МатМод экология / Лекция №5
.pdf
Лекция №5
Имитационное моделирование стохастических процессов.
В отличие от случайной величины, случайный процесс u(t) – это функция, мгновенные значения которой в каждый момент времени являются случайными величинами. Конкретный вид, который принимает случайный процесс в результате эксперимента, называется реализацией случайного процесса. Математическое ожидание случайного процесса– это
средняя функция, вокруг которой группируются реализации.
Рис. 5.1. Три реализации случайного процесса.
На рис. 5.1 показана совокупность четырех реализаций случайного процесса x(1) (t) , x( 2) (t) и x(3) (t) относительно детерминированной функции
мат. ожидания.
Дисперсия случайного процесса - это функция, характеризующая степень разбросанности (полосу рассеяния) его реализаций относительно математического ожидания. Можно сказать, что дисперсия – это математическое ожидание отклонения реализации x(t) от математического ожидания m(t).
Рис. 5.2. Графики функции среднеквадратического отклонения
(t) 
D(t) .
Моделируется не случайный процесс, а его реализация. Исходя из определения, такая реализация будет представлять собой набор (вектор)
случайных величин в дискретные моменты времени.
Также, как для моделирования практически любой случайной величины используют базовую СВ – равномерно распределенную СВ на интервале (0,1), также и для генерации практически любого случайного процесса используют базовый СП, называемый «белым шумом».
Белый шум – случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и заданной дисперсией (говорят «интенсивностью шума»),
значения реализаций которого в каждый момент времени не связаны между собой.
Рис. 5.3. Реализация белого шума.
Чаще всего под белым шумом понимают процесс с равномерным законом распределения в каждый момент времени. Но существуют также нормальный белый шум («шум Гаусса»), Пуассоновский и другие.
Моделирование равномерного белого шума с дисперсией 1.
Пусть моделирование осуществляется во временном интервале от 0 до tmax. Для моделирования необходимо разбить временной интервал T=[0,tmax] на отдельные периоды [ti,ti+1], i=0,1…n, с некоторым шагом h, где ti+1= ti +h;
tn=tmax, и сгенерировать последовательность из n равномерно распределенных в интервале [0,1] случайных чисел zi по формулам (4.1) – (4.2).
Моделирование случайного процесса с произвольным законом распределения.
Для этого так же, как и в случае случайных величин, можно применить метод обратной функции. Не вдаваясь в подробности, запишем сразу результат: если имеется набор значений (вектор) равномерного белого шума z=(z1,z2,…zn) с плотностью распределения fz(z)=1 (равномерный процесс), то можно получить вектор значений процесса x=(x1,x2,…xn) с произвольной плотностью распределения fx(x) по формуле:
x F 1 (z) x f (z) 1x
Однако данную формулу на практике используют реализуют упрощенный метод, разработанный для конкретного случайного процесса с заданными свойствами.
(5.1)
редко. Чаще моделирования
Моделирование цепей Маркова.
Для многих случайных процессов характерно влияние предшествующих событий на последующие. Такие процессы называют марковскими по имени Маркова, в работах которого они были впервые описаны. Марковский процесс - это процесс, для которого вероятность находиться в данном состоянии в данный момент можно вывести из сведений о предшествующем состоянии. Цепью Маркова (первого порядка) называется одна из форм марковских процессов, для которой каждое конкретное состояние зависит только от непосредственно предшествующего.
Многие природные процессы можно считать Марковскими.
Предположим, что имеется серия еженедельных наблюдений за уровнем воды в реке, который попадает в одну из трех градаций - низкий,
нормальный, высокий. По этим данным составлена таблица частот перехода от одного состояния к другому:
Таблица 5.1
|
|
К состоянию |
|
|
От состояния: |
низкий |
нормальный |
высокий |
Сумма по |
|
|
|
|
строке |
низкий |
12 |
6 |
0 |
18 |
нормальный |
5 |
80 |
15 |
100 |
высокий |
0 |
14 |
16 |
30 |
Если поделить каждое число на сумму по соответствующей строке,
получим вероятность перехода от одного состояния к другому. Это,
безусловно, будет не истинное значение вероятности, а ее статистическая оценка. Эти оценки приведены в таблице 5.2.
|
|
|
|
Таблица 5.2. |
|
|
|
|
|
|
|
К состоянию |
|
|
От состояния: |
низкий |
нормальный |
высокий |
Сумма по |
|
|
|
|
строке |
низкий |
0,67 |
0,33 |
0,00 |
1,00 |
|
|
|
|
|
нормальный |
0,05 |
0,80 |
0,15 |
1,00 |
|
|
|
|
|
высокий |
0,00 |
0,47 |
0,53 |
1,00 |
|
|
|
|
|
Рассмотренный пример соответствует ситуации, когда возможные состояния (три возможных уровня) и время (недели) дискретны. Такой ситуации соответствуют дискретные Марковские цепи.
