48

непрерывными. В качестве критерия оптимальности рассматривается функционал Майера

, (3.1)

где t₁ – заданное конечное время управления. В рассматриваемом случае начальное состояние считается заданным, а - свободным, т.е. рассматривается задача со свободным правым концом.

Если в вариационном исчислении минимум отыскивается среди близких кривых сравнения ( - малые по мере или ), то в принципе максимума вариации управления могут быть конечными, но из заданной области.

Вводится понятие игольчатой вариации

здесь не малые, но влияние на управляемое движение малое, т.е. , обусловленное воздействием мало в силу малости времени его воздействия . Малым будет и приращение функционала. Использование игольчатых вариаций позволяет получить более сильные условия - необходимые условия абсолютного минимума (максимума).

3.2. Формулировка принципа максимума.

Вводится функция

, (3.2)

где - правые части уравнений движения (1.1), - множители Лагранжа, удовлетворяющие уравнениям

(3.3)

с граничными условиями

(3.4)

Исходная система (1.1), (1.2) может быть представлена в виде

, (3.5)

, (3.6)

- заданные величины.

В соответствие с (3.1) – (3.5) функция при фиксированных является функцией управления и ее можно исследовать на минимум или максимум.

Будем говорить, что удовлетворяет условию максимума функции H если при фиксированных для любого времени t выполняется условие

(3.7)

Тогда справедливо следующее утверждение.

Если управление доставляет минимум (максимум) функционалу (3.1), то оно удовлетворяет условию максимума (минимума) (3.7), где определяются из системы уравнений (3.3), (3.4), (3.5), (3.6) при управлении , найденном из условия максимума (3.7).

Из формулировки принципа максимума следует, что принцип максимума является необходимым условием абсолютного минимума. Принцип максимума сформулирован академиком Понтрягиным Л.С.

Принцип максимума позволяет получить замкнутую систему уравнений (3.2) – (3.7) для определения оптимального управления и соответствующего ему решения.

Следует отметить, что в соответствие с принципом максимума задача минимизации функционала сводится к задаче минимизации функции и решению краевой задачи.

Замечание 1. В том случае, когда время не фиксировано, полученная система соотношений принципа максимума должна быть дополнена условием трансверсальности, которое имеет вид

,

которое используется для определения оптимального времени процесса .

Замечание 2. В общем случае принцип максимума дает необходимые условия абсолютного минимума (максимума). Можно доказать, что в случае линейных систем с линейным или квадратичным функционалом принцип максимума дает и достаточные условия оптимальности.

Замечание 3. В том случае, когда конечные значения заданы (правый конец несвободен) допустимыми являются не все возможные функции , а только те из них, которые приводят траекторию в заданное состояние. Поэтому из доказательства принципа максимума со свободным правым концом не следует его справедливость для систем с фиксированными концами. Тем не менее оказывается, что условия принципа максимума выполняются и в этом случае, за исключением граничных условий для множителей Лагранжа.

Пример 1. Пусть уравнение движения имеет вид

(3.8)

и минимизируется

, где - некоторое заданное время. В данном случае

,

(3.9)

Из условия стационарности

,

следует

. (3.10)

Таким образом, решение сводится к краевой задаче (3.8), (3.9), (3.10) для определения , и соответствующих . Окончательное суждение об оптимальности найденного управления можно сделать по знаку второй производной . В нашем случае

.

Если , найденное управление доставляет минимум .

Пример 2. Пусть уравнение движения имеет вид

- задано

Вводя новую переменную

перейдем от задачи Лагранжа к задаче Майера

.

В этом случае

,

где и удовлетворяют системе управлений с граничными условиями

;

.

Оптимальное управление находится из условия максимума функции H по u. Из условия

находим

Так как , то , а - находится из краевой задачи.

При этом

, значит найденное управление доставляет максимум функции H и дает решение поставленной задачи.

Пример 3. Пусть уравнение движения имеет вид

- задано требуется найти управление , минимизирующее при условии, что - задано, а управление ограничено .

В этом случае . Тогда из условия максимума функции H по u следует, что

т.е. .

Для определения  имеем уравнение

.

Пусть a –постоянна положительная величина.

Тогда из условия следует . Тогда .

Так как отрицательна,

т.е. не влияет на величину оптимального управления, а влияет только на знак его.