Техническая электродинамика Черенков (Кривець)

то в уравнениях (1.33) величину exp(iωt)можно сократить. В этом случае получим, что комплексные амплитуды векторов электромагнитного поля, т. е.

уравнения вида (1.33) в литературе часто называют уравнениями Максвелла в

комплексной форме.

Нетрудно показать, что четвертое уравнение системы (1.33) является следствием второго уравнения, а третье (для среды без потерь) – первого. В этом случае система уравнений Максвелла сводится к двум уравнениям:

Рассмотрим случай линейной однородной среды, которая характеризуется как электрическими, так и магнитными потерями. Электрическое поле вызывает два вида потерь в среде: потери, обусловленные проводимостью среды (воздействие поля на свободные заряды), и

поляризационные (диэлектрические) потери, связанные с воздействием поля на

которые в общем случае принято записывать в следующем виде:

определяют соответственно электрические и магнитные потери в среде. Рассмотрим частный случай, когда среда характеризуется только

электрическими потерями, обусловленными проводимостью среды. В этом случае µ'= µa , а

где величину tgδ принято называть тангенсом угла потерь среды.

Рассмотрим поведение комплексной диэлектрической проницаемости как функции частоты гармонического процесса ω и удельной проводимости среды σ. Из формулы вида (1.38) следует, что комплексное число ε& всегда лежит в четвертом квадранте комплексной плоскости. В случае идеального диэлектрика (tgδ = 0) ε& лежит на действительной оси, а в случае идеального

проводника (tgδ = ) – на мнимой оси. Естественно считать, что свойства среды близки (по реакции электромагнитного поля на воздействие) к свойствам диэлектрической среды в том случае, если tgδ << 1. Если же tgδ >> 1, то свойства среды близки (по реакции электромагнитного поля на воздействие) к свойствам проводящей среды. Учитывая выше сказанное и тот факт, что tgδ зависит не только от удельной проводимости среды, но и от частоты гармонического

r

вектор & на 90°. Отношение модулей плотностей токов смещения и

E

проводимости определяется параметрами среды и пропорционально частоте:

проводимости больше плотности тока смещения, а в "диэлектрической" среде токи смещения больше плотности тока проводимости. В табл. 1.2 приведены ориентировочные значения параметров сред для ряда технических материалов и естественных сред.

Среду принято считать проводником, если σωε a > 10. В этом случае фаза комплексной диэлектрической проницаемости близка к – 90°. Параметры металлов неизменны только до частот порядка 10 ТГц = 1013 Гц (λ = 30 мкм). Вплоть до оптических частот металлы являются проводниками. К проводникам относятся также естественные среды на низких частотах.

Говоря о реальности электромагнитного поля, подразумевают, что с полем связана энергия. Изменяясь, поле может отдавать энергию какому-либо неэлектромагнитному процессу, а также отбирать энергию. Величину энергии электромагнитного поля, запасённой в некотором объёме V, принято обозначать буквой W. Объемная плотность энергии электромагнитного поля обозначают через w.

Макроскопическая теория поля основана (кроме уравнений Максвелла) на следующих понятиях, устанавливающих связь между векторами поля и его энергетическими характеристиками:

1. Электромагнитная энергия распределена в пространстве с объемной плотностью:

где wэ – объемная плотность энергии электрического поля, а wм – объемная плотность энергии магнитного поля, которые определяются по следующим формулам:

равный по величине плотности ее потока.

Плотность потока энергии равнозначна плотности мощности, т.е. мощности электромагнитной волны, проходящей через единичную площадку, перпендикулярную направлению ее распространения. Размерность вектора Пойнтинга Вт/м2.

Объемная плотность энергии w характеризует состояние электро-

магнитного поля в данной точке пространства, а вектор Пойнтинга Π – волновое движение поля через эту точку. При этом скорость переноса энергии

находятся в конечном объёме V, ограниченном поверхностью S. Тогда для этого

как среднюю за период плотность потока энергии (мощности).

Отделяя в соотношении (1.45) действительную часть и мнимую часть, получаем следующие соотношения:

Соотношение (1.47) является уравнением баланса для средней за период (активной) мощности, а соотношение (1.48) – уравнением баланса реактивной

S

Из формулы (1.47) следует, что средняя за период мощность сторонних источников расходуется на среднюю мощность потерь и среднюю мощность излучения. Сравнив уравнения (1.43) и (1.47), обнаружим отсутствие в (1.47) слагаемого, соответствующего изменению запаса энергии в рассматриваемом объеме. Это объясняется тем, что в гармонически изменяющемся поле средняя плотность энергии в каждой точке неизменна, так как в каждой точке напряженности поля периодически принимают одни и те же значения.

Из формулы (1.48) следует, что реактивная мощность сторонних источников «складывается» из реактивной мощности излучения (реактивный поток энергии через границу S) и величины, пропорциональной разности средних за период энергий магнитного и электрического полей, запасенных в рассматриваемом объеме.

Скорость волны в линейной среде, как и скорость света, не зависит от интенсивности полей; следовательно, она одинакова во всех точках и неизменна в течение периода колебания. Поэтому из формулы (1.42) следует, что

где wср – средняя объемная плотность энергии волны, которая складывается из средней объемной плотности электрической wэср и магнитной wмср энергии. При этом

Из формулы (1.50) следует, что энергетическая скорость гармонической волны равна отношению среднего вектора Пойнтинга к средней объемной плотности энергии волны.

сопротивление среды являются вещественными величинами и соответственно равны

Перейдем во временную область, т.е. найдем действительные векторы монохроматического поля, соответствующие комплексным амплитудам (2.5) и

Выражения (2.7) и (2.8) и определяют (описывают), как будет видно из их анализа, так называемую плоскую электромагнитную волну в свободном пространстве без потерь. Проанализируем формулы (2.7) и (2.8).

1.Векторы E и H перпендикулярны друг другу.

2.Рассмотрим E и H для фиксированного момента времени. Пусть t = 0,

тогда векторыE и H зависят только от пространственной координаты z

(см. рис. 2.1).

Для другого момента времени t0 > 0 «картина», представленная на рис. 2.1, переместится вдоль оси z на некоторое расстояние. Таким образом, с течением времени рассматриваемая «картина» распространяется вдоль оси z, т.е. формулы (2.7) и (2.8) описывают волновой процесс (волну) в безграничной среде.

x

E

Рисунок 2.1 – Поведение векторов электромагнитного поля плоской волны

формулу (1.39). При этом получим, что среднее значение объемной плотности энергии волны описывается следующим выражением:

Из последнего выражения следует, что в среде без потерь плоская электромагнитная волна переносит энергию вдоль оси z (перпендикулярно фронту волны) со скоростью света v0.

2.3. Плоские электромагнитные волны в среде с тепловыми потерями

Рассмотрим случай когда в среде имеются только тепловые потери, т.е.

когда σ ≠ 0, µ& = µa , а ε& = εa (1 − i tg δ).

В этом случае комплексные амплитуды векторов плоской волны описываются формулами (2.1) и (2.2). Найдем для рассматриваемого случая комплексное волновое число и комплексное волновое сопротивление среды. Для дальнейшего удобно комплексное волновое число представить в алгебраической, а комплексное волновое сопротивление в показательной форме.

Используя формулы (2.4), получаем: