Тема 1. Вероятностные пространства, случайные величины и случайные процессы. Стохастические аналоги классических дифференциальных уравнений.
Тема 2. Задачи фильтрации: Одномерная линейная задача фильтрации. Многомерная линейная задача фильтрации.
Тема 3. Стохастический подход к детерминированным краевым задачам. Стохастическое управление. Оптимальная остановка. Стохастическое управление. Финансовая математика.
Тема 4. Интеграл Ито и его свойства. Построение интеграла Ито. Обобщения интеграла Ито. Сравнение интегралов Ито и Стратоновича.
Тема 5. Мартингалы и их применение: Формула Ито и теорема о представлении мартингалов. Формула Ито для одномерного случая. Многомерная формула Ито. Теорема о представлении мартингала.
Тема 6. Стохастические дифференциальные уравнения и их решения. Примеры и некоторые методы решения. Существование и единственность решения. Слабые и сильные решения.
Тема 7. Диффузионные процессы и их свойства. Марковское свойство. Строго Марковское свойство. Граничное распределение, гармоническая мера и свойство среднего значения, производящий оператор диффузионного процесса Ито. Формула Дынкина. Характеристический оператор.
Тема 8. Диффузионные процессы и их свойства. Марковское свойство. Строго Марковское свойство. Граничное распределение, гармоническая мера и свойство среднего значения, производящий оператор диффузионного процесса Ито. Формула Дынкина. Характеристический оператор. Обратное уравнение Колмогорова. Резольвента. Формула Фейнмана - Каца. Задача о мартингале. Теорема Гирсанова.
Тема 9. Приложение к краевым задачам: Смешанная задача Дирихле - Пуассона. Единственность. Задача Дирихле. Регулярные точки. Стохастическая задача Дирихле. Обобщенная задача Дирихле. Обобщенная задача Пуассона. Мера Грина.
Тема 10. Приложение к задаче оптимальной остановке: случай однородных процессов. Функция вознаграждения, допускающая отрицательные значения. Случай неоднородных процессов. Задача об оптимальной остановке, включающей интеграл. Связь с вариационными неравенствами.
Тема 11. Приложение к задаче стохастического управления: постановка задачи. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Задачи стохастического управления с терминальными условиями.
Планы семинарских занятий (семестр 2.)
Тема 1. Вероятностные пространства, случайные величины и случайные процессы. Стохастические аналоги классических дифференциальных уравнений.
Тема 2. Задачи фильтрации.
Тема 3. Стохастический подход к детерминированным краевым задачам. Оптимальная остановка. Финансовая математика.
Тема 4. Интеграл Ито и его свойства. Обобщения интеграла Ито.
Тема 5. Мартингалы и их применение.
Тема 6. Стохастические дифференциальные уравнения и их решения.
Тема 7. Диффузионные процессы и их свойства. Марковское свойство. Формула Дынкина. Характеристический оператор. Обратное уравнение Колмогорова. Формула Фейнмана – Каца. Задача о мартингале. Теорема Гирсанова.
Планы семинарских занятий (семестр 3).
Тема 8. Приложения к краевым задачам: Смешанная задача Дирихле – Пуассона. Стохастическая задача Дирихле. Обобщённые задачи Дирихле и Пуассона. Мера Грина.
Тема 9. Приложения к краевым задачам: Смешанная задача Дирихле – Пуассона. Стохастическая задача Дирихле. Обобщённые задачи Дирихле и Пуассона. Мера Грина.
Тема 10. Приложения к задаче об оптимальной остановке: В случаях однородных и неоднородных процессов.
Тема 11. Приложение к задаче стохастического управления: Постановка задачи. Уравнение Гамильтона – Якоби – Беллмана. Задача стохастического управления с терминальными условиями.
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)
Примерные задания для контрольных работ
1). Для одномерного скалярного Броуновского движения, выходящего из точки
х=0, записать плотность распределения. Вычислить его дисперсию и
получить корреляционную функцию в моменты времени t1 и t2.
2). Найти характеристическую функцию одномерного Броуновского процесса,
и
определить:E(Вt),
и с помощью этой формулы найти
3). Из определения Интеграла Ито получить формулу:
4). Преобразовать дифференциальные уравнения Ито в дифференциальное уравнение Стратоновича:
Примерные вопросы для подготовки к зачету (семестр 2).
