7.4. Кластеризация данных при помощи нечетких отношений

7.4.1. Анализ свойств нечетких бинарных отношений применительно к анализу данных

Отношения и свойства отношений

Рассмотрим набор непустых множество Х0,...,Х_к.

четких множеств дает обобщение характеристической функции множества, которая носит название функции принадлежности. В теории нечетких множеств элемент универсального множества принадлежит заданному множеству X с определенной степенью принадлежности, принимающей значения из интервала [0, 1]. Обобщая изложенное, можно записать:

Важным аспектом в теории нечетких множеств является обобщение свойств Отношений для случая нечетких множеств. Напомним определения свойств отношений, которые даются в классической теории множеств (обратите внимание, что определения даются для гомогенных бинарных отношений

Замечание 3. Хотя свойства симметричности и антисимметричности обладают взаимоисключающим характером, т. е. отношение не может быть одновременно симметричным и антисимметричным, тем не менее, отношение может одновременно не обладать ни одним из указанных свойств.

Определение 9 — толерантность. Отношение R называют отношением толерантности, если оно рефлексивно и симметрично.

Определение 10— эквивалентность. Отношение R называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Определение 11 — частичный порядок. Отношение R называется отношением частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Определение 12— полный порядок. Отношение R называется отношением полного порядка, если оно является отношением частичного порядка и при этом (х, x₂)eR либо (х₂, x)eR для Vx, ,х₂ е X .

Свойства нечетких отношений.

Обобщим данные свойства гомогенных бинарных отношений для случая нечетких отношений, т. е. ReF(x²).

Определение 13 — нечеткая рефлексивность и антирефлексивность.

Замечание 4.! Исходя из подобного определения нечеткого отношения рефлексивности можно записать следующее выражение, описывающее взаимо­связь свойств рефлексивности и антирефлексивности нечетких отношений на множестве X:

То есть, являясь в какой-то степени рефлексивным, отношение в то же время является и антирефлексивным, и наоборот.

Определение 14 — нечеткая симметричность и антисимметричность.

•

Замечание 5.! Исходя из подобного определения нечеткого отношения рефлексивности можно записать следующее выражение, описывающее взаимосвязь свойств рефлексивности и антирефлексивности нечетких отношений на множестве X.

То есть, являясь в какой-то степени симметричным, отношение в то же время является и антисимметричным, и наоборот.

Замечание 6.! (о нечетком отношении толерантности). Поскольку отношение толерантности должно включать в себя нечеткое отношение симметричности и нечеткое отношение рефлексивности, возможны различные варианты отношения толерантности - от минимально заданного до варианта, существующего в классической теории множеств. Учитывая определения 13 и 14, можно построить целое семейство нечетких отношений толерантности, которые будут получаться не только комбинированным включением в определение различных вариантов свойств рефлексивности и симметричности, но и взаимным отношением параметров, используемых в соответствующих определениях. В данном семействе будут присутствовать отношения толерантности различной степени четкости, тем не менее, с точки зрения данной работы, особый интерес будет представлять следующий вид нечеткого отношения толерантности.

Определение— нечеткая а-толерантность. Нечеткое отношение R, обладающее свойствами четкой рефлексивности и нормальной асимметричности, назовем нечетким отношением альфа-толерантности.

Напомним свойства отношения нечеткой альфа -толерантности, которые получаются из свойств отношений четкой рефлексивности и нечеткой нормальной асимметричности:

Замечание 7.! Поскольку отношение толерантности имеет смысл нетранзитивного подобия, оно является особенно ценным в задаче первичного анализа данных, т. к., с одной стороны, устанавливаются степени схожести данных, а с другой — не требуется транзитивность, которая превращает отношение толерантности в отношение эквивалентности, что в случае нечеткого анализа накладывает слишком жесткие условия на взаимосвязь данных, о которых по постановке задачи ничего неизвестно. Выбор именно такого варианта нечеткого отношения толерантности обусловлен следующими объективными допущениями:

• каждый экземпляр исследуемых данных полностью подобен самому себе;

• степень подобия элемента а элементу b равна степени подобия элемента b элементу а.

Покажем, как построить подобное отношение на множестве исследуемых данных. Для начала определимся с понятием входных данных, которое используется в поставленной задаче.