Воробьев Теория электромагн поля и СВЧ (Кривець)
.pdf61
2.2 Электростатическое поле
Электростатическое поле создаётся неподвижными в пространстве и неизменными во времени зарядами.
Исходя из вышеприведённой формулировки вытекают
следующие условия существования |
электростатического |
поля: скорость заряда vq = 0 ; |
ток проводимости |
→
отсутствует (δ = 0 ); удельная проводимость среды γ = 0 , т.е. электростатическое поле формируется в среде вакуум –
→
диэлектрик; поле – потенциальное, так как rot E = 0 .
В заряженном теле (если общий заряд его неизменен во времени) элементарные заряды движутся хаотически. Поэтому даже в непосредственной близости от поверхности этого тела создаваемое элементарными зарядами магнитное поле практически отсутствует. Это и даёт возможность рассматривать в электрическом поле лишь одну «сторону» электромагнитного поля, а именно
→ →
электрическую «сторону», описываемую векторами E , D , потенциалом ϕ и параметром среды εa . Как отмечалось в
п.1.1, здесь и в дальнейшем будем рассматривать поля в однородных и изотропных средах.
Основные уравнения, описывающие электростатические поля, следуют из общей системы (2.4) с
→
учётом того, что δ = 0 и γ =0:
|
→ → |
→ |
|
∫ E dl = 0 ; |
rot E = 0 ; |
||
l |
|
|
|
∫ |
→ → |
→ |
|
D dS = q ; |
div D |
= ρ ; |
|
S
62
→ → |
→ |
|
ϕ = −∫E dl+const ; |
E = −gradϕ ; |
(2.9) |
l
2ϕ = − ρ ; 2ϕ = 0 при ρ =0.
εa
Граничные условия электростатики вытекают из общих граничных условий (1.28) для электрических компонент поля:
Граница |
Граница |
|
диэлектрик – проводник |
||
диэлектрик – диэлектрик |
||
(см. п.1.6, пример 1.7) |
||
|
D1n − D2n =σ ; |
|
|
|
|
|
Dn |
= −σ ; En = − |
σ |
; |
|
|||||||||
ε |
|
E |
−ε |
|
E |
|
=σ ; |
|
|
|
εa |
|
|||||||
a1 |
a2 |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
σ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
∂∂ϕn1 −εa2 |
∂∂ϕn2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
εa1 |
=σ ; |
|
(2.8) |
∂n |
= − |
εa ; |
|
|
|
(2.9) |
|||||||||
D1n = D2n при σ =0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
E |
= E |
; |
∂ϕ1 |
= ∂ϕ2 ; |
|
(2.10) |
E = 0 ; |
∂ϕ |
= 0 . |
|
|
(2.11) |
|||||||
|
1τ |
|
2τ |
|
∂τ |
|
∂τ |
|
|
|
τ |
|
∂τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ϕ1 =ϕ2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Граничные |
условия для |
потенциалов |
следуют |
из |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
→ |
|
|
|
|
сравнения |
|
|
|
равенств: |
|
E =τ Eτ + n En |
|
|
|
и |
|||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
→ ∂ϕ |
|
→ |
∂ϕ |
, откуда |
Eτ = − |
∂ϕ |
и |
|||||
E = −gradϕ = − |
τ |
|
− n |
|
∂τ |
||||||||||||||
|
|
= − ∂ϕ . |
|
|
∂τ |
|
|
∂n |
|
|
|
|
|
|
|||||
E |
Здесь |
→ |
и |
→ |
– |
единичные |
векторы |
||||||||||||
τ |
n |
||||||||||||||||||
|
n |
|
∂n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тангенциальных и нормальных составляющих.
|
|
63 |
|
|
|
Основные |
свойства, |
теоремы |
и |
законы |
|
электростатики. |
|
|
|
|
|
1. Электростатическое |
поле |
– |
безвихревое, |
||
→
потенциальное ( rot E = 0 ).
2. При наличии электрического поля в проводящем теле происходит разделение зарядов. В результате этого внутри проводника создаётся внутреннее электрическое поле, компенсирующее внешнее поле. Тогда внутри идеального проводника напряжённость электрического поля и вектор электрического смещения равны нулю:
E = 0 , D = 0 .
