страхование для выдачи студентам / Элементы страховой математики

степень риска 0,25. Какие риски являются приемлемыми (в принципе) для этого страховщика?

Решение. Определим максимум, опираясь на принцип равенства степени риска до и после принятия нового риска. Новый риск имеет чистую рисковую оплату (вероятность выплаты возмещения) р. Тогда:

В общем случае:

K=CKO/MO= CKO2 +X2 p q /(MO+X×p) X=2×K2×MO/(1-p(1+K2))

X 2×K2×MO

Если К=0,25; МО=400000; 2×К2=1/8; Х=50000. K=0,25 1000002 + X2 p q /(400000+X×p)

Х=50000/(1–р×1,0625).

При малых р знаменатель близок к 1, поэтому Х 50000. Больше этого значения принимать новый риск нецелесообразно. Результат можно уточнить с помощью р. Например, если р=0.01, то Х=50530.

Итак, максимум зависит от сбора и степени риска. Конечно, это лишь приблизительная граница. Ясно, что чем меньше свой капитал, тем меньше Х.

Рассмотрим некоторые примеры. Показано, что роль р ограничена,

поэтому в первом приближении можно считать все pi одинаковыми (и

равными, например, 0,001). Составляющие портфеля имеют следующие характеристики, заданные таблицей (где CKO=S Npq ).

Решение. Общее МО=100000, а общее СКО=54000, отсюда: К=0,54. Общество не достаточно велико, чтобы позволить себе максимум в 100000. Поэтому исключаем из портфеля самый большой риск (первую строку). Тогда для оставшихся получим: МО=90000, СКО=43800, К=0,48. Ситуация представляется еще недостаточно благоприятной, поэтому исключаем и следующий по величине риск (вторую строку) и получим: К=0,43.

71

Для оставшихся строк ситуация стала приемлемой (с точки зрения страховщика), а к двум первым необходимо применить перестрахование. Для этого определяем максимум: Х=2×0,432×70000=25886 26000. Это и есть верхняя граница возможностей общества (если оно хорошо финансировано и имеет надежду расширить свои операции так, чтобы при этом снизить К). Отметим, что найденный максимум 26000 больше последней удерживаемой суммы 20000, но меньше первой передаваемой на перестрахование 50000.

Всегда ли передача на перестрахование самых больших рисков может привести к снижению степени риска?

Пример 21. Рассмотрим аналогичный портфель.

Решение. Для всего портфеля: МО=20000, СКО=12800, К=0,64; исключение самого большого риска (первой строки) мало помогает, К=0,63, практически не изменился. Здесь даже перестрахование не позволяет улучшить ситуацию. (Причина неудачи – отсутствие в портфеле субпортфеля, страховые суммы в котором существенно больше всех остальных. С вероятностно-статистических позиций: нет резко выделяющихся наблюдений, удаление которых позволяет повысить однородность выборки и, тем самым, улучшить ситуацию.)

Пример 22. Предположим, что в каждом субпортфеле (п. 21) число договоров стало в 10 раз меньше, а вероятности в 10 раз возросли.

Решение. Тогда, поскольку мы в первом приближении в расчетах пренебрегали точным значением q, считая его равным 1, то все столбцы, кроме первого, сохранятся, то есть и выводы будут идентичными. У нас как бы есть две компании. В каждой из них ситуация далека от идеала.

Пример 23. Соединим оба общества (п. 21 и п. 22) в одно.

Решение. Получим: МО=40000; СКО=18100; К=0,45; т.е.

достигнуто существенное улучшение. Два малых общества, каждому из которых весьма трудно выжить в отдельности, объединившись, составили вполне устойчивое общество.

72

Оценка максимума показывает: Х=2×0,452×40000=16000, то есть

общество может передать на перестрахование риск, превышающий эту сумму, (т.е. S=20000) но если есть достаточный страховой резерв, то лучше удержать за собой риск и попытаться расширить свои операции. Отметим, что здесь целесообразно позаботиться о субпортфеле с самыми большими страховыми суммами.

3.5.Размер капитала

Общество взаимного страхования может начать функционировать без начального капитала, и, тем не менее, выжить и укрепиться, но при этом первые страхователи сильно рисковали. Они могли не получить компенсации из-за отсутствия средств для выплаты. Обычное акционерное страховое общество берет банковский кредит.

Иногда максимум возмещения определяется ожидаемым размером собранных взносов. Например, если от заявления до ликвидации убытков проходит 14 суток (14/365=1/26 года), то из годовой премии можно выделить лишь соответствующую часть, то есть около 4% годовой ликвидации.

Пример 24. Есть 20 страхователей со страховыми суммами по 1000 и с р=0,1, Исследовать этот субпортфель.

