Стох ДУ - Няшин / Алексеев А.С. - Найдено / Леваков А. А. - Стохастические дифференциальные уравнения

s τ˜n

Аналогичными рассуждениями доказывается, что для любых фиксированных i, j {1, . . . , d} имеет место равенство

Из соотношений (2.55), (2.66), (2.67) получаем равенство

Eh(zm(t)) − h(zm(s))−

111

Отсюда и из предложения 1.27 следует, что для каждого m = 1, 2, . . .

процесс h(z(t ηm)) − h(z(0))−

является (Ft)-мартингалом.

˜

Матрица b(t, ω) является симметрической неотрицательной. Представим ее в виде

˜ >

b(t, ω) = Q(t, ω)D(t, ω)Q (t, ω),

где Q(t, ω) – ортогональная матрица, D(t, ω) диагональная матрица с неотрицательными элементами, при этом все компоненты матриц Q(t, ω), D(t, ω) измеримые (Ft)-согласованные процессы. Пусть

p

u˜(t, ω) = Q(t, ω) D(t, ω), тогда выполняется включение

112

ция f1(t, x1, x2) = r(x1) + tx22 непрерывна по x2. Возьмем первую строку матрицы g и найдем, что множество H3c(1) пусто, поэтому

F10(t, x1, x2) = col(f1(t, x1, x2), 0). Компонента f2(t, x1, x2) = −r(x2)

непрерывна по x1. Берем вторую строку матрицы g. Видим, что в

этом случае H3c(2) = {(t, x2)|t R+, x2 R}. По правилу (L)

F20(t, x1, 0) = col(0, [−1, 1]), F20(t, x1, x2) = col(0, −r(x2)), если x2 6= 0.

Таким образом, F0(t, x1, x2) = col(r(x1) + tx22, −r(x2)), если x2 6= 0, и F0(t, x1, 0) = col(r(x1) + tx22, [−1, 1]). Теорема 2.2 не применима к рас-

сматриваемой системе, но для любой вероятности ν на (R2, β(R2)), согласно теореме 2.3, система имеет β-слабое решение c начальным распределением ν.

2.4. Сильное и слабое существование, потраекторная и слабая единственность

для стохастических дифференциальных уравнений

ивключений

Впредыдущих параграфах приведены определения β-слабого и слабого решений ССДУ и доказаны соответствующие теоремы существования. В данном параграфе аналогичные определения вводятся для стохастических дифференциальных включений, а также даются определения сильного и слабого существования, потраекторной и слабой единственности как для стохастических дифференциальных уравнений, так и для включений. Доказаны соответствующие теоремы существования и единственности, а также теорема об отсутствии взрывов

урешений СДВ.

Пусть заданы измеримые по Борелю многозначные отображения F : R+ × Rd → cl (Rd), G : R+ × Rd → cl (Rd×d). Рассмотрим стохастическое дифференциальное включение

113

Определение 2.4. Под слабым решением включения (2.68) понимаем случайный процесс x(t), определенный на некотором вероятностном пространстве (Ω, F, P ) с потоком Ft такой, что:

1) существует (Ft)-момент остановки e, что процесс x(t)1[0,e[(t) является (Ft)-согласованным, имеет непрерывные траектории при t < e п. н. и lim sup kx(t)k = +∞, если e < ∞;

(µ × P )-почти всех (t, ω) R+ × Ω выполняются включения

v(t, ω)1[0,e[(t) F (t, x(t, ω))1[0,e[(t),

u(t, ω)u>(t, ω)1[0,e[(t) A(t, x(t, ω))1[0,e[(t);

4) с вероятностью 1 для всех t [0, e[ имеет место равенство

tt

ZZ

x(t) = x(0) + v(s)ds + u(s)dW (s).

00

Момент остановки e в этом определении называют моментом взрыва слабого решения x(t), и если e = ∞ п. н., то будем говорить, что у этого решения отсутствуют взрывы.