Матрицы вероятностей перехода являются средством описания поведения марковской цепи. Каждый элемент этой матрицы представляет собой вероятность перехода из заданного состояния (которому соответствует строка) к следующему состоянию (которому соответствует столбец). В этой матрице предусмотрены все возможные переходы данного множества состояний. Условно такую матрицу записывают в общем виде следующим образом:
|
|
Е1 |
Е2 |
… |
Еn |
|
|
|
|
|
|
|
Е1 |
p11 |
p12 |
|
p1n |
|
|
|
|
|
|
P = Е2 |
p21 |
p22 |
|
p2n |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
Еn pn1 pn2 |
pnn |
где P - матрица переходных вероятностей, pij - вероятность перехода из состояния Еi, соответствующего строкам матрицы, в состояния Еj,
соответствующее столбцам.
Процесс моделирования цепи Маркова состоит в получении последовательности состояний Е1 , Е2 ... Еn в соответствии с заданной матрицей переходов. Для этого каждая строка таблицы рассматривается как полная группа событий, и событие перехода из состояния в состояние моделируется по алгоритму, описанному для полной группы событий:
1.Задаются вероятности нахождения системы в каждом из возможных состояний в начальный момент времени Р(0)=(р1(0), р2(0), …рn(0)) – это полная группа событий.
2.Определяется начальное состояние Е0 системы как событие из полной группы Р(0).
a.Реализуется случайное число z0, распределенное по равномерному закону в интервале [0,1].
m
b. Задаются границы интервалов lm pi (0) , m=1,2,..n. l0=0.
i 1
c.Считается, что система находится в начальном состоянии Еm,
для которого выполняется неравенство lm-1 < z0 ≤ lm.
3.Пусть система находится в состоянии Еk. Для определения следующего состояния рассматривается k-я строка матрицы переходов и моделируется реализация одного из событий полной группы Рk=(pk1,
pk2, … pkn):
a.Реализуется случайное число zi, распределенное по равномерному закону в интервале [0,1].
m
b. Задаются границы интервалов lm pki , m=1,2,..n, l0=0.
i 1
c. Считается, что система переходит в состояние Еm, для которого выполняется неравенство lm-1 < zi ≤ lm.
Пункт №3 повторяется n раз для моделирования последовательности всех n состояний.
Моделирование потоков событий.
По аналогии с моделирование события для выбора дальнейшего поведения системы, моделируют последовательности событий, которые наступают в случайные моменты времени. Такие последовательности называют случайными потоками. Поток можно отобразить на оси времени:
Рис. 5.4. Поток случайных событий
Здесь τj — интервал между событиями (случайная величина); tсi — момент совершения i-го события (отсчитывается от t=0); Tн — время наблюдения.
Примером потока событий могут служить последовательность моментов касания взлетной полосы самолетами, прилетающими в аэропорт.
Интенсивность потока λ — это среднее число событий в единицу времени.
Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле: λ = N/Tн, где N — число событий, произошедших за время наблюдения
Tн.
Простейшим, и самым распространенным, потоком событий является так называемый поток Пуассона. Закон Пуассона определяет вероятность поступления K заявок за заданное время t:
P(K ) |
( t)K |
e t |
(5.2) |
|
K! |
||||
|
|
|
||
Закону Пуассона подчиняются многие процессы — число сообщений, |
||||
поступающих на станции экстренных |
служб, число |
заказов на |
||
вычислительный кластер, число заявок на обслуживание на предприятиях быта и т.д.
Для моделирования Пуассоновского потока заявок используется свойство потока: он тесно связан с показательным законом, а именно: если время между поступлениями двух заявок описывается показательным законом, то число таких заявок за определенный интервал времени описывается законом Пуассона. Т.е. если t – случайный интервал времени между заявками, то его плотность распределения описывается показательным законом:
(5.3)
Этот интервал времени можно смоделировать (см. предыдущую лекцию)
t |
1 |
ln( z) |
(5.4) |
|
|||
|
|
|
|
где z – равномерно распределенная на интервале [0,1] случайная |
|||
величина. |
|
||
Имитационное моделирование числа К |
событий, образующих |
||
пуассоновский поток с параметром λ на участке Т производится в следующей
последовательности: |
|
1. Задать значение интенсивности заявок |
λ. Положить число |
поданных заявок К=0. |
|
2.Смоделировать случайную величину t1 - время поступления первой заявки в потоке, согласно формуле (5.4)
3.Проверить условие: t1<T. Если условие выполнено, то это означает,
что первое событие попало внутрь участка Т. Текущее значение счетчика числа попавших внутрь участка Т событий К увеличивается на 1 (К=К+1=1).
4.Моделируется следующий случайный интервал t2.
5.Проводится проверка условия (t1+t2)<T. При выполнении этого условия значение К вновь увеличивается (К=K+1=2) и процесс вновь повторяется.
6.При нарушении условия ti T моделирование прекращается, и
окончательно фиксируется число событий К, попавших на участок
Т