Второй признак сравнения

Если существует конечный отличный от нуля предел (если), то оба ряда сходятся или оба расходятся одновременно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть ряд (2) сходится и . Взяв произвольное число, для достаточно больших номеровбудем иметьили. Из неравенстваследует, что. В силу свойств сходящихся рядов одновременно с рядом (2) будет сходиться и ряд, полученный умножением его членов на число_. Отсюда, по первому признаку сравнения, вытекает сходимость ряда (1).

Если же ряд (2) расходится, то из неравенства илиследует, что ряд (1) также расходится.

Трудность применения на практике признаков сравнения состоит в необходимости иметь “запас” рядов, сходимость (или расходимость) которых известна. В качестве «эталонных» рядов, обычно используются ряды, образованные членами геометрической прогрессии, или обобщенный гармонический ряд .

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость числовой ряд .

РЕШЕНИЕ

Сравним данный ряд с рядом

.

Ряд сходится, т.к. его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем. Каждый член исследуемого ряда меньше соответствующего члена ряда:

поэтому, согласно первому признаку сравнения, ряд сходится.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд

РЕШЕНИЕ

Сравним этот ряд с гармоническим рядом Ряд (*) расходится (p=1). Применим для исследования ряда второй признак сравнения:

.

Предел конечен и не равен нулю. Поэтому, согласно второму признаку сравнения, т.к. расходится ряд (*), то расходится и исследуемый ряд.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд .

РЕШЕНИЕ

Сравним его с рядом , общий член, которого. Этот ряд сходится, т.к.Применим второй признак сравнения:

.

Т.к. этот предел конечен и не равен нулю, а ряд, с которым мы сравнивали, сходящийся, то, согласно второму признаку сравнения, исследуемый ряд тоже сходится.

Признак Даламбера

Пусть для числового ряда с положительными членами ,существует предел,

то при l<1 ряд сходится, при l>1 ряд расходится, при l=1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным (надо применить другой признак).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По определению предела для любого существует, что для любоговыполняется соотношение

или .

1). Пусть . Выберемтак, чтобы число. Тогда, если,и т. д. Отсюда получим, что ,,,....

Ряд сходится, так как члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем. Тогда по первому признаку сравнения ряд

также сходится. Этот ряд получен из ряда после отбрасывания первыхчленов (остаток ряда). Значит, рядсходится (свойство 3).

2). Пусть . Тогда, начиная с некоторого номера,будет выполняться неравенство(если выбратьдостаточно малым).

Из этого неравенства следует, что каждый последующий член ряда будет больше предыдущего , а т.к. они положительны, то предел общего члена ряда не может быть равен нулю. Следовательно, в силу необходимого признака сходимости, ряд расходится.

3). Пусть l=1. Возьмем два известных ряда: .

В том и другом случае , но при этом один ряд сходится, а другой расходится. Поэтому в случае, когда этот предел равен 1, необходимо применять другой признак для решения вопроса о сходимости ряда.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд числовой .

РЕШЕНИЕ

Общий член этого ряда имеет вид .

Для того чтобы найти й член ряда , вместоn в выражение подставимn+1: .

Вычислим предел

.

Т.к. , ато после сокращения получим

.

По признаку Даламбера, если то ряд сходится.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость числовой ряд .

РЕШЕНИЕ.

Общий член ряда . Запишем последующий член ряда. Найдем предел отношения

.

Т.к. то по признаку Даламбера ряд расходится.