
- •Степенные ряды
- •1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •2. Свойства степенных рядов
- •3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
- •4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •5. Приложения степенных рядов
- •42. Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. 425
- •Лекция 26. Степенные ряды.
- •26.1. Понятие степенного ряда.
- •Теоремы Абеля.
- •26.2. Действия со степенными рядами.
- •Если применить к той же функции формулу Маклорена
- •Лекция 15. Степенные ряды
- •15.1. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда
5. Приложения степенных рядов
Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.
Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.
Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х:
;
;
;
;
;
.
Литература
1. Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.
2.
Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая
математика. Ч. 2. Основы математического
анализа и элементы дифференциальных
уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.
42. Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. 425
Функциональные
ряды вида ,
где
(n=1,2,…)
и a–заданные
комплексные числа,
-комплексное
переменное, называют степенными рядами,
а числа
-коэффициентами
степенного ряда (1). Полагая в (1) z=
-а,
получим ряд
(2),
исследование сходимости которого
эквивалентно исследованию сходимости
ряда (1).
Теорема
1 (Абеля) . Если степенной ряд (2) сходится
при z=0,
то он сходится, и притом абсолютно, при
любом z таком,
что |z|<|
|;
а если этот ряд расходится при z=
0, то
он расходится при всяком z,
для которого |z|>|
|.
а)
Пусть ={z:
| z|<|
|}-
круг на комплексной плоскости с центром
в точке О радиуса
|
|,
и пусть z –
произвольная точка круга
,
т.е. |z|<|
|,
поэтому q=|z/
|<1.
(3) Так как ряд (2) сходится в точке
,
то должно выполняться условие
,
откуда следует ограниченность
последовательности {
},т.е.
M.
Используя неравенство (3) и (4), получаем
|
|=|
|*|
z/
M
,
где
.
(5) Так как ряд
,
где
,
сходится, то по признаку сравнения
сходится ряд
,т.е.
ряд (2) сходится абсолютно в каждой точке
круга
.
б)
Пусть ряд (2) расходится в точке .
Тогда он должен расходиться в любой
точке
такой,
что |
|<|
|,
так как в противном случае по доказанному
выше ряд (2) сходился бы в точке
.
Теорема
2. Для всякого степенного ряда (2) существует
R(-число
или
)
такое, что: а) если
и
,
то ряд (2) абсолютно сходится в круге
К={z: |z|<R}и расходится вне круга K; этот
круг называют кругом сходимости ряда
(2), а R-радиусом сходимости ряда;
б) если R=0, то ряд (2) сходится в одной точке z=0;
в)
если ,
то этот ряд сходится во всей комплексной
плоскости.
Теорема
3 (Абеля). Если R-радиус сходимости
степенного ряда (2), причем ,
и если этот ряд сходится z=R, то он сходится
равномерно на отрезке [0,R], а его сумма
непрерывна на этом отрезке.
Теорема
4. Если существует конечный или
бесконечный ,
то для радиуса R сходимости ряда (2)
справедлива формула 1/R=
,
а если существует конечный и бесконечный
,
то R=
.
0,
.
Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
Дата добавления: 2013-12-24; просмотров: 16; Нарушение авторских прав
|
Теорема Абеля.
Лекция 14. Степенные ряды.
Степенным
рядомназывается
ряд вида
Степенной
ряд заведомо сходится при -
центр сходимости ряда.
1)
Пусть степенной ряд сходится в точке .
Тогда он абсолютно сходится в интервале
,
симметричном относительно
.
2)
Пусть степенной ряд расходится в точке .
Тогда он расходится в области
.
Доказательство.
1)
Пусть степенной ряд сходится в точке ,
тогда числовой ряд
сходится.
Тогда по необходимому признаку сходимости
ряда
.
Тогда
.
Рассмотрим
произвольное, но фиксированное .
Оценим ,
где .
По
первому признаку сравнения числовых
знакоположительных рядов ряд сходится
в указанной области (сравнение с
бесконечно убывающей геометрической
прогрессией
.
Следовательно, в области
степенной
ряд абсолютно сходится.
2)
Пусть степенной ряд расходится в точке .
Рассмотрим
.
Если бы ряд сходился в точке x, то он по
п. 1 доказательства сходился бы в точке
.
Противоречие.
Замечание. Для каждой точки x константа q(x) своя. Может не найтись константы, меньшей единицы и ограничивающей сверху константы q(x) для всех точек области V.
Поэтому абсолютная сходимость есть, но равномерной сходимости степенного ряда в области V не гарантируется.
Если такая константа найдется, то гарантируется равномерная сходимость ряда.
Рассмотрим монотонно
убывающую последовательность ,
такую, что в точке
степенной
ряд
расходится.
Если выбрать
,
то степенной ряд будет сходиться (ряд
из нулей), поэтому рассматриваемая
последовательность ограничена снизу
нулем. По теореме Вейерштрасса монотонно
убывающая, ограниченная снизу числовая
последовательность имеет предел. То
есть
.
Такое
число называется радиусом
сходимости степенного
ряда. Следовательно,степенной
ряд(по
теореме Абеля) абсолютно
сходится в интервале
сходимости
степенного ряда.