Воробьев Теория электромагн поля и СВЧ (Кривець)

31

Лапласа или лапласианом. Поэтому можно записать, что

Это уравнение называют уравнением Пуассона.

Если свободных зарядов ρсвоб нет, то уравнение

Вдекартовой системе координат уравнения Пуассона

иЛапласа имеют вид:

Для цилиндрической и сферической систем координат они представлены в [3].

При получении уравнения Пуассона для векторного

→

потенциала A запишем первое уравнение Максвелла для

→→

Внеся E и H под знаки операторов дифференцирования, получим

потери электромагнитной энергии. Для определения энергии во всём объёме проинтегрируем выражение (1.20) по объёму V . С учётом теоремы Остроградского-Гаусса

(1.7) теорема Умова-Пойнтинга в интегральной форме

записи примет вид

34

вектором Пойнтинга, он характеризует значение и направление перемещения энергии, проходящей в единицу

→

времени через единицу площади, перпендикулярной П

→

(рис. 1.3). Если вектор П направлен внутрь поверхности, то его поток, проходящий через поверхность, будет

→→

V

П=[E H]

→ → →

Рисунок 1.3 – Ориентация векторов E , H , П относительно поверхности S, ограничивающей объём V

Физический смысл теоремы Умова-Пойнтинга: энергия электромагнитного поля расходуется на тепловые потери

Теорема Умова-Пойнтинга в комплексной форме записи используется для описания энергетического баланса гармонических электромагнитных колебаний. При выводе её воспользуемся первым и вторым уравнениями Максвелла (1.14):

rot H = γ E+ jωεa E ; rot E = − jωµa H .

При нахождении полной мощности необходимо

•

→

комплекс вектора напряжённости электрического поля E умножить на сопряжённый комплекс вектора

•

→

напряжённости магнитного поля H и проделать последовательность операций, изложенных выше при получении уравнения для мгновенных значений. В итоге получим

Для определения энергии во всём объёме проинтегрируем (1.22) по V и применим к левой части теорему Остроградского-Гаусса (1.7):

Первое слагаемое правой части представляет собой активную мощность, второе – реактивную мощность. Таким образом, теорема Умова-Пойнтинга в комплексной

36

форме может быть записана и сформулирована следующим образом:

•

→→

−∫ П dS = P + jQ ,

S

•

→

поток комплексного вектора Пойнтинга П сквозь замкнутую поверхность равен комплексной мощности, выделяемой внутри объёма, ограниченного этой поверхностью.

1.5 Законы изменения векторов электромагнитного поля на границе раздела двух сред (граничные условия)

Для областей, содержащих границу раздела двух или более сред, непосредственное решение дифференциальных уравнений Максвелла невозможно. Обычно решают уравнения для каждой среды в отдельности, а полученные решения «сшивают» на границе раздела. Для этого используют так называемые граничные условия – соотношения между значениями векторов поля по обе стороны от границы раздела. Поскольку уравнения Максвелла являются векторными, а решения их обычно находятся в проекциях на оси координат, то граничные условия удобно представить в виде нормальной (проекция на оси у ) и тангенциальной (проекция на оси x )

составляющих (рис. 1.4).

Методика вывода граничных условий базируется на использовании уравнений Максвелла (1.9) – (1.12).

39

Из рис. 1.6 видно, что

cosα1 = D1n .

D1

Аналогичное разложение можно провести и для

→

вектора D2 . Тогда

D1 cosα1 = D1n , D2 cos(180°−α2 )= −D2n .

Учитывая, что среды 1 и 2 изотропны, а заряд σ распределён по поверхности раздела равномерно,

получаем окончательное выражение для нормальных составляющих вектора электрической индукции на границе раздела сред:

Физический смысл: нормальная составляющая вектора электрической индукции Dn при переходе через границу

раздела двух сред претерпевает скачок, численно равный поверхностной плотности электрического заряда σ .

Граничное условие для нормальной составляющей магнитного поля можно получить из четвёртого уравнения

→ →

Максвелла (1.12): ∫ B dS = 0 .

S

Вэтом случае, вывод граничных условий аналогичен выводу, приведённому выше, для электрического поля (студенты вывод выполняют самостоятельно).

Врезультате получаем

B1n − B2n = 0

или

Физический смысл: нормальная составляющая вектора магнитной индукции Bn при переходе через границу

раздела двух сред не изменяется.

40

Граничные условия для тангенциальных составляющих поля выводятся из первого и второго уравнений Максвелла (1.9), (1.10).

Пусть достаточно гладкая поверхность S разделяет две среды 1 и 2 с различными магнитными (диэлектрическими) проницаемостями µ1 и µ2 (ε1 и ε2 );

параметры сред постоянны (рис. 1.7). Обозначим вектором

среде 2. Охватим границу небольшим контуром длиной и высотой ∆l , состоящим из элементарных отрезков ∆l1 ,

∆l2 и 2 ∆l3 , определяемых по направлению единичными

а по поверхности S в бесконечно тонком слое, помещённом на границе раздела, протекает поверхностный ток с плотностью iпов = dI / dl . Обозначим

Рисунок 1.7 – Преломление векторов H и E на границе раздела сред