borisenko_o_a_diskretna_matematika

Дискретна математика

множину М

0 4 = М , Аі Є 5. /=І

Розбиття множин широко використовується як у математичних теоріях, так і на практиці, особливо в задачах з кодування інформації. Тому спеціаліст у галузі інформатики й цифрової схемотехніки досить часто буде зустрічатися з такими задачами.

Вправи

1. Довести, що для будь-яких множин А і В справедливо

21

Борисенко О.А.

4. Показати, що із співвідношень А П В = С випливає, що

С^А і СсВ.

5. Довести, що множина

(Л/-ЛОП(ЛГ -АО = 0 .

6. Довести, що

1. В якому співвідношенні знаходяться множини А і В, якщо

А-В - В - А-01

8. Довести, що для довільних множин А і, ^2,..., Ап (п > 2)

А,ЦА2и...І)А=(А-А2)и(А2-А3)1)...

II(Ап.1-Ап)и(Ап-А0т^А2(]...С]А„).

9.Довести, що

Знайти доведення математичної теореми важливише, ніж завоювати перське царство.

Демокріт

22

Дискретна математика

Лекція 4 ДІАГРАМИ ЕЙЛЕРА

Для наочного зображення операцій над множинами досить часто використовують діаграми (круги) Ейлера. Універсальна множина 0! зображається у вигляді точок деякого прямокутника, а її підмножина - як круг усередині прямокутника (рис. 1). Доповнення А множини А до І) зображається тією частиною прямокутника, яка лежить поза кругом, що зображає А. Якщо на діаграмі Ейлера зобразити кругами множини А і В, що є підмножинами £/, то множини А(~)В і АІІВ будуть зображені заштрихованими областями на рис. 2 і 3 відповідно.

Множини для різниць А - В і В - А, а також симетричної різниці А і В показані заштрихованими ділянками на рис. 4, 5, 6 відповідно.

Слід зазначити, що, крім кругів чи діаграм Ейлера, на практиці досить часто використовуються і діаграми Вена. Вони відрізняються від кругів Ейлера тим, що в них застосовуються довільні криві, тобто діаграми Вена є узагальненням кругів Ейлера. Вони почали застосовуватися на практиці більш як на сто років пізніше, ніж круги Ейлера. Досить часто діаграми Вена називають також діаграмами Ейлера і зворотно - круги Ейлера називають діаграмами Вена, хоча це і не зовсім правильно. Часто круги Ейлера називають також діаграмами ЕйлераВена. Надалі ми будемо наводити тільки круги (діаграми) Ейлера і гак їх будемо називати.

Іч

Рис. І. Діаграма Ейлера для множини А (заштриховано А )

11

Рис. 2. Діаграма Ейлера для двох множин А і В, які перетинаються (заштриховано АГ\В)

23

Борисенко О.А.

(а( У в\

Рис. 3. Діаграма Ейлера для двох об 'єднаних множин А І) В (заштриховано А{] В )

(заштриховано А - В)

(заштриховано В - А)

Рис. б. Симетрична різниця двох множин А + /і (заштриховано А + В)

Приклад І. Чи існують підмножини А, В і С універсальної множини V, для яких одночасно мали б місце такі співвідношення:

Сф0, А{\ВФ0, АПС = 0, АПВ~С = 0?

24

Дискретна математика

Розв'язання. З другої умови випливає, що А і В перетинаються, з чого стає зрозумілим, що обидві множини не пусті. Четверта умова стверджує, що А П В с С . З цього видно, що перша умова зайва. З одного боку, А П В належить С, а з іншого - А П С є пустою множиною. Це суперечність. Отже, множин, що задовольняють усім наведеним умовам, не існує. Тому неможливо побудувати відповідну діаграму Ейлера.

Рис. 7. Діаграми Ейлера для трьох множин Р, О, X приклада 2

Розглянуті задачі - це задачі, в яких доводиться існування чи відсутність множин із заданими умовами. Ці задачі можуть бути дуже складними і для свого розв'язання потребувати значних зусиль.

3. Записати за допомогою операцій над множинами вирази для множин, що відповідають заштрихованим ділянкам діаграм Ейлера 1, 2, 3 нарис. 8, 9, 10.

