Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение вида

называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Такое уравнение подстановкой ,,сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

РЕШЕНИЕ

Убедимся, что это уравнение однородное, для чего разделим правую часть уравнения (числитель и знаменатель) на . Получим уравнение:

.

После подстановки: ,или в дифференциальной формеуравнение примет вид:.

Перенесем в правую часть и приведем дроби к общему знаменателю, т.е.,,.

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные и найдем интегралы:

или ,

, ,.

Выполним обратную подстановку и получим общее решение уравнения:

.

ПРИМЕР. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию

РЕШЕНИЕ.

Если в уравнении перенести слагаемоев правую часть, то уравнение примет вид, т. е. оно является однородным. Введем новую переменнуюи подставимив исходное уравнение:или.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножим обе части уравнения на , а затем разделим на ():.

Найдем интеграл от левой и правой части уравнения ,

Таким образом, общий интеграл получен: Сделаем обратную замену

Чтобы найти частное решение уравнения, подставим в общий интеграл начальные условия :. Отсюда. Подставим найденное значениев общий интеграл уравнения и получим частное решение исходного уравнения:

.

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной

,

где иизвестные функции, непрерывные на некотором промежутке.

1. Если , то имеем частный случай

, или .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и выполним интегрирование, получим

, ,

, ,.

Следовательно, .

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения: .

РЕШЕНИЕ

Перепишем уравнение в виде и разделим переменные. После интегрирования получим

, .

2. Если , то уравнениерешается с помощью подстановки Бернулли, гдеинепрерывные и дифференцируемые функции. Для краткости будем писать.

Подставив ив уравнение, получим:.

Сгруппировав слагаемые, содержащие функцию , вынесем за скобку общий множитель, т.е.

.

Поскольку одну из функций илиможно выбрать произвольно, то подберем функциютак, чтобы выражение в скобке равнялось нулю. За функциюпринимаютлюбое частное решение этого уравнения. Тогда получим систему:

Найдем из первого уравнения системы (уравнение с разделяющимися переменными):

, ,,

или .

Подставим полученный результат во второе уравнение системы:

, ,.

Теперь можно записать общее решение исходного уравнения как произведение и:.

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .

РЕШЕНИЕ

Это уравнение является линейным. Используем для нахождения решения подстановку Бернулли: ,. Подставимв исходное уравнение и получим:

.

Сгруппировав в левой части второе и третье слагаемые, вынесем множитель за скобку, т.е..

Переходим к системе:

1 этап: решим первое уравнение системы (это уравнение с разделяющимися переменными)

, ,,

.

Следовательно, .

Замечание: произвольную постоянную полагают равной нулю, т. к.частное решение уравнения.

2 этап: подставим полученное решение во второе уравнение системы и найдем функцию :

, ,.

3 этап: общее решение уравнения имеет вид:

.

ПРИМЕР. Найти частное решение дифференциального уравнения , если.

РЕШЕНИЕ

Разделим обе части уравнения на функцию и преобразуем его к виду:.

Теперь видно, что уравнение линейное. Применим подстановку Бернулли и получим: ,.

Составим систему уравнений:

1 этап: найдем функцию из первого уравнения системы:,,,,

, .

2 этап: подставив во второе уравнение, найдем функцию:, ,.

3 этап: запишем общее решение уравнения .

Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию , подставим в общее решение:. Отсюдаи.