МатМод экология / Лекция №10

Лекция №10

Системы с нечеткой логикой.

При анализе ситуации человек часто оперирует не числами, а словами,

т.е. такие понятия, как прибыль, эффективность, затраты и проч. выражается не в количественной, а в качественной форме. Следовательно, интеллектуальная модель должна «уметь» оперировать с такими понятиями,, например, как

«высокая прибыль» (вместо «прибыль составила 33%»), «молодой человек»

(вместо «возраст 23 года») и т.п.

Нечеткие множества и нечеткие переменные.

Переменные, задаваемые не числами, а словами, были описаны Л. Заде.

Он назвал их лингвистическими переменными. Лингвистические переменные описывают неточное (нечеткое) отражение человеком окружающего мира. Для того чтобы лингвистические переменные стали полноправными математическими объектами, потребовалось расширить одно из базовых понятий математики - понятие множества. Для этого было введено определение нечеткого множества и разработана теория нечетких множеств,

включившая в себя обычные множества как частный случай.

В обычной теории множеств существуют несколько способов задания множества. Одним из них является задание с помощью характеристической функции. Характеристическая функция множества A Х - это функция A(х),

значения которой указывают, является ли x Х элементом множества A:

С точки зрения характеристической функции, нечеткие множества являются естественным обобщением обычных множеств, когда мы отказываемся от бинарного характера этой функции и предполагаем, что она может принимать любые значения из отрезка [0, 1].

1

Рис. 10.1. Графическое представление характеристических функций классического

инечеткого множества

Втеории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение A(х), - степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A. Более строго, нечетким множеством A

называется совокупность пар

где Х- универсальное множество, а A(х) - функция принадлежности.

Пусть, например, Х = {a, b, c, d, e}, A = {(a; 0), (b; 0,1), (c; 0,5), (d; 0,9), (e;1)}.

Это означает, что элемент a не принадлежит множеству A, элемент b

принадлежит ему в малой степени, элемент c более или менее принадлежит,

элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом A.

Для примера: пусть задана некоторая физическая величина, например,

температура воды, которая измеряется соответствующим датчиком. Будем ассоциировать с подмножеством A диапазон изменения температуры 0 С до

50, а с подмножеством B ее изменение в диапазоне от 50С до 100 С. В

лингвистической интерпретации принадлежность измеренной температуры подмножеству A будет соответствовать нечеткой (лингвистической)

переменной “холодная вода”, а подмножеству B – “горячая вода”. Аналогичная

2

интерпретация может быть дана и для других физических величин: давление –

“низкое” (подмножество A) или “высокое” ( подмножество B), линейная скорость перемещения “маленькая” (подмножество A) или “большая”

(подмножество B) и т.д. Если использовать кодирование символами 0 и 1 для упомянутых выше лингвистических переменных, то получим соответствие: “холодная” - 0, “горячая ”-1, “маленькая” – 0, “большая” –1 и т.д. В этой интерпретации не представляется возможным отразить промежуточные состояния температуры воды типа: “прохладная” вода, «теплая» вода, т.к.

переменная принадлежности тому или иному подмножеству принимает только два значения 0 или 1, что подразумевает наличие четкой или резкой границы между подмножествами.

При задании параметра «температура воды» в виде нечеткой переменной будем предполагать, что температура в 15 С и ее окрестности являются

«холодной» водой, температура в 85 С и ее окрестности ассоциируются с

«горячей» водой (рис. 10.2 а,б).

3

Рис. 10.2. Количественное представление нечетких переменных «холодная»,

«горячая» вода.

Тогда нечетким лингвистическим переменным «холодная», «горячая» можно дать количественную форму с использованием функций принадлежностей. Температура в 50 С частично с весом 0.5 является

«холодной» и с весом 0.5 «горячей» (рис. 10.2 в). Отметим, что имеет место условие нормировки:

A(x)+ В (x)=1.

Наибольшее распространение получили: треугольная, трапецеидальная и гауссова функции принадлежности.

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел

(a,b,c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:

4

При (b-a)=(c-b) имеем случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки (a,b,c).

Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d):

При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.

Рис. 10.3. Типовые кусочно-линейные функции принадлежности.

Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой

и оперирует двумя параметрами. Параметр c обозначает центр нечеткого множества, а параметр отвечает за крутизну функции.

5

Рис.10.4. Гауссова функция принадлежности.

На рис. 10.5 приведен пример - формализация неточного понятия

"Возраст человека". Так, для человека 48 лет степень принадлежности к множеству "Молодой" равна 0, "Средний" – 0,47, "Выше среднего" – 0,20.

Рис. 10.5. Описание лингвистической переменной "Возраст".

