МатМод экология / Лекция №2

Лекция №2.

Аналитическое моделирование.

Аналитическое моделирование опирается на построение формального описания системы, т.е. построения ее математической модели. В общем случае математическая модель реального объекта, процесса или системы представляется в виде системы функционалов:

где X - вектор входных переменных, X=[x1,x2,x3, ... , xN]t,

Y- вектор выходных переменных, Y=[y1,y2,y3, ... , yN]t,

Z- вектор внешних воздействий, Z=[z1,z2,z3, ... , zN]t,

t - координата времени.

Построение математической модели заключается в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат.

Обычно их оказывается настолько много, что ввести в модель всю их совокупность не удается. При построении математической модели перед исследованием возникает задача выявить и исключить из рассмотрения факторы, несущественно влияющие на конечный результат (математическая модель обычно включает значительно меньшее число факторов, чем в реальной действительности). На основе данных эксперимента выдвигаются гипотезы о связи между величинами, выражающими конечный результат, и

факторами, введенными в математическую модель. Такая связь зачастую выражается системами дифференциальных уравнений в частных

производных (например, в задачах механики твердого тела, жидкости и газа,

теории фильтрации, теплопроводности, теории электростатического и

электродинамического полей).

Этапы построения математической модели.

В процессе построения математической модели необходимо:

1 . Определение границ моделируемого объекта

Этап состоит в выделении главных переменных, параметров, факторов и ограничений. Неважные параметры следует отбросить, и в дальнейшем не

учитывать.

2. Выбор управляемых и неуправляемых факторов

На этом этапе математического моделирования необходимо провести различие между теми величинами, значения которых можно варьировать и выбирать с целью достижения наилучшего результата (управляемыми переменными), и величинами, которые фиксированы или определяются внешними факторами. Как правило, в математическом описании задачи управляемые переменные обозначаются как неизвестные « х1 , x2 … », а

неуправляемые – конкретными числовыми значениями.

3. Определение связи управляемых и неуправляемых факторов между

собой.

Необходимо описать взаимозависимость всех выделенных факторов системы между собой в виде формул. В формулы будут включены и управляемее, и неуправляемые факторы. Зачастую связь отображается в виде уравнений и систем уравнений.

Также в реальных условиях на значения управляемых переменных, как правило, наложены ограничения, связанные с ограниченностью имеющихся ресурсов, мощностей и других возможностей. Эти взаимосвязи и ограничения обычно записывают в виде равенств и неравенств, или указывают множества,

которым должны принадлежать значения управляемых переменных.

Например:

В общем виде: g(X)≤0

Конкретное неравенство: x1+8x2-8≥0

Задание допустимого интервала: x [0;7]

4. Выбор целевой функции

Целевая функция присутствует в математических моделях не всегда. Если целью модели является исследование ее поведения, например, исследование траектории полета беспилотного летательного аппарата в зависимости от управляющих сигналов с земли, то целевая функция в модели отсутствует.

Если же модель строится для расчетов некоторых оптимальных (наиболее выгодных) параметров системы, то целевая функция необходима. Например,

строится модель для определения оптимального объема капиталовложений в производство с ограниченными сырьевыми ресурсами.

Целевая функция представляет собой формулу, выражающую цель исследования. Например, если целью является максимальная прибыль, целевая функция – это функция для расчета прибыли. В зависимости от конкретной задачи целевая функция должна стремиться достичь минимума или максимума.

Например:

5. Окончательная формулировка математической модели.

Объединяя результаты предыдущих этапов, исходную задачу записывают в виде математической модели, включающей найденные зависимости, ограничения на управляемые переменные и, если необходимо,

построенную целевую функцию.

Необходимо понимать, что функции и зависимости в математической модели могут иметь произвольную форму: линейные зависимости, полиномы.

дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных,

интегральные зависимости и др.

Примеры построения математической модели.

Пример №1.

Купец продаѐт двух коней с сѐдлами в закрытом помещении, высота потолка которого 3 метра. Цена одного седла 120 рублей, а другого – 25

рублей. Конь А с хорошим седлом втрое дороже коня В с дешѐвым, а конь В с хорошим седлом вдвое дешевле коня А с дешѐвым. Высота коня А в холке составляет 170см, а коня В - 150 см. Какова цена каждого коня?

1 . Определение границ моделируемого объекта

Необходимо определить, что из условия задачи является важным для получения результата, а что не важным. В нашем случае высота потолка помещения и высота коней в холке не играют никакой роли для определения их стоимости, поэтому эти факторы мы отбрасываем как второстепенные. Тогда для построения модели остаются только следующие факторы: цены седел и соотношения цен коней с разными седлами.

2. Выбор управляемых и неуправляемых факторов

Управляемые переменные – это неизвестные, которые нам необходимо будет найти, то есть в нашем случае это цены коней. Обозначим цены коней через x1 и x2. Неуправляемыми переменными будут являться цены седел: 120

и 25 рублей. (Заметим, что управляемые переменные мы выразили через xi, а

неуправляемые - через конкретные значения).

3.Определение связи управляемых и неуправляемых факторов между собой.

