Воробьев Теория электромагн поля и СВЧ (Кривець)

82

Для практических расчётов удобно исходить из следующих равенств:

При этом магнитный поток может быть рассчитан по

→ →

векторному потенциалу Фi = ∫ Adli .

li

2.7 Примеры анализа стационарных и квазистационарных полей в простейших компонентах электронных цепей

Простейшие компоненты устройств электронной техники – резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы, отрезки соединительных линий. Кроме названных, электронные цепи содержат так называемые активные компоненты, которые непосредственно преобразуют и усиливают сигналы, преобразуют энергию из одной формы в другую, отображают информацию и т.п. Эти компоненты являются предметом изучения курсов электроники. Рассмотрим лишь простейшие (пассивные) компоненты с точки зрения их схемотехнических свойств, т.е. связи между током и напряжением (резисторы), зарядом и напряжением (конденсаторы), магнитным потоком и током (катушки индуктивности).

Таким образом, для резистора характерна прямая пропорциональность между протекающим током и падением напряжения. Эта закономерность называется законом Ома, а коэффициент пропорциональности - сопротивлением. Такая зависимость наблюдается лишь для начального участка вольтамперной характеристики резистора. В сильных электрических полях удельная электрическая проводимость становится зависящей от напряженности электрического поля, и закон Ома нарушается.

Пример 2.2 (плоский конденсатор). Отличительным признаком элементов, характеризующихся ёмкостью, является электростатическое поле. Рассмотрим конденсатор, на пластинах которого расположены равные по величине и противоположные по знаку заряды (рис. 2.9). Известно (см. п.2.5), что заряд одной из пластин

84

прямо пропорционален разности потенциалов q = CU , где

пропорциональности является ёмкость конденсатора. При подключении к конденсатору переменного

напряжения в его цепи будет протекать переменный ток. В

→

предположении квазистационарности процесса ( ∂∂Bt =0),

Пример 2.3 (катушка индуктивности). Одним из элементов электронных цепей является катушка индуктивности, при протекании через которую электрического тока возникает магнитное поле (рис. 2.10).

Для анализа схемо-технических свойств такого элемента предположим, что он изготовлен из проводника

током, и затем от точки 2 до точки 1 по свободному пространству. Так как в идеальном проводе электрическое поле отсутствует, интеграл на первом участке равен нулю, а на втором – разности потенциалов между точками 1 и 2 (2.6), т.е. падению напряжения на катушке (с обратным знаком). Интеграл в правой части равен потоку вектора магнитной индукции Ф через поверхность, ограниченную выбранным контуром. Как известно, этот поток пропорционален току, т.е. Ф = Li . Поэтому напряжение U на катушке, в предположении квазистационарности

→

процесса ( ∂∂Dt =0), пропорционально скорости изменения тока во времени:

U= L dtdi ,

акоэффициент пропорциональности L называется

индуктивностью (см. п.2.6).

•

При работе катушки на переменном токе ( i → I×e jωt ,

•

U →U×e jωt ) между амплитудами напряжения и тока

86

будет наблюдаться прямая пропорциональность, так как если воспользоваться методом комплексных амплитуд,

• •

U = jωL I .

Формально эта зависимость для комплексных амплитуд аналогична закону Ома, и коэффициент пропорциональности X L =ωL называется реактивным

сопротивлением катушки индуктивности аналогично ёмкостному реактивному сопротивлению конденсатора (см. пример 2.2).

Пример 2.4 (магнитная индукция отрезка провода с током). Для сравнения законов полного тока и Био- Савара-Лапласа рассмотрим процедуру нахождения магнитной индукции, создаваемой отрезком линейного провода с током i в произвольной точке m (рис. 2.11). Для нахождения магнитной индукции воспользуемся соотношением (2.16).

Врезультате интеграл (2.16) и его решение запишутся

вследующем виде:

87

результатом, полученным по закону полного тока в п.1.6 (1.29).

Пример 2.5 (поле и ёмкость двухпроводной линии).

Одной из простых задач электростатики, при решении которой используется теорема Гаусса в интегральной форме (1.11) является определение напряжённости поля

→

E , потенциала ϕ и ёмкости C двухпроводной линии

передачи – одной из компонент электронных цепей. При этом для большей наглядности решение задачи целесообразно разбить на три этапа: определение поля бесконечно длинного и тонкого проводника (заряженной оси), двух параллельных заряженных осей и двухпроводной линии с учётом толщины проводников.

Заряженная ось расположена в диэлектрической среде

εa и имеет заряд на единицу длины τ = ∂∂ql . Для

→

нахождения напряжённости поля E в некоторой точке, удалённой на расстояние r от оси (рис. 2.12), проведём через эту точку цилиндрическую поверхность так, что её ось совпадает с заряженной осью.

Тогда теорема Гаусса для такой системы запишется следующим образом:

89

точки от оси, поэтому потенциал определяется следующим образом:

находящаяся под знаком логарифма в (2.30), имеет смысл единичного радиуса (единицы измерения), поэтому логарифм берётся от величины с нулевой размерностью.

отрицательно заряженной оси – через b . Потенциал точки M равен сумме потенциалов от каждой оси:

ϕM = 2πετ a ln 1a + 2−πετa ln b1 +C = 2πετ a ln ba +C . (2.31)

Для эквипотенциальных линий (ϕ = const ) расстояние ba = const .

90

Двухпроводная линия с проводами конечного радиуса схематически представлена на рис. 2.14.

Пусть два провода одинакового радиуса R находятся на расстоянии d друг от друга. Если левому проводу будет сообщён заряд +τ на единицу длины, а правому −τ , то в пространстве между проводами возникнет электрическое поле. Заряды проводов распределятся по поверхности с неодинаковой плотностью: на внутренних стенках проводов плотность заряда будет больше, чем на внешних.

Рисунок 2.14 – Схема двухпроводной линии

Поверхность каждого провода в отдельности является эквипотенциалью. Внутри проводов E =0. Задача о поле двухпроводной линии сводится к рассмотренной выше задаче о поле двух заряженных осей. Расположим две заряженные оси так, чтобы поверхности каждого провода являлись эквипотенциальными.

Точками O1 и O2 обозначим геометрические оси

проводов. Пусть заряженные оси будут расположены в точках M и N . Из условия симметрии они удалены от геометрических осей на одинаковое расстояние x . Запишем условие равенства потенциалов точек 1 и 2