3. Теорема Гаусса: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся
→ → |
∑qсвоб ). |
|
|
||
внутри замкнутой поверхности ( ∫ D dS = |
|
|
|||
S |
|
|
|
|
|
→ |
|
tgα1 |
|
ε1 |
|
4. Закон преломления вектора E : |
|
= |
. Из |
||
|
tgα2 |
ε2 |
|||
|
|
|
|
||
граничных условий электростатики (граница диэлектрик - диэлектрик) следует, что непрерывна тангенциальная
|
→ |
|
составляющая |
вектора E , |
т.е. E1τ = E2τ (но E1n ≠ E2n ) и |
D1n = D2n при |
σ = 0 (но |
D1τ ≠ D2τ ). Отсюда видно, что |
→→
полные значения вектора E и вектора D в общем случае меняются скачком на границе раздела. Связь между углом падения α2 и углом преломления α1 (рис. 1.5) находится из
анализа треугольников разложения векторов на составляющие (рис. 1.6 п.1.5):
tgα1 = |
D1τ |
= |
εa1E1τ |
; tgα2 = |
D2τ |
= |
εa2 E2τ |
или |
tgα1 |
= |
ε1 |
. |
D1n |
|
D2n |
D2n |
tgα2 |
|
|||||||
|
|
D1n |
|
|
|
ε2 |
||||||
64
5. Закон Кулона положен в основу определения электростатического поля и описывает его механическое проявление при воздействии на заряды в следующей формулировке: два точечных заряда q1 и q2 в вакууме
→
взаимодействуют друг с другом с силой F , прямо пропорциональной произведению зарядов q1 , q2 и обратно
пропорциональной квадрату расстояния r между ними.
→ |
|
q1q2 |
|
→ |
|
|
|
F |
= |
|
r |
0 , |
(2.10) |
||
4πε0 r2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
→ |
вектор, |
направленный по |
линии, |
||||
где r 0 – единичный |
|||||||
соединяющей заряды. |
|
|
|
|
|
|
|
Эта сила направлена по линии, соединяющей точечные заряды (рис. 2.2). Если заряды имеют одинаковые знаки, то они стремятся оттолкнуться друг от друга; заряды противоположных знаков стремятся сблизиться.
|
F |
О |
значении |
закона |
Кулона |
в |
||||
|
физике. |
Шарль |
Кулон |
родился |
в |
|||||
r |
|
1736 |
году, |
по |
образованию |
– |
||||
q2 |
военный инженер. Сформулировал в |
|||||||||
|
||||||||||
|
|
1785 году закон, называемый его |
||||||||
|
r0 |
именем, |
и |
|
экспериментально |
|||||
q1 |
подтвердил его в 1789 году. Закон |
|||||||||
|
|
Кулона сыграл решающую роль в |
||||||||
Рисунок 2.2 – |
развитии |
не |
только |
теории |
||||||
Взаимодействие |
электромагнетизма, но и в ядерной |
|||||||||
физике. Так, например, он стал |
||||||||||
зарядов q1 и q2 |
||||||||||
основой |
при |
построении |
общей |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
теории |
|
электромагнитного |
поля |
|||||
Максвеллом. В 1911 году Резерфорд, используя закон Кулона, построил планетарную модель атома, на основании которой теоретически объяснил физику
65
рассеяния α -частиц на ядре (формула Резерфорда). Экспериментальные проверки точности закона «обратных квадратов» (закона Кулона) к настоящему времени достигли рекордных значений ( 10−16 ), что позволило физикам сделать заключение о равенстве нулю массы покоя фотона. Более подробная история открытия закона Кулона и его роль в развитии классической и квантовой электродинамики описаны в [13].
2.3 Электрическое поле постоянного тока
Электрическое поле постоянного тока образуется внутри и вне проводников при прохождении по ним постоянного тока, созданного внешними источниками э.д.с.
