МТОУ Дегтярев / Лекц 2 нов_

28

б) неголономные связи – связи, содержащие производные искомых функций

;

в) изопериметрические (интегральные связи)

.

Вариационные задачи на условный экстремум при голономных и неголономных связях можно (теоретически) решить методом исключения зависимых переменных. Таким образом задача на условный экстремум сводится к задаче на безусловный. Однако такой подход практически неприменим ввиду сложности процедур исключения зависимых переменных. Поэтому наибольшее распространение получил метод множителей Лагранжа. Рассмотрим применение этого метода в задаче минимизации функционала

(1.28)

при наличии связей

, (1.29)

граничные условия будем считать заданными.

В соответствие с методом Лагранжа вводится вспомогательный функционал

, (1.30)

где - неопределенные пока множители Лагранжа. На связях и и функционалы и ведут себя одинаково, т.е. экстремум достигается одновременно с при условии, что удовлетворяют уравнениям связей (1.29), независимо от .При заданных граничных условиях, как и ранее, получим

.

Однако в этом случае нельзя воспользоваться основной леммой вариационного исчисления, так как - не является независимыми. Воспользуемся свободой выбора множителей Лагранжа и выберем таким образом, чтобы выполнялись уравнений

,

тогда

.

В последнем выражении уже независимы и, воспользовавшись основной леммой вариационного исчисления, получим:

.

Таким образом, для определения n+m функций и мы получили систему m и n уравнений

(1.31)

Уравнения (1.31) называются уравнениями Эйлера-Лагранжа.

Если граничные условия не заданы, система уравнений (1.31) дополняется условиями трансверсальности типа (1.25), в которых вместо F необходимо подставить H.

В случае неголономных связей вариационные задачи решаются аналогично.

2.8. Вариационные задачи при изопериметрических условиях.

Рассмотрим задачу нахождения экстремума функционала (1.28) при наличии изопериметрических связей

, (1.32)

где - заданные постоянные величины.

Такие связи не накладывают ограничений на вариации функций в текущий момент времени, они являются интегральными, поэтому число связей может быть и больше, чем число функций, т.е. m > < n.

Вариационная задача с ограничениями (1.32) может быть сведена к задаче с неголономными связями, если ввести новые переменные

. (1.33)

Из (1.33) следует, что вектор-функция удовлетворяет системе уравнений

. (1.34)

Введем функции и

.

Тогда и задача минимизации функционала сводится к задаче минимизации функционала

(1.35)

Уравнения Эйлера-Лагранжа будут иметь вид:

(1.36)

Так как не зависит от , то и . Значит .

Таким образом, множители Лагранжа в вариационной задаче с изопериметрическими условиями являются постоянными величинами, для определения которых имеется система (1.32). При этом система управлений Эйлера-Лагранжа (1.36) может быть записана в виде

. (1.37)

Система управлений (1.37) должна решаться совместно с условиями (1.32) и граничными условиями, вытекающими из условия трансверсальности.

Пример. Рассматривая задачу минимизации волнового сопротивления

(1.38)

было показано, что уравнение оптимального профиля имеет вид

.

Рассмотрим теперь задачу минимизации функционала (1.38) при условии и заданной площади профиля

- константа. (1.39)

В данном случае и уравнение Эйлера-Лагранжа будит иметь вид

Таким образом, оптимальный профиль имеет параболическую форму. Параметры профиля находятся из граничных условий и условия (1.39)

2.8. Необходимое и достаточное условие относительного экстремума.

Рассмотрим некоторый функционал , где , и приращение его представим в виде

,

где - вторая вариация функционала, - величина более высокого порядка малости, чем , т.е. при и при . Безусловно, предполагается способ приближения к нулю заданным.

На экстремали , тогда .

Рассмотрим такую достаточно малую окрестность экстремали, что

.

Тогда знаки приращения и второй вариации совпадают.

Если , то , и если , то . Таким образом, если - величина более высокого порядка малости, чем , то для достижения относительно минимума необходимо и достаточно, чтобы

. (1.40)

2.9. Необходимое условие Лежандра

Рассмотрим задачу нахождения экстремума простейшего функционала

(1.41)

с закрепленными концами. Докажем, что для достижения относительного минимума необходимо

, (1.42)

а для максимума – условие

. (1.43)

Неравенства (1.42) и (1.43) называются условиями Лежандра. Используя формулу Тейлора, найдем

.

Предполагается, что отброшенные нелинейные члены более высокого порядка малости, чем . Тогда знак определяется знаком .

Используя равенства

;

,

для второй вариации получим выражение

.

Введем обозначения

Тогда представим в виде

.

Убедимся, что для достижения минимума , если он существует, необходимо . Для этого покажем, что если , то всегда можно найти такую функцию с кусочно-непрерывной производной, что , т.е. всегда можно построить такую кривую сравнения, что знак определится знаком непрерывной функции .

Пусть , т.е. достигается минимум функционала, и допустим, что в некоторой точке выполняется неравенство . Тогда в силу непрерывности Q по t в некоторой окрестности этой точки . Зададимся (рис. 9):

;

.

Тогда

при , и, следовательно, будем иметь:

.

Но , поэтому при достаточно малом, но положительном получим:

.

Э то противоречит и . Следовательно, для достижения относительного и слабого экстремума необходимо, чтобы . Аналогично

доказывается необходимость для достижения максимума. Эти необходимые условия максимума и минимума более сильны, чем уравнения Эйлера, которые не могут различать максимума от минимума. Условия Лежандра используются совместно с уравнениями Эйлера, и при помощи их различают максимум и минимум.

Если функция F зависит от нескольких аргументов, т.е. , то условие Лежандра значительно усложняется. Оно сводится к условию знакоопределенности квадратичной формы:

, - (1.44)

- для минимума,

а для максимума

(1.45)

в каждой точке при произвольных . Так как эти условия неудобны для использования, их приводят к виду (условия Сильвестра)

(1.46)

3. Принцип максимума Понтрягина.

3.1. Вводные замечания.

Рассмотрим исходную постановку задачи оптимального управления, заключающуюся в поиске такой управляющей функции и соответствующей траектории , удовлетворяющей системы (1.1), (1.2), на которых некоторый функционал достигает минимального значения.

Функции предполагаются непрерывными по и дважды непрерывно дифференцируемыми по остальным аргументам.

Оптимальное управление отыскивается в классе кусочно-непрерывных функций с конечным числом точек разрыва, со значением из некоторой замкнутой или открытой выпуклой области U r – мерного пространства. При этом фазовые координаты в точках разрыва управления остаются