Дифференциальные уравнения второго порядка.

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида:

,

где  независимая переменная,  искомая функция, первая и вторая ее производные.

Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка. Пусть функция и ее частные производныеинепрерывны в некоторой областипространства переменных. Тогда для любой внутренней точкиэтой области существует единственное решение уравненияудовлетворяющее условиям.

Условия называютсяначальными условиями, а задачу отыскания решения уравнения по заданным начальным условиямназываютзадачей Коши.

Пример. Найти решение задачи Коши: .

Решение: Найдем общее решение:

.

Воспользуемся начальными условиями и найдем частное решение:

.

Ответ:  решение задачи Коши.

Типы дифференциальных уравнений второго порядка:

1. Уравнения, допускающие понижение порядка, бывают трех видов:

А) . Для решения используется замена:, тогда, а.

Б) . В этом случае замена имеет вид:, тогда, а.

В) . Замена:. Тогда, а общее решение можно представить в виде:.

Пример. Найти решение уравнения: .

Решение: В нашем случае , следовательно, используем замену:и получим уравнение с разделяющимися переменными

.

Выполняем обратную замену:

.

Ответ: .

2. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка – это уравнение вида: , где искомая функция,  известные непрерывные функции на интервале . Если, то уравнение называетсялинейным однородным дифференциальным уравнением. Если , толинейным неоднородным дифференциальным уравнением.

А) Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: , где вещественные числа.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет два базисных решения, по которым строится общее решение уравнения. Решения иуравненияназываютсялинейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю , лишь в том случае, когда.

Теорема. Пусть решения иуравнениялинейно независимы на интервале. Тогда функция, гдеи произвольные постоянные, является общим решением однородного уравнения .

Решение уравнения будем искать в виде, где некоторое число. Поставим эту функцию в уравнение и получим . Разделим обе части наи будем иметь это уравнение называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения .

Вид общего решения зависит от того какие корнииимеет характеристическое уравнение.

Теорема. Если корни характеристического уравнения:

• вещественные и различные, т.е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид.

• вещественные и равны между собой, т.е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид.

• комплексные , где, аи вещественные числа, то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид , где.

Во всех трех случаях и произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение: а) ; б); в).

Решение:

а) Характеристическое уравнение имеет вид: . Оно имеет два различных вещественных корня, следовательно.

б) Характеристическое уравнение: . Оно имеет два вещественных корня, равных между собой, тогда общее решение имеет вид.

в) Характеристическое уравнение: . В этом случае, мы имеет комплексные корни, следовательно,.

Ответ: а) ; б);

в) .

Б) Неоднородные уравнения второго порядка – это уравнения вида .

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка состоит из суммы общего решениясоответствующего однородного дифференциального уравненияи некоторого частного решениянеоднородного дифференциального уравнения, т.е..

Вид частного решения зависит от функциии корней характеристического уравнения:

• Если , где многочлен степени . Тогда, где многочлен степени в общем виде, а

• Если , где заданные действительные числа. Тогда , гдеи неизвестные числа, а .

Пример. Найти решение уравнения: .

Решение: Находим общее решение соответствующего однородного уравнения , которое будет иметь вид:.

Частное решение будем искать виде , тогда,. Подставляем в исходное уравнение:

Следовательно, , а общее решение.

Ответ: .

Пример. Найти решение задачи Коши:

.

Решение: Находим общее решение соответствующего однородного уравнения , которое будет иметь вид:.

Частное решение будем искать виде , тогда,. Подставляем в исходное уравнение:, т.е..

Общее решение уравнения получим в виде: .

Найдем значение констант с помощью заданных начальных условий:

Ответ: .