РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

Министерство образования и науки

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, естественных наук и информационных технологий

Кафедра математического моделирования

Няшин А.Ф.

Стохастические Дифференциальные уравнения

Учебно-методический комплекс.

Рабочая программа для студентов направления 010100.68 «Математика»,

магистерская программа «Математическое моделирование»,

очная форма обучения

Тюменский государственный университет

2011

Няшин А.Ф. Стохастические дифференциальные уравнения. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010100.68 «Математика», магистерская программа «Математическое моделирование», очная форма обучения. Тюмень, 2011 г., 17 стр.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.

Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Стохастические дифференциальные уравнения. [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.

Ответственный редактор: зав. Кафедрой математического моделирования, д.Ф.-м.Н., профессор Татосов а.В.

© Тюменский государственный университет, 2011.

© А.Ф. Няшин, 2011.

1. Пояснительная записка

1. Цели и задачи дисциплины

Цель курса: показать студентам, как можно решать дифференциальные уравнения для случайных процессов с помощью интеграла Ито и другими методами. Применение дифференциальных стохастических уравнений в практических приложениях.

Задачи курса: помочь обучающемуся решать стохастические дифференциальные уравнения в типических задачах, овладеть существующими методами исследования протекания случайных процессов.

Место дисциплины в структуре ООП магистратуры

Дисциплина «Стохастические дифференциальные уравнения» – это дисциплина по выбору, которая входит в вариативную часть профессионального цикла.

Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения дисциплин ООП бакалавриата. Освоение дисциплины «Стохастические дифференциальные уравнения» необходимо для написания выпускной квалификационной работы.

2. Требования к результатам освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины выпускник должен обладать следующими общекультурными и профессиональными компетенциями:

способностью работать самостоятельно, заботой о качестве, стремлением к успеху (ОК-6);

самостоятельный анализ физических аспектов в классических постановках математических задач (ПК-4);

умение ориентироваться в современных алгоритмах компьютерной математике, совершенствовать, углублять и развивать математическую теорию, лежащую в их основе (ПК-7);

В результате освоения дисциплины обучающийся должен

● Знать:

– основные модели развития случайных процессов;

– определения и свойства математических объектов в этой области;

– формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложения.

● Уметь:

– решать стохастические дифференциальные уравнения;

– приводить реальные задачи к математическим моделям, использующих стохастические дифференциальные уравнения.

● Владеть

– приемами и методами решения стохастических дифференциальных уравнений.

2. Трудоемкость дисциплины.

Таблица 1.

Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
		1	2	3	4
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:	-	-	-	-	-
Лекции	36		18	18
Семинары (С)	36		18	18
Самостоятельная работа (всего)	108		54	54
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)			зачёт	экзамен
Общая трудоемкость час зач. ед.	180		90	90
	5

3. Тематический план

Таблица 2.

№	Тема	недели семестра	Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.			Итого часов по теме	Из них в интерактивной форме	Формы контроля
			Лекции	Семинарские (практические) занятия	Самостоятельная работа
	Второй семестр
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	Вероятностные пространства, случайные величины и случайные процессы. Стохастические аналоги классических дифференциальных уравнений.	1-3	2	2	6	8	2	контрольная работа №1
2	Задачи фильтрации.	3-5	2	2	6	12	2
3	Стохастический подход к детерминированным краевым задачам. Стохастическое управление.	5-7	2	2	6	10		контрольная работа №1
4	Интеграл Ито и его свойства. Обобщения интеграла Ито.	7-9	2	2	6	10	2	контрольная работа №1
5	Мартингалы и их применение.	10-11	2	2	6	10	2
6	Стохастические дифференциальные уравнения и их решения.	12-13	2	2	6	10	2
7	Задачи фильтрации: Одномерная задача фильтрации, многомерная задача фильтрации.	14-15	2	2	6	10	3	контрольная работа №2
8	Диффузионные процессы и их свойства. Марковское свойство. Формула Дынкина. Характеристический оператор.	15-16	2	2	3	7	3	контрольная работа №2
9	Диффузионные процессы: Обратное уравнение Колмогорова. Формула Фейнмана – Каца. Задача о мартингале. Теорема Гирсанова.	17-18	2	2	9	13		контрольная работа №2
	Итого:		18	18	54	90	16
	Из них в интерактивной форме		8	8			16
№	Тема	недели семестра	Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.			Итого часов по теме	Из них в интерактивной форме	Формы контроля
			Лекции	Семинарские (практические) занятия	Самостоятельная работа
	Третий семестр
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	Приложения к краевым задачам: Смешанная задача Дирихле – Пуассона. Стохастическая задача Дирихле. Обобщённые задачи Дирихле и Пуассона. Мера Грина.	1-4	4	4	12	20	4	контрольная работа №3
2	Приложения к задаче об оптимальной остановке: В случаях однородных и неоднородных процессов.	5-8	4	4	12	20	8	контрольная работа №3
3	Приложения к задаче об оптимальной остановке: задача об оптимальной остановке, включающая интеграл. Связь с вариационными неравенствами.	9-13	4	4	15	23	8	контрольная работа №3
4	Приложение к задаче стохастического управления: Постановка задачи. Уравнение Гамильтона – Якоби – Беллмана. Задача стохастического управления с терминальными условиями.	14-18	6	6	15	27	4	контрольная работа №3
	Итого:		18	18	54	90	24
	Из них в интерактивной форме		8	16			24

Таблица 3.