1.2 Производные и дифференциалы

Рассмотрим функцию ,если изменяется только один из аргументов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Частной производной функции по аргументу в точкеназывают предел

и обозначают одним из символов: .

Аналогично определяется частная производная по аргументу:

.

По определению, каждая частная производная является фактически производной функции одной переменной: (гдеу = const), (где = const). Поэтому при вычислении частных производных можно пользоваться уже известными правилами и формулами дифференцирования функции одной переменной, считая при этом другую переменную фиксированной.

Пример. Найти частные производные функции .

РЕШЕНИЕ

Имеем

(фиксировано);

(фиксировано).

Пример. Дано . Найтии, вычислить их значения в точкеА(1; 2).

РЕШЕНИЕ

Имеем

(при фиксированном производная первого слагаемого находится как производная степенной функции, а второго - как производная постоянной);

(при фиксированном производная первого слагаемого находится как производная показательной функции).

Вычислим значения частных производных в точке А(1; 2):

; .

Аналогично определяются функции трех и более переменных. Если каждому набору значений (x; y; …; t) независимых переменных из множества D соответствует одно определенное значение u из множества E, то u называют функцией переменных x, y, …, t и обозначают u = f(x, y, …, t).

Для функции трех и более переменных геометрической интерпретации не существует.

Частные производные нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы.

Пример. Найти частные производные функции .

РЕШЕНИЕ

Имеем (у и z фиксированы); ( и фиксированы);( и y фиксированы).

Частная производная функции нескольких переменных имеет тот же механический смысл, что и производная функции одной переменной - это скорость изменения функции относительно изменения одного из аргументов.

Пример. Количественная величина потока П пассажиров железных дорог может быть выражена функцией П = N²/R, где П – количество пассажиров, N – число жителей корреспондирующих пунктов, R – расстояние между пунктами.

Частная производная функции П по R, равная , показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах.

Частная производная функции П по N, равная , показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населенных пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полным дифференциалом функции называют главную линейную часть полного приращения функции, линейную относительно приращений независимых переменных.

Обозначая дифференциал буквой , можно записать,,

где не зависят от,- бесконечно малые при.

Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.

Сформулируем без доказательства достаточное условие дифференцируемости функции.

ТЕОРЕМА. Если функция имеет непрерывные частные производныеив данной области, то она дифференцируема в этой области и ее дифференциал выражается формулой

Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называют частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначают:

.

Сумма частных дифференциалов дает полный дифференциал.

Пример. Найти полный дифференциал функции .

РЕШЕНИЕ

Найдем частные производные функции и запишем полный дифференциал:

, ,

.

Так же как и в случае функции одной переменной, из дифференцируемости функции в некоторой области следует ее непрерывность в этой области, но не наоборот.

Частные производные ифункции f(x, y) сами являются некоторыми функциями тех же переменных и, в свою очередь, могут иметь производные по разным переменным, которые называют частными производными высших порядков. Каждая производная первого порядка имеет две частные производные, которые обозначают так:

, ,

, .

Производные называютсмешанными производными.

Теорема. Если смешанные производные инепрерывны в некоторой открытой области, то они равны между собой.

Другими словами, для непрерывной смешанной производной порядок дифференцирования не играет роли.

Пример. Убедиться в равенстве смешанных производных идля функции.

РЕШЕНИЕ

В любой точке имеем

Как и следовало ожидать, .

Частные производные от производных второго порядка называют частными производными третьего порядка и т. д.

Аналогично определяются частные производные высших порядков для функций любого числа независимых переменных.