Аппроксимация степенной функцией

Рассмотрим использование метода наименьших квадратов на примере аппроксимации табличных данных уравнением вида: . Для удобства дальнейших вкладок формула предварительно логарифмируется и заменяется следующей: . Обозначив , , получим уравнение . Соответственно для опытных (табличных) данных используем формулу Y_i^*=lg(y_i^*). Для этого уравнения условие минимума суммы квадратичных невязок будет следующим:

(18)

В точке минимума частная производная j по А₀ должна равняться нулю:

Рассмотрим первое слагаемое суммы:

(19)

Тогда для всех членов суммы имеем математическое выражение:

(20)

Из этого математического выражения получим первое уравнение:

(21)

Определим второе уравнение системы по аналогии с первым. В точке минимума частная производная j по a₁ должна равняться нулю:

Рассмотрим первое слагаемое суммы:

(22)

Тогда для всех членов суммы имеем математическое выражение:

(23)

Из этого математического выражения получим второе уравнение:

(24)

В итоге имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

(25)

или вернувшись к исходным обозначениям получим:

(26)

Аппроксимация экспоненциальной зависимостью

Рассмотрим использование метода наименьших квадратов на примере аппроксимации табличных данных уравнением вида: Для удобства дальнейших выкладок формула предварительно логарифмируется и заменяется следующим выражением: ln(y_i)=ln(C)-ax_i. Обозначив A₀=ln(С), Y_i=ln(y_i), получим уравнение Y_i=A₀-ax_i. Соответственно для опытных (табличных) данных используем формулу . Для этого уравнения условие минимума суммы квадратичных невязок будет следующим:

(27)

В точке минимума частная производная j по А₀ должна равняться нулю:

Рассмотрим первое слагаемое суммы:

(28)

Тогда для всех членов суммы имеем математическое выражение:

(29)

Из этого математического выражения получим первое уравнение:

(30)

Определим второе уравнение системы по аналогии с первым. В точке минимума частная производная j по a должна равняться нулю:

Рассмотрим первое слагаемое суммы:

(31)

Тогда для всех членов суммы имеем математическое выражение:

(32)

Из этого математического выражения получим второе уравнение:

(33)

В итоге имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

(34)

или использую вышеприведённые обозначения:

(35)

Коэффициент С определяется из уравнения .

Эта система всегда имеет единственное решение, так как ее определитель отличен от нуля.

Таблица 4 – Определение численных коэффициентов системы уравнений

i	xi
1	x1
2	x2
…	…	…	…	…
n	xn
	…	…	…	…

Для определения численных коэффициентов этой системы уравнений в последней строке таблицы записываются суммы элементов каждого столбца.

ПОШАГОВОЕ ОПИСАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАЗЛИЧНЫМИ СПОСОБАМИ

БЕЗ АВТОМАТИЗАЦИИ РАСЧЕТА

Определение опытных средних значений толщины стенки трубы

Шаг 1: В соответствии с номером задания в текущий рабочий лист Excel ввести таблицу «Распределение толщины стенки трубы диаметром 48,6 мм из стали 30ХН2МФА (мм)», начиная с А2 до I17.

Шаг 2 Отформатировать таблицу

Шаг 3: Исходную информацию из ячеек А2 … I17 скопировать в ячейки А20 … I35. Изменить название таблицы на «Результат обработки опытных значений толщины стенки трубы»;

Шаг 4: Строкам В24:I24; B25:I25; …; B35:I35 присвоить имя str1; str2; …; str12.

Шаг 5: Скопировать ячейки А20 … I20 в ячейку А38. Изменить название таблицы на «Показатели обработки опытных значений толщины стенки трубы». Выделить столбец А22:А35 и разместить его копию в столбце А40:А53. В шапку таблицы ввести следующую информацию:

• ячейки В40:В41 – «Средняя толщина стенки трубы, мм»;

• ячейки C40:C41 – «Суммарное квадратичное отклонение»;

• ячейки D40:D41 – «Число значащих значений»;

• ячейки E40:E41 – «Доверительная погрешность»;

• ячейки F40:F41 – «Нижняя граница доверительного интервала, мм»;

• ячейки G40:G41 – «Минимальная толщина стенки в сечении трубы, мм»;

• ячейки H40:H41 – «Максимальная толщина стенки в сечении трубы, мм»;

• ячейки I40:I41 – «Верхняя граница доверительного интервала, мм»;

• ячейки J40:J41 – «Разница по нижней границе, мм»;

• ячейки K40:K41 – «Разница по верхней границе, мм»;

Шаг 6: В столбце В42:В53 разместить числовые значения средней величины толщины стенки трубы, используя статистическую функцию СРЗНА () и в качестве аргумента указав имя соответствующей строки, например для ячейкиВ42 – СРЗНАЧ(str1).

