Преобразование дифференциальных уравнений в передаточную функцию системы

В общем случае действие непрерывной линейной САР описывается неоднородным дифференциальным уравнением следующего вида:

где a, b, c – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы.

Введем, оператор дифференцирования  . Тогда уравнение может быть представлено в операторном виде:

В данном выражении полином, стоящий при выходном параметре Y, называется собственным оператором и обозначается Q(p). Полиномы при воздействиях Хи Z называются соответственно операторами управляющего и возмущающего воздействия. Оператор управляющего воздействия обозначим R₁(p), а оператор возмущающего воздействия – R₂(p).С учётом введенных обозначений уравнение примет вид:

Если рассматривается только установившейся режим, то уравнение примет вид:

В тех случаях, когда система или её составной элемент описывается дифференциальным уравнением не выше 2-го порядка, применяется стандартная форма записи уравнения.

Левую и правую часть уравнения разделим на коэффициент a₂,получим:

Передаточная функция системы:

Настройка пид-регулятора сар

После нахождения передаточной функции, нужно построить модель системы (рис.5).

Рис.5 Схема САР

В схеме присутствуют такие блоки как:

1) Constant – входное воздействие;

2) PID Controller – ПИД-регулятор;

3) TransferFcn – передаточная функция системы рассчитанная ранее;

4) Scope – осциллограф (блок мониторинга переходного процесса);

5) Сумматор – на положительный вход которого поступает входное воздействие, на отрицательный – обратная связь.

Рис.6 Переходная характеристика системы

Коэффициенты ПИД-регулятора:

; ;

Далее происходит настройка коэффициентов ПИД-регулятора. При настройке коэффициентов ПИД-регулятора необходимо добиться следующих качественных характеристик:

1) Время установившегося значения не должно превышать 5 секунд;

2) Перерегулирование не должно превышать 15-20% от установившегося значения.

Рис.7 Переходная характеристика системы с настроенными коэффициентами

Коэффициенты ПИД-регулятора:

K_пр = 4; K_инт = 15; K_диф = 2;

Проверим качественные характеристики:

1) Время установившегося значения – 4 секунды.

2) Перерегулирование – 9.5 %.

Вывод:

По результатам данной курсовой работы можно сделать вывод, что с помощью ПИД-регулятора можно добиться оптимального быстродействия и качества системы автоматического регулирования.

13