4.3 Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение 2-го порядка в общем виде можно записать как

или .

Общее решение и общий интеграл уравнения содержат две произвольные постоянные и задаются формулами или.

Частное решение уравнения находится, если задать начальные условия (задача Коши) .

ТЕОРЕМА (существования и единственности решения)

Если функция непрерывна в окрестности значений, то уравнениеимеет решениетакое, что. Если, кроме того, непрерывны и частные производныеи, то это решение единственно.

Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка

I. Рассмотрим дифференциальное уравнение 2-го порядка, когда правая часть уравнения не содержит и

.

Такое уравнение решается последовательным двукратным интегрированием.

ПРИМЕР. Решить дифференциальное уравнение .

РЕШЕНИЕ

Последовательно интегрируя уравнение, найдем сначала первую производную:, а затем саму функцию:.

II. Дифференциальное уравнение, правая часть которого не содержит

,

можно свести к уравнению первого порядка с помощью подстановки:

,

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .

РЕШЕНИЕ.

Положим, , тогда. Подставимв уравнение:

.

Это линейное уравнение первого порядка относительно функции . Решим его методом Бернулли. Разделим обе части уравнения на множитель

и будем искать в виде. Тогда. Подставимв уравнение:

, .

Составим систему уравнений

1 этап: решим первое уравнение системы и найдем функцию :

Тогда , откуда.

2 этап: подставим полученное выражение для функции во второе уравнение системы и найдем функцию:

Вычислим интегралы, входящие в левую и правую части уравнения

Тогда получим .

3 этап: т.к. то

4 этап: поскольку то получим уравнениеили,,,

Это общее решение исходного уравнения.

3. Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее явным образом независимой переменной , т.е. уравнение вида

.

Это уравнения можно привести к уравнению 1-го порядка с помощью подстановки . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции.

ПРИМЕР. Найти общий интеграл уравнения .

РЕШЕНИЕ

Уравнение не содержит явным образом независимую переменную , поэтому введем новую переменную. Тогда. Подставимив уравнение и получим:. Уравнение распадается на два:и.

Из первого уравнения следует, что или.

Второе уравнение с разделяющимися переменными: .

Общий интеграл уравнения . Применим свойства логарифмов и получим, что. Тогда. Подставим в решениеи получим, что.

Вновь пришли к уравнению с разделяющимися переменными:

.

Тогда общий интеграл исходного уравнения имеет вид

и .

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

, (*)

где - функции непрерывные на некотором промежутке.

Это уравнение называется уравнением с правой частью или неоднородным.

Если то уравнение имеет вид

(**)

и называется уравнением без правой части или однородным.

ТЕОРЕМА 1. Если функции - линейно независимые частные решения однородного линейного уравнения, то их линейная комбинацияявляется общим решением того же уравнения. Здесь- произвольные постоянные.

Замечание: функции называются линейно независимыми, если их отношение не равно постоянной величине, т.е.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Продифференцировав дважды функцию : ,и подставив ив левую часть уравнения, получим:

.

Так как функции ипо условию теоремы есть решения уравнения, то выражения в скобках тождественно равны нулю. Таким образом, функцияудовлетворяет исходному уравнению, а поскольку она зависит от двух произвольных постоянных, то является общим решением уравнения.

ТЕОРЕМА 2. Общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т.е. .

Здесь - общее решение неоднородно уравнения;- общее решение однородного уравнения;- частное решение неоднородного уравнения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Обозначим через общее решение однородного уравнения, а через- какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

Рассмотрим функцию . Имеем,.

Подставляя выражения для в левую часть уравнения (*), получим:

.

Выражение в первой квадратной скобке равно нулю, т. к. - решение однородного уравнения, а выражение во второй квадратной скобке равно, т. к.- решение неоднородного уравнения. Следовательно, функцияесть решение уравнения. Так как это решение зависит от двух произвольных постоянных, то оно и есть общее решение уравнения.