Функция принадлежности может быть задана в виде дискретных

значений, например, в виде таблицы:

Функция принадлежности нечеткого множества «Молодой человек»:

Интеллектуальные системы нечеткого логического вывода.

Нечеткий логический вывод представляет собой перечень инструкций,

описанных при помощи нечетких высказываний. Нечеткими высказываниями

называются высказывания следующего вида:

6

1.высказывание < х есть А>, где х - наименование лингвистической переменной, отражающей некоторый объект или параметр реальной действительности, относительно которой производится утверждение А, являющейся ее нечеткой оценкой (нечеткой переменной);

Например: «Атмосферное давление высокое». Здесь х –

«Атмосферное давление», А – «Высокое».

2.высказывания вида < х есть mА>, < х есть QА>, < Qх есть mА>, < mх

есть QА>, при этом m называется модификатором (ему соответствуют такие слова, как очень, более или менее,

незначительный, средний и др.), Q - квантификатором (ему соответствуют слова типа большинство, несколько, много, немного,

очень много и др.);

3.высказывания, образованные из высказываний 1-го и 2-го видов и союзов И; ИЛИ; ЕСЛИ..., ТО...; ЕСЛИ..., ТО... ИНАЧЕ.

Основой для проведения операции нечеткого логического вывода является база правил, содержащая нечеткие высказывания в форме "Если-то" и

функции принадлежности для соответствующих лингвистических переменных.

При этом должны соблюдаться следующие условия:

1.Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной.

2.Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в

котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).

В противном случае имеет место неполная база нечетких правил.

Пусть в базе правил имеется m правил вида:

R1: ЕСЛИ x1 это A11 … И … xn это A1n, ТО y это B1

Ri: ЕСЛИ x1 это Ai1 … И … xn это Ain, ТО y это Bi

7

Rm: ЕСЛИ x1 это Ai1 … И … xn это Amn, ТО y это Bm,

где xk (k=1..n) – входные переменные; y – выходная переменная; Aik –

заданные нечеткие множества с функциями принадлежности.

Результатом нечеткого вывода является четкое значение переменной y* на основе заданных четких значений xk (k=1..n).

В общем случае механизм логического вывода включает три этапа:

введение нечеткости (фазификация), нечеткий вывод, композиция и приведение к четкости, или дефазификация (см. рис. 10.6).

Рис.10.6. Система нечеткого логического вывода.

Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено,

Ларсена, Цукамото.

Рассмотрим подробнее нечеткий вывод на примере механизма Мамдани

(Mamdani). Это наиболее распространенный способ логического вывода в нечетких системах. В алгоритме используется минимаксная композиция нечетких множеств. Данный механизм включает в себя следующую последовательность действий.

1.Процедура фазификации: определяются степени истинности, т.е.

значения функций принадлежности для левых частей каждого правила

8

(предпосылок). Для базы правил с m правилами и n входными

лингвистическими переменными обозначим функции принадлежности как (Aik(xk)) для входных, и (Вj(y)) для выходной переменной (i=1..m, k=1..n).

2.Нечеткий вывод. Сначала определяются уровни "отсечения" для левой части каждого из правил:

3.Композиция, или объединение полученных усеченных функций, для чего используется максимальная композиция нечетких множеств:

где MF(y) – функция принадлежности итогового нечеткого множества.

4.Дефазификация, или приведение к четкости. Существует несколько методов дефазификации. Например, метод среднего центра, или центроидный метод:

Max

Max

MF( y)dy

Min

Геометрический смысл такого значения – центр тяжести для кривой

MF(y). Рис. 10.7 графически иллюстрирует процесс нечеткого вывода по Мамдани для двух входных переменных и двух нечетких правил R1 и R2.

9

Рис.10.7. Схема нечеткого вывода Мамдани

Пример. Рассмотрим принцип управления холодопроизводительностью кондиционера «MITSUBISHI HEAVY SRK25ZJP-S» с использованием нечеткой логики.

Холодопроизводительность, которую должен обеспечить кондиционер,

определяется разностью между температурой в помещении и температурой,

которую мы хотели бы получить (температура уставки). Эта переменная лингвистически может быть сформулирована как “разность температур” и

принимать значения “малая”, “средняя” и “большая”. Естественно, чем больше разность температур в данный момент, тем больше должна быть холодопроизводительность.

Второй лингвистической переменной определим “скорость изменения температуры” в помещении, которой также дадим лингвистические значения

“малая”, “средняя” и “большая”. Если скорость изменения температуры большая, то требуется большая холодопроизводительность. По мере приближения температуры в помещении к температуре уставки скорость изменения температуры в помещении будет уменьшаться, а

холодопроизводительность кондиционера снижаться.

10