Воробьев Теория электромагн поля и СВЧ (Кривець)

171

Здесь, как и для H -волн, возможно бесчисленное множество мод, которые обозначаются Emn . Существенное

различие заключается лишь в том, что для E -волн невозможны нулевые значения ни одного из индексов m и

•

n , так как при этом Ez =0, а значит, равны нулю и все остальные составляющие поля.

На рис. 4.9 схематически изображено распределение продольной составляющей электрического поля вдоль широкой и узкой стенок волновода. Простейшим будет распределение для волны E11 . Все остальные типы волн

качественно повторяют распределение E11 m и n раз. Выражение для расчёта критической длины волны Emn

такое же, как и для волн Hmn .

E11 E21 E12 E32

Рисунок 4.9 – Примеры распределения полей для различных типов E -волн

На примере прямоугольного волновода, используя полученные результаты, можно проанализировать некоторые общие закономерности распространения волн в волноводах и правила для выбора его геометрических размеров. По ряду причин, указанных в главе 3 (см. пример 3.4), волновод используют обычно в так

172

называемом одномодовом режиме, т.е. на тех частотах, на которых в волноводе может распространяться лишь один тип волны. Для нахождения этого диапазона рассмотрим диаграмму (рис. 4.10), на которой вдоль оси частот

взаимное расположение будет зависеть от соотношения размеров волновода a и b (см. рис. 4.7). Если a >2 b , то

ближайшим к fкр10 будет fкр20 , в противном случае - fкр01 .

H -волны в прямоугольном волноводе

Заметим, что некоторые типы волн имеют одинаковые значения fкр (например, E11 и H11 ); они называются

вырожденными.

Если возбуждать волновод на некоторой частоте, обозначенной на диаграмме fвозб , то в волноводе будут

распространяться лишь волны H10 , H20 , H01 , для которых выполняется условие распространения fкрmn < fвозб . Для всех

остальных волн будет режим отсечки. При уменьшении частоты возбуждения в режим отсечки будут попадать волны H01 , затем H20 , и последней H10 . Отсюда ясно, что

173

лишь для волны H10 можно найти диапазон частот, в

котором она может распространяться без влияния других волн. Поэтому волна H10 называется основной, а все

остальные - высшими.

Диапазон одномодового режима волновода лежит в пределах от fкр основной волны до fкр ближайшего

высшего типа волны. Используя это правило, нетрудно рассчитать геометрические размеры a и b волновода, обеспечивающего передачу электромагнитных волн в заданном диапазоне частот. Надо помнить, что реальный диапазон несколько уже рассмотренного, так как при использовании волновода в режиме, близком к критическому, существенно увеличиваются потери энергии и растёт затухание волны.

В заключение, учитывая особое значение волны H10 ,

охарактеризуем распределение её полей. Аналитические выражения для составляющих поля легко получить из общих выражений (4.2) при m =1, n =0:

фиксированного момента времени при распространении волны вдоль оси z (волновой множитель e− jk z опущен). Электрические силовые линии имеют лишь одну

175

При распространении волн по волноводу на его стенках появляется поверхностный электрический ток, который связан с вектором напряжённости магнитного

→

нормаль к плотности распределения H . Значит, если

→

известна картина распределения силовых линий H исследуемой волны, то построение линий тока на стенках не вызывает затруднений. Эти линии образуют семейство кривых, ортогональное семейству силовых линий магнитного поля (на рис. 4.11 линии тока не показаны). Очевидно, что линии тока всегда должны быть замкнуты.

Вволноводе токи проводимости на стенках замыкаются посредством токов смещения, которые формируются во внутреннем пространстве волновода в направлении оси y .

Вобластях, где токи проводимости близки к нулю, токи смещения принимают максимальные значения. В итоге силовые линии полного тока являются замкнутыми. Распределение тока по стенкам волновода важно знать при конструировании на его основе различных СВЧ-устройств, например, измерительных линий, антенных систем и т.д.

При приближении частоты к критическому значению длина волны в волноводе, т.е. и период поля (см. рис. 4.11)

возрастает до бесконечности, составляющая Hx →0 и

магнитное поле становятся продольными, а колебания во всех точках волновода происходят синфазно. Вектор Пойнтинга для такого режима определяется только составляющими Ey , Hz и будет направлен

перпендикулярно к оси волновода. Это означает, что передача энергии по волноводу не происходит.

176

Волноводы П- и Н-образных сечений. Для передачи электромагнитной энергии высокой частоты в ряде случаев используются волноводы П- (рис. 4.12 а) и Н-образных (рис. 4.12 б) сечений. Эти волноводы представляют собой видоизменённую конструкцию прямоугольного волновода. Их можно рассматривать как прямоугольный волновод, в который введены один - два продольных металлических гребня. Если поперечные размеры волноводов подобрать так, чтобы полоса пропускания их была той же, что и в прямоугольном волноводе, то как П-, так и Н-волновод будут иметь меньшие габариты, чем прямоугольный волновод.