1. Стохастический подход к детерминированным краевым задачам: Стохастическое управление. Примеры.
2. Стохастический подход к детерминированным краевым задачам:
Оптимальная остановка. Примеры.
3. Задачи фильтрации: Одномерная линейная задача фильтрации. Примеры.
4. Задачи фильтрации: Многомерная линейная задача фильтрации. Примеры.
5. Интеграл Ито и его свойства. Построение интеграла Ито. Примеры.
6. Обобщения интеграла Ито. Сравнение интегралов Ито и Стратоновича.
Примеры.
7. Мартингалы и их применение: Формула Ито и теорема о представлении
мартингалов. Примеры.
8. Формула Ито для многомерного случая. Многомерная формула Ито. Примеры.
9. Стохастические дифференциальные уравнения и их решения. Примеры и
некоторые методы решения.
10. Стохастические дифференциальные уравнения: Существование и
единственность решения. Слабые и сильные решения. Примеры.
11. Приложения к задаче об оптимальной остановке: В случаях однородных и
неоднородных процессов. Примеры.
12. Приложение к задаче оптимальной остановке: Функция вознаграждения,
допускающая отрицательные значения. Задача об оптимальной остановке,
включающей интеграл. Связь с вариационными неравенствами.
Примерные вопросы для подготовки к экзамену (семестр 3).
1. Стохастические аналоги классических дифференциальных уравнений. Примеры.
2. Задачи фильтрации: одномерная и многомерная задачи фильтрации. Примеры.
3. Оптимальная остановка и стохастическое управление. Примеры.
4. Интеграл Ито: Построение интеграла Ито. Обобщённый интеграл Ито. Примеры.
5. Мартингалы и их применение. Примеры.
6. Стохастические дифференциальные уравнения: Методы решения. Сильные и слабые решения. Примеры.
7. Приложение к краевым задачам: Смешанная задача Дирихле - Пуассона.
Пример.
8. Задача Дирихле. Регулярные точки. Стохастическая задача Дирихле. Примеры.
9. Обобщенная задача Дирихле. Обобщенная задача Пуассона. Мера Грина.
Примеры.
10. Приложения к задаче об оптимальной остановке: В случаях однородных и
неоднородных процессов. Примеры.
11. Приложение к задаче оптимальной остановке: Функция вознаграждения,
допускающая отрицательные значения. Задача об оптимальной остановке,
включающей интеграл. Связь с вариационными неравенствами. Примеры.
12. Диффузионные процессы и их свойства. Марковское свойство.
Строго Марковское свойство. Примеры.
13. Граничное распределение, гармоническая мера и свойство среднего значения,
производящий оператор диффузионного процесса Ито. Примеры.
14. Формула Дынкина. Характеристический оператор. Примеры.
15. Обратное уравнение Колмогорова. Резольвента. Примеры.
16. Формула Фейнмана - Каца. Задача о мартингале. Теорема Гирсанова. Примеры.
17. Приложение к задаче стохастического управления: Постановка задачи.
Уравнение Гамильтона – Якоби – Беллмана. Примеры
18. Приложение к задаче стохастического управления: Задача стохастического
управления с терминальными условиями. Примеры.
Образовательные технологии
При изучении дисциплины «Стохастические дифференциальные уравнения» используются следующие образовательные технологии:
– аудиторные занятия (лекционные и семинарские занятия);
– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Стохастические дифференциальные уравнения» предусматривается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:
– семинарские занятия с докладами студентов;
– компьютерное моделирование и практический анализ результатов;
– научные дискуссии;
– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)
Основная литература
Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: «АСТ», 2008. – 407 с.
Липцер Р. Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. – М.: Наука, 1986.
Миллер Б. М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. – М.: Физматлит, 2012.
Дополнительная литература
1. Гихман И.И.,Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. – М.: Наука,
1977.
2. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. – М.: Наука, 2002.
3. Гихман И.И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их
приложения. Киев: Наукова думка, 1982.
4 Пугачёв В.С., Синицын И. Н. Теория случайных процессов. – М.: Наука, 1999.
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием, аудитория для семинарских занятий.