Воробьев Теория электромагн поля и СВЧ (Кривець)

323

Пример 2. Вывести формулу для определения

величины напряжённости поля

E двухслойного плоского

конденсатора

(рис.

5.16).

Толщина

первого

слоя

d1

d2

диэлектрика с

εa1

равна d1 ,

второго слоя с εa2 равна d2 .

D1

D2

x

Принять,

что

εa1 =2εa2 ,

0

d2 =1.5 d1 ,

напряжение

на

E1

E2

конденсаторе равно U .

Решение:

пусть

к

U

первому

слою

конденсатора

Рисунок

5.16

–

приложено

напряжение

U1 ,

Двухслойный

плоский

ко

второму

–

U2 .

конденсатор

Приложенное напряжение U

связано

с

напряжённостью

324

При εa1 =2εa2

и d2 =1.5 d1

получим, что

E =

1 U ;

E = 3 U .

1

4 d1

2

4 d2

Ответ: E = 1 U

;

E = 3 U .

1

4 d1

2

4 d2

Пример 3. Стальная пластина представляет собой ¾

диска с концентрически вырезанным круглым отверстием

(рис.

см,

внешний

ϕ1

радиус

R2 =2

см.

Толщина

пластины

постоянна.

Между

ϕ2

R1

концами

пластины

поддерживается

постоянная

R2

разность потенциалов U . Найти

разность

потенциалов

ϕ2 −ϕ1 ,

если

наибольшее

значение

Рисунок

5.17

–

плотности тока

δmax =5×106

А/м2,

удельная

проводимость

стали

Сектор

диска

с

γ =107 См/м.

отверстием

Решение: разность потенциа-

ностью выражением

лов

ϕ2 −ϕ1 связана

с напряжён-

стекает

ток I =1000 А; удельная

проводимость земли

γ =10-2

Ом-1×м-1. Найти напряжение

U между точками,

заземлителя.

U

Решение:

напряжение

I

связано

с

напряжённостью

электрического

поля

E

по

R2

R1

формуле

R2

→ →

U12 = ∫

E d r .

R1

Рисунок

5.18

–

→

Напряжённость

E

можно

Заземлитель

определить из закона Ома

→

→

=

δ

.

E

γ

Так как ток I

течёт через полусферу (площадь сферы

Sсферы = 4π r2 ), то

Решение:

ток

утечки

Iут.

(ток

через

боковую

∫

→ →

Iут. =

δ dS

=δ Sбок =δ 2π r l .

Sбок

Плотность тока можно определить из закона Ома в

→

→

дифференциальной форме: δ

= γ E . Тогда

Iут. = 2π r l γ E .

Напряжённость

поля

E

не

известна, но

известно

приложенное

напряжение

U ,

которое

связано с E

выражением:

b(2 −ka)

b

Iут.

b

1

Iут.

U =

∫

Edr =

∫

dr

=

1 a (2 −kr)r

ln

.

a

2π l γ

4π l γ

1

a (2

−kb)

→

I

a

2

2π

I a

2

Hz

=

∫ dα =

.

(a2 + z2 )

3/ 2

(a2 + z2 )

3/ 2

4π

0

2

Ответ:

напряжённость

магнитного

поля на оси

кругового витка с током H =

I a2

.

2(a2 + z2 )3/ 2

Пример 7. Постоянный ток

I =5

А протекает вдоль

Количество сторон много-угольника

n =6, количество

витков рамки

ω =5. Определить

напряжённость

многогранника

равна

сумме

i

напряжённостей,

создавае-

i

мых

каждой

гранью

i

многогранника.

Напряжён-

ность

каждой

грани

можно

α1 β

рассматривать

как

напря-

жённость отрезка провода

h

i

H =

I

(cosα1 −cosα2 ).

4πh

α2

i

Из рис. 5.23 видно, что

α2 =180°-α1 , cosα1 = −cosα2 ,

Рисунок

5.23 –

sinα1

=

h

.

Многогранник с током

a

Отсюда h = a sinα1 .

Тогда

I

I

cosα1

H =

(cosα1 +cosα1 )= =

.

2πa

sinα1

4π a sinα1

β ,

Из рис. 5.23 видно, что α1 = π −

2π

2

2

где β =

.

n

Тогда

π −

π .

α1 =

2

n

H

n =6 граней

Напряжённость магнитного

поля

от