
- •Степенные ряды
- •1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •2. Свойства степенных рядов
- •3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
- •4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •5. Приложения степенных рядов
- •42. Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. 425
- •Лекция 26. Степенные ряды.
- •26.1. Понятие степенного ряда.
- •Теоремы Абеля.
- •26.2. Действия со степенными рядами.
- •Если применить к той же функции формулу Маклорена
- •Лекция 15. Степенные ряды
- •15.1. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда
Если применить к той же функции формулу Маклорена
,
то
получаем:
……………………………….
Итого,
получаем:
Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.
С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.
Находим
дифференциал функции и
интегрируем его в пределах от 0 до х.
Пример. Разложить
в ряд функцию
Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.
(См. Функция y = ln (1 + x)) Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования.
При получаем
по приведенной выше формуле:
Разложение
в ряд функции может
быть легко найдено способом алгебраического
деления аналогично рассмотренному выше
примеру.
Тогда
получаем:
Окончательно
получим:
Пример. Разложить
в степенной ряд функцию .
Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.
Подынтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:
Тогда
Окончательно
получаем:
Лекция 15. Степенные ряды
15.1. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда
Степенным рядомназывается ряд:
,
(15.1)
членами
которого являются степенные функции с
возрастающими целыми показателями,
числа
коэффициенты
данного ряда. Виражение
–
общий член степенного ряда.
Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида:
(15.2)
Этот
ряд легко привести к предыдущему, если
считать .
Областью
сходимости степенного ряданазывается
множество значений,
при которых степенной ряд сходится.
Теорема
Абеля.Если
степенной ряд сходится для некоторого
значения,
не равного нулю, то он сходится абсолютно
для всех значений
,
для которых выполняется условие:
.
(15.3)
Если
степенной ряд расходится для некоторого
значения ,
то он расходитсяся для всех значений
,
для которых выполняется условие:
.
(15.4)
Из
теоремы Абеля вытекает, что для
произвольного степенного ряда существует
положительное число (конечное
или бесконечное), такое, что для всех
ряд
сходится, причем абсолютно, а при
ряд
расходится.
Интервал ,
во всех точках которого степенной ряд
сходится, а в точках, которые не принадлежат
данному интервалу, степенной ряд
расходится называетсяинтервалом
сходимости данного ряда.
Половина
интервала сходимости называется радиусом
сходимости степенного ряда.
Если ,
то интервал сходимости составляет всю
числовую ось
.
Если
,
то степенной ряд сходится лишь при
,
то есть интервал сходимости вырождается
в точку.
Для решения вопроса о сходимости степенного ряда применяют признак Даламбера к ряду, который составлен из абсолютных величин его членов, то есть вычисляют предел:
и сравниваю ее с единицей.
Множество
значений для
которых
,
образует область абсолютной сходимости
степенного ряда (15.1). Множество значений
,
для которых
,
образует область расходимости.
Следовательно,
,
а
,
где –
радиус сходимости степенного ряда.
То
есть, .
(15.5)
Пример
1.Найти
область сходимости степенного ряда .
Решение.
Обозначим ,
тогда
.
Дальше получаем:
.
.
Последнее
неравенство выполняется для любого ,
то есть ряд сходится на всей числовой
оси:
.
Можно
сразу найти ,
поскольку степенной ряд содержит все
степени
:
.
Таким образом, ряд сходится на всей числовой оси.
Пример
2.Найти
область сходимости степенного ряда .
Решение.
В
этом степенном ряду коэффициенты при
четных степенях равны
нулю, то есть
.
Непосредственное применение признака
Даламбера дает:
,
откуда
получаем, что ,
следовательно
.
Исследуем поведение степенного ряда на концах интервала сходимости.
Пусть .
Подставим это значение в степенной ряд
и получим числовой ряд:
,
поведение которого определяется поведением гармоничного ряда. Следовательно этот ряд расходящийсяпо признаку сравнения в предельной форме.
Пусть .
При этом значении
степенной
ряд превращается в числовой ряд:
.
Этот ряд, как уже было показано,
являетсярасходящимся.
Таким
образом, область сходимости ряда является
интервалом .
Пример
3.Найти
область сходимости ряда .
Решение.
Обозначим .
Следовательно
–
степенной ряд.
Тогда .
Для нахождения радиуса сходимости теперь можно применить формулу:
.
Исследуем поведение ряда на концах полученного интервала.
При получим
числовой ряд:
.
Этот ряд сходится согласно признаку
Лейбница.
При числовой
ряд имеет вид:
.
Он сходится, как ряд Дирихле при
.
Следовательно,
областью сходимости ряда будет
промежуток .
Возвращаясь к переменной
,
получим
,
или
.
Таким
образом, областью сходимости данного
ряда является промежуток .