Метод интегрирования по частям

Иногда при интегрировании имеет смысл представить подынтегральное выражение как произведение некоторой функции на дифференциал другой функции. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференцирования произведения двух функций.

Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть и- дифференцируемые функции от переменной. Найдем дифференциал их произведения

,

а затем проинтегрируем полученное выражение

.

Или

, .

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ

Примем за функцию , а за дифференциал, тогда

.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ

.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Проинтегрируем выражение на промежутке, и, выразив, получим

, ,

.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ

.

Рассмотренные методы применяются при интегрировании основных классов функции.

3.3 Основные классы интегрируемых функций

Интегрирование рациональных функций

Рассмотрим интеграл от рациональной функции .

Целая рациональная функция представляет собой многочлен степени n, общий вид которого: .

Тогда: .

ПРИМЕР. Вычислить неопределенный интеграл .

РЕШЕНИЕ

.

Дробно-рациональная функция представляет собой отношение многочленов, т.е. , здесьи- многочлены степениисоответственно.

Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, тодробь называют правильной , если-неправильной.

Всякую дробно-рациональную функцию можно представить в виде суммы целой части, если дробь неправильная, и простых рациональных дробей. Целая часть, т. е. многочлен, интегрируется почленно. Интегрирование простых дробей рассмотрим ниже.

К простым дробям относят дроби вида:

1. , 2.(),

3. , 4.(),

здесь - постоянные коэффициенты, а квадратный трехчленне имеет действительных корней.

Найдем интегралы для первых трех видов дробей:

1. .

2. .

3. .

Выделим в числителе производную знаменателя и представим интеграл в виде суммы двух интегралов, т.е.

применим формулу

выделим полный квадрат

сводится к табличному

Приемы интегрирования простых дробей четвертого типа можно найти в дополнительной литературе.

Разложение правильной дроби на простые дроби связано с разложением её знаменателя на простые множители.

1 Случай.

Рассмотрим рациональную функцию , знаменатель которой можно разложить в виде:

,

тогда дробь можно представить в виде суммы простейших дробей первого типа:

,

где неизвестные коэффициенты, которые можно найти методом неопределенных коэффициентов (см. пример ниже).

После этого интеграл можно представить в виде суммы интегралов

.

ПРИМЕР. Найти .

РЕШЕНИЕ

1 шаг. Согласно теореме дробь можно разложить на сумму простых дробей:

.

2 шаг. Методом неопределенных коэффициентов найдем неизвестные числа . Для этого приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравняем числители полученных дробей:

.

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями :

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождества и получим систему из двух уравнений:

откуда

3 шаг. Представим дробь в виде суммы простейших дробей

и найдем интеграл

.