Определение 2.5. Говорят, что для включения (2.68) имеет место слабое существование (или включение обладает свойством слабого существования), если для любой вероятности ν на (Rd, β(Rd)) существует слабое решение x(t) включения (2.68) с начальным распределением ν, т. е. P (x(0) A) = ν(A) A β(Rd).

Определение 2.6. Слабое решение x(t) называется сильным решением, если процесс x(t) является согласованным с пополненным потоком σ-алгебр, порожденным броуновским движением W (t) и случайным вектором x(0).

Определение 2.7. Говорят, что для включения (2.68) имеет место слабая единственность (или включение обладает свойством слабой единственности), если для любых двух слабых решений x и x¯ с одинаковыми начальными распределениями на (Rd, β(Rd)) совпадают законы распределения для x и x¯ на (C(R+, Rd), β(C(R+, Rd))).

114

Вышеприведенное определение эквивалентно следующему: включение (2.68) обладает свойством слабой единственности, если для любых двух слабых решений x и x¯ включения (2.68) таких, что x(0) = = x¯(0) = x0 Rd, совпадают законы распределения для x и x¯ на

(C(R+, Rd), β(C(R+, Rd))) [8, c. 153].

Введенное определение слабой единственности применимо к включениям, у решений которых отсутствуют взрывы. Для включений со взрывами используют следующее определение локальной слабой единственности. Пусть r R+. Переопределим функции, входящие во

включение (2.68) обладает свойством локальной слабой единственности.

Определение 2.8. Говорят, что для включения (2.68) имеет место сильное существование (или включение обладает свойством сильного существования), если для любого вероятностного пространства (Ω, F, P ), для любого потока Ft, для любого (Ft)-броуновского движения W (t) и любого (F0, β(Rd))-измеримого случайного вектора η, независимого от броуновского движения W (t), существует случайный процесс x(t), x(0) = η п. н., определенный на вероятностном пространстве (Ω, F, P ), удовлетворяющий условиям 1),3),4) из определения 2.4.

Рассмотрим теперь стохастическое дифференциальное включение

с измеримыми по Борелю многозначным отображением F : R+ ×Rd → → cl (Rd) и отображением g : R+ × Rd → Rd×d.

Определение 2.9. Под слабым решением включения (2.69) понимаем случайный процесс x(t), определенный на некотором вероятностном пространстве (Ω, F, P ) с потоком Ft, удовлетворяющий условиям 1) и 2) определения 2.4 и такой, что

115

ние обладает свойством потраекторной единственности), если для любых двух слабых решений (x(t), Ω, F, P, Ft, v(t), W (t), e) и (¯x(t), Ω, F, P, Ft, v¯(t), W (t), e¯), заданных на одном и том же вероятностном пространстве с одним и тем же потоком и с одним и тем же броуновским движением, из равенства x(0) = x¯(0) п. н. следует,

где f : R+ × Rd → Rd и g : R+ × Rd → Rd×d измеримые по Борелю отображения.

Если в определениях 2.5 2.7 и 2.10 вместо слабых решений включения (2.68) использовать слабые ( β-слабые) решения уравнения (2.70), то приходим к определениям слабого ( β-слабого) существования, сильного ( β-сильного) решения, потраекторной ( β-потраек- торной) и слабой единственности ССДУ (2.70). Если в определении 2.8 в условии 3) вместо отображений F (t, x) и A(t, x) поставить соответствующие многозначные отображения из определения β-слабых решений уравнения (2.70), то приходим к определению β-сильного существования ССДУ. Если в определении 2.8 условия 3) и 4) заменить следующим условием 5): с вероятностью 1 для всех t [0, e(ω)[ имеет место равенство

то приходим к определению сильного существования ССДУ (2.70).

116

Предложение 2.1 (принцип Ямады Ватанабэ [8, c. 154]). Если для любой борелевской меры ν на (Rd, β(Rd)) существу-

ет слабое решение включения (2.69) (уравнения (2.70)) с начальным распределением ν и включение (2.69) (уравнение (2.70)) обладает свойством потраекторной единственности, то для этого включения (уравнения) имеет место сильное существование и любое слабое решение является сильным.

