

17

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

Рис. 2.2. Схема построения стереографической проекции плоскости (а), и стереографическая проекция плоскости на круге проекций (б)

Рис. 2.3. Стереографические проекции плоскостей, расположенных по отношению к плоскости проекций: наклонно (а); перпендикулярно (вертикальная плоскость) (б); параллельно (горизонтальная плоскость) (в)

Стереографические проекции обычно используют для изображения совокупности элементов симметрии кристаллических многогранни- ков. При этом на круг проекций наносятся части осей и плоскостей симметрии, которые при своем продолжении пересекают верхнюю по- лусферу сферы проекций.

2.2.2.Гномостереографическая проекция

Вгномостереографических проекциях вместо плоскости проекти- руется перпендикулярная к ней линия, вместо линии – перпендику-

лярная к ней плоскость. Гномостереографическая проекция плос-

кости – это стереографическая проекция направления перпендику-

лярного к ней, т.е. точка. Гномостереографическая проекция на-

правления – это стереографическая проекция плоскости, перпенди- кулярной к этому направлению, т.е. линия на круге проекций.

18

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

На рис.2.4 дуга АKВ – стереографическая проекция плоскости АСВ и гномостереографическая проекция направления OЕ; точка D – стереографическая проекция направления ОЕ и гномостереографиче- ская проекция плоскости ACB. Точка D называется полюсом дуги

АKВ.

Рис. 2.4 Стереографические и гномостереографические проекции плоскостей и направлений: построение с помощью сферы проекций (а), изображение на круге проекций (б)

При построении гномостереографических проекций граней кри- сталла поступаем следующим образом. Из центра кристалла, совпа- дающего с центром сферы проекций (точка О), опускаем перпенди- куляры на все его грани или их продолжения. Полученный таким об- разом пучок нормалей называется полярным комплексом. Дальней- шее построение сводится к построению стереографических проекций нормалей (в данном случае ведется построение векторов), составляю- щих полярный комплекс. Чтобы отличить друг от друга проекции нор- малей к верхним и нижним граням, первые обозначаются кружками, а вторые крестиками. Угол между нормалями к граням φ (рис. 2.5) явля- ется дополнительным до 180° к углу между гранями θ т.е. φ = 180° – θ.

Гномостереографическая проекция грани, горизонтальной относи- тельно плоскости проекций, находится в центре круга проекций; гномо- стереографическая проекция вертикальной грани находится на окруж- ности круга проекций в том месте, куда указывает нормаль к ней. Про- екция наклонной грани будет тем ближе к центру круга проекций, чем грань «горизонтальнее» по отношению к плоскости проекций.

19

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

Рис. 2.5. Связь угла между гранями θ

суглом между нормалями к граням φ

2.2.3.Простые формы низшей и средней категории

По внешнему строению кристаллы разделяются на две группы. К первой относятся такие кристаллы, которые при своем идеальном развитии состоят из одинаковых по форме и величине и симмет- рично расположенных граней. Ко второй группе относятся иде- альные кристаллы, обладающие различными по форме и величине гранями. Многогранники первой группы представляют собой про- стые формы, многогранники второй группы – комбинации простых форм.

Простой формой называется совокупность граней, связанных между собой элементами симметрии. Из одной грани простой фор- мы при помощи элементов симметрии могут быть выведены все остальные грани этой формы.

Установлено всего 47 типов простых форм кристаллов, которые имеют различные названия. Комбинаций же возможно бесконечное множество.

Все существующие простые формы кристаллических многогран- ников делятся на две группы: простые формы кристаллов кубической сингонии (присущие только им!) и простые формы кристаллов сред- ней и низшей категории (характерные только для кристаллов такой симметрии). Эти два множества не перекрываются. Для понимания названий простых форм необходимо знать следующие греческие слова и их перевод: «эдра» – грань; «гонио» – ; «пинакс» – доска; «мо- но» – один; «ди» – два; «три» – три; «тетра» – четыре; «пента» – пять; «гекса» – шесть; «окта» – восемь; «додека» – двенадцать.

20