Шаг 7: В столбце С42:С53 разместить числовые значения суммарного квадратичного отклонения (), используя статистическую функцию КВАДРОТКЛ(), где в качестве аргумента указать имя соответствующей строки, например для ячейки С42 - КВАДРОТКЛ(str1);

Шаг 8: В диапазоне ячеек D42:D53 разместить числовые значения числа ячеек в строке занятых данными, используя статистическую функцию СЧЁТ(), где в качестве аргумента указать имя соответствующей строки, например для ячейки D42 - СЧЁТ(str1);

Шаг 9: В диапазоне ячеек Е42:Е53 разместить числовые значения доверительной погрешности определяемой по формуле: , где S - суммарное квадратичное отклонение (ячейки С42:С53); n – число ячеек в текущей строке занятых данными (ячейки D42:D53); К_Сt – коэффициент Стьюдента, который определяется посредством статистической функции СТЬЮДРАПОБР (x;y), где х – уровень значимости; у – степень свободы;

Например, для ячейки Е42 формула должна выглядеть так: =КОРЕНЬ (С42/(D42*(D42-1)))* СТЬЮДРАПОБР(0,01;D42);

Шаг 10: В диапазоне ячеек F42:F53 разместить числовые значения нижней границы доверительного интервала:

Формула в ячейке F42: =В42-Е42

Формула в ячейке F42: =В53-Е53;

Шаг 11: В диапазоне ячеек G43:G53 построчно разместить минимальное числовое значение толщины стенки трубы, соответствующего str1…str12, используя статистическую функцию МИН():

в ячейке G42: = МИН(str1)

в ячейке G53: = МИН(str12);

Шаг 12: В диапазоне ячеек H43:H53 построчно разместить максимальное числовое значение толщины стенки трубы, соответствующего str1…str12, используя статистическую функцию МАКС():

в ячейке H42: = МАКС(str1)

в ячейке Н53: = МАКС(str12);

Шаг 13: В диапазоне ячеек I43:I53 разместить числовые значения верхней границы доверительного интервала:

в ячейке I42: = B42+E42

в ячейке I53: = B53+E53;

Шаг 14: В диапазоне ячеек I43:I53 разместить числовые значения разницы между минимальной толщиной стенки в текущем сечении и значением нижней границы доверительного интервала:

в ячейкеJ42: = G42+D42

в ячейке J53: = G53+D53;

Шаг 15: В диапазоне ячеек К42:К53 разместить числовые значения разницы между значением верхней границы доверительного интервала и максимальной толщиной стенки в текущем сечении:

в ячейке К42: I42-H42

в ячейке К53: I53-H53;

Шаг 16: Используя меню «Окно»  «Разделить», разместить многооконную информацию на экране так, чтобы в верхнем окне находились исходные значения таблицы «Результат обработки опытных значений толщины стенки трубы», а в нижнем окне значения границ доверительного интервала, а также разницы по верхней и нижней границам;

Шаг 17: Построчно, ориентируясь на наибольшие по модулю отрицательные значения столбцов J и K, очистить соответствующие им исходные значения (большее или меньшее). Необходимо добиться того, чтобы оставшиеся исходные числовые значения лежали в пределах доверительного интервала;

Таблица 5 ‑ Результат обработки опытных значений толщины стенки трубы

Расстояние сечения от торца трубы	Номер точек замеров в сечении
	1	2	3	4	5	6	7	8
100	12,37	12,05	12,25		12,25		12,15
200	12,40	12,51	12,39	12,37				12,43
300	12,69			12,75	12,42	12,40	12,51	12,35
400		12,39		12,57	12,46		12,35	12,52
500	12,79	12,71		12,53	12,51	12,88	12,69	12,86
600			12,70		12,63	12,69	12,63	12,68
700	12,92	12,43		12,82	12,40	12,49	12,85	12,35
800	12,64	12,70	12,62			12,58	12,59	12,68
900		12,91	12,68	12,68	13,03	12,92	12,67	12,98
1000	12,93	13,02	12,93	13,01		12,96	13,05
1100		13,06		13,06	12,88	13,07	12,88	13,01
1200			13,24	13,35	13,13	13,45	13,25	13,23