Исходя из определения, условия |
существования |
|
электрического поля постоянного |
тока |
заключаются в |
→ |
объёмный заряд ρ = 0 |
|
следующем: плотность тока δ ≠ 0 ; |
||
( q = 0 ); на поверхности проводника |
поверхностная |
|
плотность заряда постоянна (σ = const ), удельная проводимость среды γ >>ε . Следовательно, электрическое
→ →
поле постоянного тока характеризуется векторами E , δ , потенциалом ϕ и параметром среды γ . Исходя из этого,
основные уравнения электрического поля постоянного тока имеют следующий вид:
→ → |
→ |
|
∫ E dl = 0 ; |
rot E = 0 ; |
|
l |
|
|
→ → |
→ |
|
∫δ dS = 0 ; |
divδ |
= 0 ; |
S
66
|
|
→ → |
|
|
|
→ |
|
|
ϕ = −∫E dl+const ; |
E = −gradϕ ; (2.12) |
|||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
→ |
→ |
I = ∫δ dS ; |
|
|
|
δ |
= γ E ; |
|||
|
|
|
S |
|
|
|
2ϕ = 0 при γ = const . |
|
Граничные условия электрического поля постоянного |
||||||||
тока для |
вектора |
→ |
|
|
из системы (1.28), а для |
|||
E следуют |
||||||||
|
→ |
|
|
|
|
→ → |
|
|
вектора |
δ |
|
– из |
уравнения |
∫δ dS = 0 |
по методике, |
||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
изложенной в п.1.5: |
|
|
|
|
|
|||
δ1n =δ2n ; γ1E1n = γ2 E2n ; |
|
|
||||||
E1τ = E2τ ; ( E1n ≠ E2n ) при Eстор =0; |
(2.13) |
|||||||
∂ϕ1 = |
∂ϕ2 ; ϕ =ϕ |
2 |
. |
|
|
|||
∂τ |
∂τ |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Основные законы электрического поля постоянного тока.
→
1. Закон преломления линий вектора δ выводится
→
аналогично закону для вектора E (см. п.2.2) и имеет вид
tgβ1 |
= |
γ1 |
, |
|
tgβ2 |
γ2 |
|||
|
|
где β1 и β2 – углы падения и преломления в проводящей среде соответственно.
|
→ |
→ |
2. Закон Ома в дифференциальной форме: δ |
= γ E – |
|
→ |
|
|
плотность тока проводимости δ |
пропорциональна |
|
→
напряжённости электрического поля E . В интегральной форме закон Ома имеет вид U = IR .
67
3. Обобщённый закон Ома в дифференциальной форме для областей, занятых источниками э.д.с.:
δ= γ →+ →
E Eстор ,
→
→
где Eстор – поле в источнике э.д.с.
4. Первый закон Кирхгофа:
→ →
– в интегральной форме: ∫δ dS = 0 – поток вектора
S
плотности тока проводимости через замкнутую поверхность равен нулю;
→
– в дифференциальной форме: divδ = 0 – дивергенция вектора плотности тока проводимости равна нулю (линии
→
δзамкнуты).
5.Второй закон Кирхгофа:
|
→ → |
|
|
– в |
интегральной форме: ∫ E dl = 0 |
– |
циркуляция |
|
l |
|
|
|
→ |
|
|
вектора E вне источников э.д.с. равна нулю; |
|
||
– в |
|
→ |
|
дифференциальной форме: rot E = 0 – поле |
|||
потенциально вне источников э.д.с. |
|
|
|
6. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: |
|||
p = γ E2 |
– мощность тепловых потерь |
P , |
рассеиваемая |
за единицу времени в единице объёма проводящей среды при протекании тока проводимости (рис. 2.3), пропорциональна удельной проводимости γ среды и квадрату
напряжённости приложенного электрического поля E .
|
|
|
|
|
|
∆ S |
|
|
E |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
− |
+ i |
γ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ l |
Рисунок 2.3 – Элемент проводника с током
68 |
|
|
|
Данный |
закон |
является |
|
следствием |
его |
интегральной |
|
формы |
P = I 2 R |
при |
|
рассмотрении |
элементарного |
||
отрезка проводника |
с током |
||
длиной ∆l и сечением ∆S . Ниже представлена схема вывода закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:
|
|
|
P |
|
|
I 2 R |
|
|
|
I =δ ∆S, |
|
|
|
|
||||||||
|
p = |
= |
= |
|
V = ∆l∆S, |
= |
|
(2.14) |
||||||||||||||
|
V |
|
V |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∆l |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
∆S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
δ 2 |
∆S 2 |
|
|
1 ∆l |
|
δ |
2 |
γ |
2 E2 |
|
|
2 |
|
||||||||
= |
|
|
|
× |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= γ |
E |
. |
||
∆l∆S |
γ |
|
∆S |
|
γ |
|
|
γ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.4 Магнитное поле постоянного тока
Магнитное поле постоянного тока создаётся в проводнике и окружающем его пространстве при прохождении постоянного тока по проводнику.