Рисунок 4.12 - Волноводы П- и Н-образных сечений

Основная волна описываемых волноводов является аналогом H10 -волны прямоугольного волновода. В данном

случае поперечные электрические и магнитные поля концентрируются преимущественно в узком зазоре

•

шириной d . Продольная компонента H z относительно невелика. Поле в зазоре близко по структуре к полю T -волны, у которой fкр =0 ( λкр = ∞ ). Поэтому П- и Н-образные волноводы имеют более низкую критическую

177

частоту fкрH10 , чем прямоугольный волновод с теми же

габаритами.

Чем меньше ширина зазора d (см. рис. 4.12), тем выше концентрация поля в зазоре и тем, следовательно, ниже fкр

пропускания П- и Н-волноводов существенно выше полосы пропускания прямоугольного волновода с теми же размерами a и b . Критическая длина волны основного типа рассчитывается по приближённой формуле

λкр ≈π (a −a1 )a1b . Следует, однако, отметить, что d

концентрация электрического поля в узком зазоре и увеличение поверхности стенок приводят к понижению электрической прочности и увеличению потерь в П- и Н-волноводах по сравнению с прямоугольными.

Круглый волновод. Данный волновод представляет собой полую бесконечно протяжённую металлическую трубку с внутренним радиусом R0 . Исходные

предпосылки в рассматриваемом случае остаются теми же, что и при исследовании прямоугольного волновода. При анализе полей в круглом волноводе естественно использовать цилиндрическую систему координат r , α , z , совмещая z с продольной осью волновода.

Путём записи уравнения Гельмгольца (3.40) в цилиндрической системе координат и решения его методом разделения переменных, который использовался выше для прямоугольного волновода, получаем выражение

178

→→

для проекции векторов E и H [22], а также соотношения для критических частот и длин волн:

где αmn – n -й корень функции Бесселя m -го порядка; βmn - n -й корень производной функции Бесселя m -го

порядка;

m =0, 1, 2, … - количество вариаций поля по окружности волновода;

n =0, 1, 2, … - количество вариаций поля вдоль радиуса волновода.

Коэффициенты распространения E - и H -волн имеют следующий вид:

Расчёт длины волны в волноводе, фазовой и групповой скоростей и эквивалентных сопротивлений круглого волновода проводится по формулам (3.43)-(3.46), (3.50), (3.51).

Придавая различные значения индексам m и n , а также, зная значения корней функций Бесселя и их производных, на основании формул (4.6) можно получить значения критических длин волн (критических частот) типа E и H . Анализ значений λкр показывает, что

основной волной круглого волновода является H11 -волна.

Далее критические длины волн располагаются в такой последовательности:

λкрH11 > λкрE01 > λкрH21 > λкрH01 = λкрE11 > λкрH31 > λкрE21 >…,

179

т.е. с ростом частоты за основной волной будут распространяться E01 - и H21 -волны и т.д. Отметим, что

H0n - и E1n -волны круглого волновода попарно

вырождены.

Если выбрать λ в пределах 2.61 R0 < λ <3.41 R0 , то в

круглом волноводе будет распространяться только одна основная H11 -волна. Структура электрического и

магнитного полей этой волны в поперечном сечении волновода показана на рис. 4.13 а. Поскольку у поверхности волновода имеются две отличные от нуля составляющие вектора напряжённости магнитного поля Hα и Hz , им соответствуют составляющие тока

проводимости iz и iα . Распределение суммарной

плотности тока показано на рис. 4.13 б.

Очевидно сходство структуры поля основных волн – H11 в круглом и H10 в прямоугольном волноводах. В связи

с этим один из возможных способов возбуждения круглого волновода - плавный переход от прямоугольного волновода с H10 -волной к круглому (рис. 4.13 в).

Из всех волн высшего типа наибольший интерес представляют E01 - и H01 -волны. Низшим типом среди E -

волн является E01 -волна ( λкр =2.61 R0 ). Она содержит компоненты Ez , Er и Hα . Продольная составляющая Ez

достигает наибольших значений на оси волновода. Структура поля волны E01 приведена на рис. 4.13 г. Поле

волны обладает осевой симметрией, что используется в ряде устройств СВЧ. Так, отрезки круглых волноводов с E01 -волной применяются во вращающихся сочленениях.

H11

в

E01

z

E г H

H01

z

E H

д

Рисунок 4.13 – Примеры структуры поля и токов для различных типов волн в круглом волноводе

Вторая из названных волн – H01 -волна (рис. 4.13 д) – имеет составляющие Hz , Hr и Eα . У стенок волновода при r = r0 отлична от нуля лишь одна составляющая поля