Теорема 2.4 (о слабом существовании для СДВ). Если многозначные отображения F и G измеримы по Борелю и локально огра-

ничены; отображения F и G полунепрерывны сверху на множестве D; F (t, x) conv(Rd), A(t, x) conv(Rd×d) (t, x) D,

то включение (2.68) обладает свойством слабого существования.

=(t, x) для любой открытой окрестности U(t, x) точки (t, x) ин-

= g0(t, x), если (t, x) (R+ × Rd) \ D1. По теореме 2.3 для любой

117

заданной вероятности ν на (Rd, β(Rd)) уравнение (2.71) имеет β- слабое решение (x(t), W (t), Ω, F, P, Ft, u0(t), v0(t), e) такое, что P x(0) = = ν. Из полунепрерывности сверху на множестве D отображений F, A и из принадлежности их значений соответственно множествам conv(Rd), conv(Rd×d)) вытекает, что

а из определения β-слабых решений уравнения (2.71) следует, что для почти всех (t, ω) R+ × Ω справедливы включения

(x(t), W (t), Ω, F, P, Ft, u0(t), v0(t), e) слабое решение включения (2.68).

Теорема 2.5. Если многозначные отображения F и G измеримы по Борелю и локально ограничены; существует ε > 0 такое,

что отображения F и A полунепрерывны снизу на множестве [D]ε;

F (t, x) conv(Rd), A(t, x) conv(Rd×d) (t, x) [D]ε, то включение (2.68) обладает свойством слабого существования.

f¯(t, x), a¯(t, x) непрерывные селекторы соответственно отображений

F : [D]ε → conv(Rd), A : [D]ε → conv(Rd×d). Существование селекторов f¯(t, x), a¯(t, x) вытекает из предложения 1.41, а селекторов f¯(t, x), a¯(t, x) из теоремы Майкла (предложение 1.44). Пусть

Представим матрицу a1 в виде a1 = T1Λ1T1>, где T1 ортогональная

118

Коэффициенты уравнения (2.74) удовлетворяют условиям теоремы 2.2, поэтому для любой заданной вероятности ν на (Rd, β(Rd)) уравнение (2.74) имеет слабое решение x(t) такое, что P x(0) = ν, которое является также и слабым решением включения (2.68). Теорема 2.5 доказана.

Пусть многозначное отображение F : R+ × Rd → cl (Rd) и отоб-

фиксированном m .

Теорема 2.6 (о потраекторной единственности слабых решений СДВ). Если многозначное отображение F : R+×Rd → cl (Rd) и отображение g : R+×Rd → Rd×r удовлетворяют условию E) и для любых m R+ и T R+ выполняется неравенство

T

Z

sup (α(F (t, x), 0) + kg(t, x)k2 dt < ∞,

kxk6m

0

то включение (2.69) обладает свойством потраекторной единственности слабых решений.

Доказательство. Предположим, что включение (2.69) имеет два слабых решения (x1(t, ω), v1(t, ω), e1(ω)) и (x2(t, ω), v2(t, ω), e2(ω)),

определенных на одном и том же вероятностном пространстве с одним и тем же потоком, соответствующих одному броуновскому движе-

119

t [0, σm1 [ п. н. при всех m R+. По формуле Ито для любого TR+ выполняется равенство

ψ(t T σm1 σm2 , m)V (x1(t T σm1 σm2 ) − x(t T σm1 σm2 )) =

t T σm1 σm2

Z

=ψ(s, m) Vx0(x1(s) − x3(s))(v1(s) − v2(s))−

0

1 00

−k(s, m)V (x1(s) − x2(s)) + 2tr(Vx2 (x1(s) − x2(s))×

×(g(s, x1(s)) − g(s, x2(s))(g(s, x1(s)) − g(s, x2(s))>) ds+

При каждых m R+, T R+ из (2.75), используя условие E), для любого момента остановки τ 6T σm1 σm2 , имеем E(ψ(τ, m)V (x1(τ, ω)−

Если V (x) = x2, x R, то для любых m R, z R, y

120