borisenko_o_a_diskretna_matematika

Перший крок наведеного алгоритму являє собою звичайну (неповну) індукцію, яка реалізує індукційний підхід до науки в цілому.

Другий і третій кроки алгоритму є наслідком дії принципу математичної індукції та реалізують його практично. Принцип математичної індукції гарантує за умови, якщо другий і третій кроки методу виконані, що твердження Р(п) дійсне. Гіри цьому другий крок грунтується на лемі 1 і є основою (базою) метода математичної індукції, а третій - на лемі 2, яка визначає індукційний крок (перехід) методу.

На рис. 1.1 наведена блок-схема реалізації метода математичної індукції. Вона показує, що метод математичної індукції містить два основних блоки - блок, що реалізує основу індукції, і блок, що реалізує індукційний перехід.

Рис. 1.1. Блок-схема, яка реалізує математичну індукцію

Слід ще раз звернути увагу на те, що основою метода математичної індукції є принцип математичної індукції, який твердить, що якщо доведені леми 1 і 2 для твердження Р(п'), то це твердження істинне для будь-якого /7 = 1,2,... .Тому завданням метода є доведення лем 1 і 2 для Р(п).

4. Приклади доведення методом математичної індукції

Приклад 1. Знайти вираз для суми перших п непарних чисел натурального ряду

243

Р(л) = 1 + 3 + ... + (2л - 1).

Розв'язання. На основі аналізу перших початкових чисел натурального ряду за допомогою неповної індукції отримуємо гіпотезу, що Р(п) -п2.

Застосувавши метод математичної індукції, доведемо дану гіпотезу.

Відповідно до першого кроку метода, який доводить лему 1, одержимо, що Р{п = 1) = п г = І2.

Лема 1 доведена.

Перейдемо до другого кроку - доведення леми 2.

Для цього припустимо відповідно до леми 2, що гіпотеза Р(п) правильна для п - к . Тоді

Р(п = к)= 1 + 3 + ... + (2 к- 1 ) = к2.

Доведемо тепер, що ця гіпотеза правильна й для

Р(п = к + 1) = 1 + 3 + ... + (2к- 1) + (2 (к+ 1) - 1) = {к+ І)2. Подамо для цього Р(п = к + 1) таким чином:

Р(п = к + 1) = Р(п = к) + {2 (к+ 1)-1).

Тоді, оскільки Р(п = к) = к2,

Р(п = к + 1) = А2 + 2 к+ 1 =(Л+ І)2.

Результат співпадає з потрібним. Гіпотеза підтверджена.

Приклад 2. Довести, що сума п перших чисел натурального

244

Розв'язання. У даному випадку неповну індукцію для висунення гіпотези Р{п) виконувати не потрібно, оскільки вона задана в умові прикладу.

Наведемо доведення леми 1 для даного випадку: д л = і ) = ! й ± ! ) = і.

Таким чином, основа повної індукції одержана. Доведення леми 2 має такий вигляд. Нехай

Р(п = к) = 1 + 2 + ... + к = ^ ~ ± .

Тоді відповідно до леми 2 потрібно одержати вираз

Приклад 3. Довести, що сума квадратів перших чисел натурального ряду

Розв'язання. У цьому прикладі, як і в прикладі 2, твердження Р{п) задане у вигляді гіпотези, яка може перетворитися в істинне твердження тільки після доведень лем 1 і 2.

Лема 1 доводиться шляхом підстановки 1 замість п:

245

6 6

Для доведення леми 2 припустимо, як і в попередніх прикладах, що твердження Р(п) у випадку п - к справедливе, тобто для цього прикладу

б

Доведемо, що справедливим буде також твердження, що

Р(п = к + 1) = І2 + 22 + ... + к2 + (к + І)2 = Р{п = к) + (к + І)2.

Для цього спочатку доведемо, що

З доведеного далі випливає, що Р(п - к + 1) = Р(п - к) + (к+ І)2. Гіпотеза підтверджена.

Слід особливо підкреслити, що для правильного використання метода математичної індукції обов'язково потрібно доводити обидві леми І і 2, оскільки лема 1 є основою для проведення індукційних кроків у методі, що розглядається, а лема 2 дозволяє виконувати правильний перехід від випадку з п - к до випадку з п = к + 1, який іде за ним. Якщо лема 1 не доведена, то тоді відсутня основа для проведення індукційних кроків. У результаті за допомогою леми 2 можна довести помилкову гіпотезу Р(п).

246

5.Вирави для самостійної роботи

1.Довести, що сума квадратів л перших непарних чисел натуральної о ряду

Р(п) = І2 + З2 + ... + (2л -1)2 = л (2я -1)(2л + 1)

2. Довести, що сума кубів п перших чисел натурального ряду

Л » ) = 1 3 + 2 3 + . . . + й 3 = ' ' л ( , , + 1 )

3.Довести, що

4.Довести, що

6.Із 2л чисел 1, 2, ..., 2л довільно обрані (л + 1) чисел. Довести твердження Р(п), що серед обраних чисел знайдуться хоча б два числа, з яких одне ділиться на друге.

7.Довести, що п різних прямих, проведених на площині через одну точку, ділять площину на 2л частин.

6. Історична довідка

Першим відомим ученим, який застосував метод математичної індукції в сучасному вигляді в 1575 році, був італійський вчений Франческо Мауроліко. У XVII столітті цей метод був удосконалений П'єром де Ферма, який назвав його методом нескінченного спуску. Він також використовувався Паскалем, зокрема, з метою доведення формули для біноміальних коефіцієнтів.

До цього часу з допомогою метода математичної індукції було виконано безліч різних доведень математичних теорем, і їх кількість, безперечно, у майбутньому буде зростати.

247

Додаток 2

ЕТИМОЛОГО-ТЕРМіНОЛОГІЧНИЙ СЛОВНИК1

248

249

250

251