Основным условием существования стационарного магнитного поля является наличие неизменного во
→
времени тока проводимости (δ ≠ 0 ). Магнитное поле –
|
→ → |
→ |
→ |
вихревое ( rot H =δ ) и характеризуется векторами B , |
H , |
||
→ |
→ |
занятых токами, скалярным |
|
A , |
δ , а в областях, не |
||
магнитным потенциалом ϕм .
Основные свойства магнитного поля постоянного тока на основании системы уравнений (2.5) могут быть сформулированы следующим образом:
69
1) закон полного тока:
|
→ → |
|
– интегральная форма |
∫ H dl = ∑I – |
циркуляция |
|
l |
|
вектора напряжённости |
магнитного поля |
→ |
H равна |
алгебраической сумме токов, протекающих внутри контура интегрирования;
|
→ → |
|
|
– дифференциальная форма rot H =δ |
– ротор вектора |
→ |
→ |
|
Hравен вектору плотности тока δ (поле вихревое);
2)принцип непрерывности линий магнитной индукции:
→→
=∫ B dS = 0 или с
S
использованием теоремы Стокса (1.8) и соотношения
→ |
→ |
магнитного |
потока Ф |
B = rot A имеем выражение для |
|||
|
→ |
→ → |
→ → |
через векторный потенциал A : Ф |
= ∫rot AdS = ∫ Adl ; |
||
|
|
S |
l |
→
– дифференциальная форма div B = 0 – дивергенция вектора магнитной индукции равна нулю (магнитное поле
→
не имеет истоков). Аналогично div A = 0 ;
3) закон |
Био-Савара-Лапласа |
определяет, |
какую |
|
индукцию |
магнитного поля |
→ |
создаёт |
элемент |
d B |
||||
проводника |
→ |
на |
расстоянии |
r от |
d l с током I |
||||
проводника при отсутствии ферромагнитных сред:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
→ |
→0 |
|
|
|
||
|
|
→ |
|
µ0 I |
|
d l × r |
|
|
µ0 I |
d l ×r |
|
|
|
|||||||
|
|
d B = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
, |
(2.15) |
||||
|
|
4π |
|
|
r3 |
|
|
|
|
4π |
|
|
r2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
где r |
– радиус-вектор, проведённый из элемента d l в |
|||||||||||||||||||
точку, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
в которой определяется магнитная индукция d B |
||||||||||||||||||||
(рис. 2.4); |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 – единичный орт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Результирующая индукция магнитного поля в |
||||||||||||||||||||
заданной точке будет иметь вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
→ |
|
|
µ0 I |
|
d |
l ×r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
B |
= |
|
∫l |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(2.16) |
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
||||||
Выражения |
(2.15) |
и |
(2.16) можно |
записать через |
||||||||||||||||
плотность |
тока |
|
→ |
|
путём |
|
|
|
введения |
I |
|
в |
векторное |
|||||||
|
δ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
произведение и замены |
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
– элемент |
||||||
I d l |
|
|
|
на δ dV , где dV |
||||||||||||||||
→
объёма проводника с плотностью тока δ :
r
dB
r0 dl
I
Рисунок 2.4 – Иллюстрация закона Био-Савара-Лапласа
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ×r0 |
|
|
|
|||
→ |
|
|
µ0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d B |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
; (2.17) |
|
4π |
|
|
|
r2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
δ×r0 |
|
|
|
|
||
→ |
µ0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
V∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
B = |
|
|
|
|
|
|
dV . |
|
||||
|
4π |
|
|
r2 |
|
|
||||||
Формулы (2.17) в литературе иногда называют законом Ампера по аналогии с (1.29) для замкнутого контура.
Законы полного тока и Био- Савара-Лапласа позволяют определить магнитную