Решение. Общий сбор (суммарная рисковая премия) имеет характеристики:

МО=20×10000×0,1=20000; CKO=10000 20 0,1 0,9 =13416. К=0.67.

Можно рассчитать вероятности Рr(m=k), k=0, 1,…,20. Используя формулу Бернулли, получим соответственно:

0,122; 0,270; 0,285; 0,190; 0,090; 0,032; 0,009; 0,002;…

Сума этих вероятностей превышает 0.999. То есть можно с

практической достоверностью утверждать, что Pr(m≥8)=0. Это означает, что будет не более 7 страховых случаев, поэтому обществу нужен начальный капитал для оплаты этих 7 случаев, то есть 70000.

Пример 25. Есть 30 страхователей с суммами 10000 и р=0,05. Исследовать этот субпортфель.

Решение. Как и в примере 24, рисковая премия 500, а суммарный взнос:

МО=30×500=15000, CKO=10000 30 0,05 0,95 =11940. К=0.80.

Соответственно, Pr(m=k): 0,215; 0,339; 0,259; 0,127; 0,045; 0,012;

0,003;…

Их сумма превышает 0.999, то есть будет не более 6 убытков, поэтому нужен резерв 60000.

73

Пример 26. Объединим эти две группы (п.24 и п.25) и исследуем

Можно установить максимум = 10000, т.е. (10 е.с.с.), это большее значение из двух: 1000 и 10000. Но можно рассчитать по приведенной формуле, тогда:

Х=2×К2×Р=2×¼×35=17,5>10.

Т.е., в принципе, страховщик может принять риск 17500 без передачи его на перестрахование. Однако выходить за пределы установленного максимума (10 е.с.с.) нецелесообразно, т.к. надо стремиться уменьшить К.

Замечание. При выполнении домашнего задания у студентов часто возникают вопросы: с какого значения вероятности начинается практическая достоверность? и как правильно выбрать формулу для расчета Pn(m), если расчеты можно, в принципе, вести и по формуле Бернулли, и по формуле Пуассона (или по локальной теореме Лапласа).

В реальных задачах уровень, принимаемый за практическую достоверность, - весьма условен, и зависит от требований Страхнадзора, ситуации на рынке, готовности руководства СК к риску и т.д. В учебных задачах можно задать значение: от 0.995 до 0.9999.

Формула Бернулли является точной, поэтому ее можно использовать, в принципе, всегда. Другой вопрос, что из-за факториалов она становится неудобной. Но если m близко к 0 или к n (на практике, разумеется, чаще встречается первая ситуация), то факториалы сокращаются, вычисление высоких степеней технически решается логарифмированием.

Поэтому эти вопросы имеют, скорее, исследовательский интерес, достигаемый сравнением результатов.

Задачи данного раздела в первом приближении иллюстрируют подходы к актуарной оценке страховщиком своих возможных действий на страховом рынке.

74

(интересующегося лишь своим договором, и, следовательно, только математическим ожиданием своего возможного ущерба), страховщика интересует и возможный разброс величины ущерба в договоре относительно (ожидаемого) среднего значения. При этом страховщика интересует не только (а возможно, и не столько) отдельный договор,

сколько весь его портфель.

Т.е. страхователь рассматривает принцип эквивалентности обязательств сторон только для своего полиса, а страховщик – применительно ко всему портфелю. Таким образом, страховой бизнес построен не на принципе самофинансирования каждого отдельного договора, а требует самофинансирования всего страхового портфеля.

Разумеется, задача актуария существенно усложняется. Что же выигрывает страховщик от указанной модификации принципа эквивалентности обязательств сторон?

Если объем портфеля велик (число однородных договоров достаточно велико), то на страховщика «начинает работать» закон больших чисел. Согласно этому закону, увеличение числа одинаково распределенных независимых случайных величин приводит к тому, что

сумма реализаций всех этих величин ведет себя все более устойчиво, т.е.

все меньше отклоняется от своего ожидаемого (среднего) значения. Строго говоря, из теории вероятности известно, что и

математическое ожидание и дисперсия суммы одинаково распределенных независимых случайных величин растут пропорционально росту числа этих величин – n. Но интерес представляет не только величина абсолютного отклонения возможного (фактического) значения от ожидаемого, но и относительное отклонение. В статистике это – коэффициент вариации: K = СКО/МО, который убывает с ростом n.

Для страховщика это означает повышение устойчивости страхования. За счет уменьшения относительного отклонения он несколько меньше зарабатывает при благоприятном развитии процесса, но значительно меньше рискует (разориться) при неблагоприятном повороте событий. Большое превышение фактического ущерба над ожидаемым становится маловероятным.

