Построение шкалы отношения а-квазиэквивалентности как алгоритм анализа данных
В предыдущем разделе была представлена теоретическая база для исследования взаимосвязей образцов данных. Рассмотрим обобщенный алгоритм анализа данных с использованием отношения а-квазиэквивалентности и шкалы данного отношения.
Об использовании шкалы а-квазиэквивалентности для анализа данных
Шкала а-квазиэквивалентности, построенная при помощи описанного алгоритма и представленная в виде упорядоченной по возрастанию последовательности, порождает семейство отношений эквивалентности. Каждое из данных отношений соответствует своему уровню а-квазиэквивалентности, причем важным свойством данных отношений эквивалентности является то, что выбор каждого последующего уровня а-квазиэквивалентности (и соответствующего отношения эквивалентности) порождает более детальное разбиение множествах Это "более детальное разбиение" получается разбиением классов эквивалентности, полученных при использовании предыдущего уровня а-квазиэквивалентности.
С другой стороны, чем меньше уровень а-квазиэквивалентности, тем меньше классов эквивалентности получается, и наоборот. Чем больше разность между соседними уровнями а-квазиэквивалентности, тем лучше обособлены кластеры точек.
Проиллюстрируем данные выводы примерами.
Примеры анализа данных при помощи шкалы а-квазиэквивалентности
В примерах используются двумерные образцы данных для достижения большей наглядности результатов анализа.
ПРИМЕР 1. Типичный набор данных для кластеризации.
Этот пример призван показать, что предложенный механизм анализа данных справляется с задачами, на которые ориентированы алгоритмы нечеткой кластеризации, подразумевающие некоторую заданную форму кластеров.
Дано: множество точек X = {x 1 …xI8} (табл. 7.3).
Таблица 7.3
Графически образцы данных из множества X можно представить точками на плоскости (рис. 7.12).
Покажем, как шкала а-квазиэквивалентности разбивает множество Х на классы эквивалентности.
Рис. 7.12. Входные данные для примера 1
Матрица евклидовых расстояний между точками будет выглядеть следующим образом (табл. 7.4).
Матрица отношения сходства образцов данных на множестве X выглядит следующим образом (табл. 7.5).
Матрица отношения а-квазиэквивалентности выглядит следующим образом (табл. 7.6). На основании последней таблицы получаем шкалу отношения а-квазиэквивалентности и соответствующие классы эквивалентности (табл. 7.7).
Данный набор разбиений в соответствии с уровнями отношения а-квазиэквивалентности удобно проиллюстрировать на рис. 7.13.