25

Борисенко О.А.

4. Довести за допомогою кругів Ейлера тотожність

Аи{вг\с)=(Аив)П{лис).

5. Довести за допомогою кругів Ейлера тотожність

6. За допомогою кругів Ейлера показати, що

а) А П В с АII В;

б) А + А = 0 ; в) якщо АГ)В = С,Т0 СаА і С с 5 ;

г) ( М - Л Г ) П ( # - А О = и .

26

Дискретна математика

Лекція 5 АЛГЕБРА МНОЖИН

1. Загальні положення

Алгебра множин створюється з допомогою операцій між підмножинами універсальної множини як сукупність рівностей — тотожностей.

Наприклад, для будь-яких підмножин (множин) А, В і А, В, С універсальної множини Ц дійсними с рівності:

1.ЛІІ(ДІІС) = (ЛІІЯ)ІІС;

2.А{)В = ВII А\

4. АІ)0 = А; 5. АІ)А = 1/; (А = і/-А).

Г. АП(ВПС) = (АПВ)ПС; 2'. АПВ = ВПА;

З'. ЛП(ЯІІС) = (ЛПД)ІІ(ЛПС); 4'. АП(У = А; 5'. А(ІА=0.

Кожну з наведених рівностей можна довести, показавши, що будь-який елемент множини, що стоїть з одного боку від знака рівності, належить до множини, яка стоїть з іншого боку від цього знака рівності.

Доведемо рівність 3. Доведення складається з двох частин:

цьому випадку х також є елементом перетину (А ЦІ В) П (А У С). 2. Розглянемо вираз

( Л У ^ П С / Ш О С Л І Л Я П С ) .

27

Борисенко О.А.

Нехай х є ( Л І ) £ ) П ( Л І І С ) . Тоді і х є Л І І С . Отже,

або х є Д або х є В і х є С. З цього випливає, що х є А ЦІ (В П С).

Тобто х належить як до першої частини рівності 3, так і до другої, що й доводить її. Доведення решти рівностей провести

Рівності 1 и Г називаються асоціативними законами для об'єднання і перетину, а рівності 2 і 2' - комутативними законами для цих операцій. Рівності 3 і 3' - це дистрибутивні закони для цих операцій.

Для довільних підмножин А і В універсальної множини II, крім вищезазначених рівностей, справедливі також рівності:

1.ЯкіцоЛІ)В = А ,то В = 0.

2.0 = £Л

3.АЦА = А.

4.ЛII £/ = £/.

Доведення цих рівностей провести самостійно.

28

Наведені вище в цьому розділі рівності дозволяють спрощувати різні більш складні вирази алгебри множин.

Приклад \. АГ\В\ЗВ = А и в \ } В = А\)В.

Приклад 2.

(А{]В(\С)[}(А[\ВГ\С)[}виС=[(АШ)Г)ВПС]{}В{)С =

= ( І / П 5 П С ) І І 5 П С = ( 5 П С ) І І ( 5 П С ) = С/.

Приклад 3.

{АГ\ВГ\СІЇХ)\}(АГ\С)\}(ВГ\С)\3{СГ\Х) =

=( Л П Я П С П * ) Щ / і і і я і і ; О П С ] =

=[ л п я п * и л п д п * ] п с = і / п с = с .

Приклад 4. Довести, що А\3 А = А\

29

Борисенко О.А.

твердження. Це означає, що нема потреби доводити, наприклад, рівності 1'-5', якщо доведені рівності 1 - 5.

3.Узагальнення операцій над множинами

1.Об'єднання п множин

поо

3. Формула де Моргана

2. Довести, що для довільних множин А, В, С, О і X

а) Щлйсвгй)=(Аи П (яихУ'

б)(АПХ)и(ВГ)ХЮ(СПХ)1)(ППХ) =

=[(АиОПХ]ІІ[(ВиП)ПХ];

В) [(Ап X ) [ ) ( В п X ) ] п [ ( С п X ) I I ф п X)] =

^( л п о л л д а п а д х ] .

3.Показати справедливість рівностей а) А П в и в = АІІВ;

ЗО