4.2 Дифференциальные уравнения 1-го порядка

В общем виде дифференциальное уравнение 1-го порядка можно записать как равенство .

Если уравнение разрешено относительно производной , то оно приобретает вид:

или в дифференциальной форме .

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка может быть записано в неявном и явномвидах. И, так как в нем присутствует одна произвольная постоянная, то для нахождения частного решения необходимо задать одно начальное условие:.

График частного решения представляет собой линию, проходящую через точку с координатами . Эта линия называетсяинтегральной кривой.

Вопрос о том, в каком случае можно утверждать, что частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, существует и единственно, решает следующая теорема.

ТЕОРЕМА (существования и единственности решения)

Если функция непрерывна в области, содержащей точку, то уравнениеимеет решениетакое,

что . Если, кроме того, непрерывна и частная производная , то это решение единственно.

Рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся видов дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение вида

называют уравнением с разделенными переменными. Функции ибудем считать непрерывными.

Произведем интегрирование и получим связь между переменными и, освобожденную от их дифференциалов

,

т. е. функцию, которая является общим решением исходного уравнения.

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .

РЕШЕНИЕ.

Запишем уравнение в виде .Переменные разделены, так как множитель перед дифференциаломявляется функцией только от переменной, а множитель передфункцией только от переменной. Интегрируя обе части уравнения, получим

или .

Если умножить уравнение на 2 и ввести обозначение , то общее решение можно записать в виде.

Интегральными кривыми для исходного уравнения являются окружности с центром в начале координат.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида .

Чтобы привести это уравнение к уравнению с разделёнными переменными, достаточно разделить его на произведение :

.

Тогда получим уравнение , которое легко интегрируется:.

Надо помнить, что деление уравнения на функцию может привести к потере частных решений, которые получаются из уравнения. Определяя из этого уравнения решение, следует проверить, является ли оно решением исходного уравнения. Если не является, то его нужно отбросить, а если является, то проверить, входит ли оно в общее решение, т.е. будет ли оно частным решением. Если решение не является частным решением, его называютособым.

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .

РЕШЕНИЕ

Представим производную как, тогда уравнение можно записать в дифференциальном виде.

Чтобы разделить переменные, умножим обе части уравнения на . Получим равенство, которое проинтегрируем:

, ,.

Это и есть общее решение уравнения.

ПРИМЕР. Найти решение уравнения .

РЕШЕНИЕ

Запишем уравнение в виде: . Теперь заменимна:

.

Если умножить уравнение на и разделить на, то получим уравнение с разделёнными переменными:.

Найдем интегралы от обеих частей равенства:

или.

Это общий интеграл (решение) дифференциального уравнения. Полученную функцию можно упростить и привести к виду .

Проверим, является ли частным решением уравнения функция . Подставимив исходное уравнение:, получим тождество. Следовательно, функцияявляется решением уравнения. Если общее решение уравнения записать в виде, то функцияполучится из него, когда, т.е. она является частным решением.

ПРИМЕР. Найти общий интеграл уравнения (общее решение)

и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: .

РЕШЕНИЕ

Это уравнение относится к уравнениям с разделяющимися переменными. Разделим переменные, для чего обе части уравнения поделим на :

.

Получим уравнение:

.

Проинтегрируем его:

, ,.

Константу для дальнейшего упрощения функций удобно взять в форме. Таким образом, общий интеграл запишется в виде

.

В этом уравнении при делении на функцию может быть потеряно решение. Но это решение получается из общего решения, если, т.е. является частным решением.

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Подставим начальные условия в общий интеграл и найдем значение константы:, откуда. Тогда частное решение запишется в виде:.

ПРИМЕР. Найти общий интеграл (общее решение) уравнения

РЕШЕНИЕ

Убедимся, что это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Для этого вынесем за скобки общие множители

.

Теперь разделим обе части уравнения на ,

и после сокращения получим

Переменные разделены, можно интегрировать:

Найдем каждый интеграл отдельно:

,

Общий интеграл (решение) уравнения примет вид:

Это выражение можно преобразовать, воспользовавшись свойством логарифмов, тогда получим .