Внашей задаче писаны взаимосвязи цен коней с разными седлами между собой. Первая взаимосвязь звучит так: «Конь А с хорошим седлом втрое дороже коня В с дешѐвым». Опишем это соотношение математически:

х1+120цена коня А с хорошим седлом;

х2+25 – цена коня В с дешевым седлом.

Тогда: х1+120=3(х2+25)

Аналогично выводим второе соотношение «конь В с хорошим седлом вдвое дешевле коня А с дешѐвым»:

х2+120цена коня В с хорошим седлом;

х1+25 – цена коня А с дешевым седлом.

Тогда: х1+25=2(х2+120)

В результате получим систему уравнений:

4. Выбор целевой функции

В нашем случае целевой функции в задаче нет, так как не ставится условия максимизации либо минимизации какого-то параметра.

Таким образом, математическая модель задачи имеет вид линейной системы уравнений:

x1 120 3(x2 25)x1 25 2(x2 120)

Решив эту систему, находим: x1=735, х2 =260.

Пример №2.

Цех может производить стулья и столы. Стул весит 2 кг, на его производство идет 5 единиц древесины и 10 единиц пластика. Стол весит 15

кг, на его производство расходуется 20 единиц древесины и 15 единиц пластика. На складе имеются весы с гирями, 400 единиц древесины и 450

единиц пластика. Стул при продаже стоит 45 долларов, стол - 80 долларов.

Сколько надо сделать стульев и столов, чтобы получить максимальную прибыль?

1 . Определение границ моделируемого объекта

Определим важные и неважные данные в этой задаче. Очевидно, вес стола и стула, а также наличие на складе весов и гирек никак не влияет на цену,

и, следовательно, на прибыль от производства, поэтому эти факторы мы отбрасываем. Остается: цена одного стула и одного стола, расход материалов и запас этих материалов на складе.

2. Выбор управляемых и неуправляемых факторов

В задаче ясно написано, какие переменные необходимо найти: «сколько надо сделать стульев и столов», поэтому в качестве управляемых переменных выберем: Х1 - число изготовленных стульев, Х2 - число сделанных столов.

Неуправляемыми переменными будут: расход древесины и пластика для столов и стульев, а также их запасы на складе.

3. Определение связи управляемых и неуправляемых факторов между собой.

Взаимосвязи здесь отражаются расходом и запасом материалов. В

частности, имеем:

5Х1 - затраты древесины на все Х1 стульев, 20Х2 - суммарный расход древесины на все Х2 столов. Тогда всего древесины потратится 5Х1 + 20Х2 .

Этот общий расход должен уложиться в имеющиеся запасы, т.е. в 400

единиц:

5 Х1 + 20 Х2 ≤ 400 ,

Аналогично записывается условие непревышение запаса пластика:

10 Х1 + 15 Х2 ≤ 450

Кроме того, необходимо помнить. что количество произведенных столов и стульев не может быть меньше нуля: Х1 ≥ 0, Х2 ≥ 0 .

4. Выбор целевой функции

В нашем случае ставится цель: максимум прибыли. Т.е. целевая функция будет присутствовать, и отражать она должна суммарную прибыль.

Так как от каждого проданного стула мы получим 45 долларов, то от всех

Х1 стульев мы получим 45Х1 долларов. От продажи Х2 столов мы получим

80Х2 долларов. Тогда общая прибыль составит 45 Х1 + 80 Х2 . Мы дорлжны подобрать Х1 и Х2 так, чтобы эта функция стала как можно больше:

45 Х1 + 80 Х2 → max ,

В результате получим задачу оптимизации, которая и представляет собой

аналитическую математическую модель:

45 Х1 + 80 Х2 → max ,

Пример 3.

Во дворе дома обнаружен труп. Медэксперт определил, что температура тела составляет +21 градус, а температура воздуха при этом +80С. Необходимо определить, какое время назад произошло убийство.

Замечание: Закон охлаждения тел утверждает, что скорость остывания тела

(скорость изменения температуры) пропорциональна разности температур тела и окружающей среды с коэффициентом 0,8.

1. Определение границ моделируемого объекта.

Вданной постановке все факторы важные, так как именно по изменению температуры предстоит узнать время смерти.

2.Выбор управляемых и неуправляемых факторов

Взадаче требуется найти единственную величину – промежуток времени, который прошел с момента смерти до настоящего момента.

Обозначим этот промежуток как t. Остальные параметры – температура

трупа и температура окружающей среды – неуправляемые.

3. Определение связи управляемых и неуправляемых факторов между собой.

Связь определяется законом охлаждения тел. В общем виде этот закон будет выглядеть:

(Скорость остывания тела)=k*(температура тела - температура воздуха)

Здесь k – коэффициент пропорциональности, по условию задачи равен 0,8.

В математике скорость часто выражают как производную от величины,

36.6 8 С3e 0.8*0 8 С3 С3 8 36,6 28,6

Окончательно зависимость температуры тела от времени выражает уравнение:

T 8 28,6e 0.8t

Рис. 2.1. График остывания тела при температуре окружающей среды +80С.

Уже по графику можно примерно определить момент времени, когда температура тела станет равной 21 градусу: это приблизительно 1 час.

Можно получить точное решение:

Также по графику видно, что когда тело остынет до температуры окружающей среды (примерно через 7 часов), время смерти этим способом определить не удастся.