Это и является вероятностно-статистическим обоснованием стремления страховщика к увеличению своего портфеля.

4.2. Участие страхователя в возмещении ущерба

Кроме классической схемы, когда страховщик принимает на себя весь риск, и при возникновении страхового случая выплачивает возмещение в полном объеме, возможны по согласованию сторон и такие договора, в которых страхователь участвует в возмещении части ущерба в обмен на снижение страховых взносов.

Одной из таких схем является пропорциональное возмещение ущерба. Если объект реальной стоимости C застрахован на сумму S<C,

76

то при возникновении страхового случая, приведшего к ущербу X, страховщик выплачивает возмещение X*S/C. Соответственно уменьшаются и взносы страхователя.

Другая схема ответственности – по правилу первого риска – предусматривает полное возмещение ущерба (страховщиком) в пределах страховой суммы, и выплаты страховой суммы, если ущерб превышает ее. Т.е. выплата составляет: min(X, S), где X<C, S<C. Графически эти модификации основного типа договора могут быть проиллюстрированы на следующем рисунке.

Линия 1 соответствует полному возмещению, линия 2 – пропорциональному, линия 3 – схеме первого риска.

Предполагается равенство страховых сумм в договорах: 2 и 3. Видно, что в договоре по схеме первого риска страхователь оптимистически надеется на то, что возникновение больших ущербов маловероятно. Ответственность страховщика определяется площадью фигуры под линией. (Строго говоря, необходимо учесть и распределение ущерба, которое можно проигнорировать лишь при равномерном распределении, но в первом приближении это утверждение – справедливо.) Соответственно различаются и страховые взносы.

Еще одним способом участия страхователя в возмещении ущерба является франшиза: условная или безусловная. Проиллюстрируем это графически. Видно, что при одинаковой величине франшизы L ответственность страховщика (определяемая площадью под линией) больше для условной франшизы (линия 4), чем для безусловной (линия 5). Этим определяется и различие страховых взносов. При сравнении франшизы со схемой первого риска видно, что в договоре с франшизой стороны игнорируют малые убытки. Это связано с необходимостью затрат на урегулирование убытков: уведомление, проведение экспертизы по определению реального ущерба и т.д.

77

Обычно фиксируют франшизу на несколько лет, но возможен и учет инфляции. Например, в течение первого года убытки имеют плотность f(x). Во второй год - инфляция с показателем “k” привела к увеличению выплат в “k” раз. Договор предусматривает фиксированную безусловную франшизу L. Найти среднее значение страховых выплат во второй год.

Ранее рассматривалось Y=k X, при k X<M; и Y=M, при k X>M.

Аналогично:

M(Y) = ∫ (k x-L) f(x) dx = ∫ k (x-L*) f(x) dx =

= k ∫ y f(y+L*) dy, где y=x-L* , L* = L/k .

Рассмотрим пример франшизы. Предположим, что в договоре о страховании автомобиля от возможных повреждений предусматривается франшиза. Как это отразится на размере премии? В принципе, размер ущерба, конечно, представляет собой непрерывную случайную величину. Но мы в примере (для простоты) используем дискретную случайную величину.

Решение. (Временно абстрагируемся от вероятности наступления страхового случая. Можно добавить P(X=0) или считать это распределение условным и задать вероятность p.)

M(X) = ΣX P = 50 0.3 +...+ 1000 0.1 = 200;

M(X2) = 502 0.3 +...+ 10002 0.1 = 114500;

D(X) = 114500 - 2002 = 74500; Sx = D = 273; Sx/M(X) = 1.37.

Франшиза 200 . Цена страхования составит:

1)безусловная: 50 0.1 + 800 0.1 = 5+80 =85 (= 43%)

2)условная: 250 0.1 + 1000 0.1 = 125 (= 63%)

Видно, что франшиза существенно снижает цену страхования. Другой договор предусматривает страхование автомобиля от

угона. Очевидно, что событие либо произошло, либо не произошло.

79

Промежуточных вариантов нет, поэтому включение франшизы в договор невозможно.

Пример 2. Но хорошо ли выбрана франшиза? Проанализируем зависимость цены договора от размера франшизы.

Решение. Пусть L1=151, тогда при безусловной франшизе рисковая премия составит: 99 0.1+849 0.1=94.8 (47%). А при условной:

те же 125 (63%) !

Назначим: L2=249 и получим: 1 0.1+751 0.1=75.2 (37.6%) для безусловной франшизы, и те же 125 – для условной.

Итак, размер условной франшизы меняется от 151 до 249 (в 1.65 раза), а ожидаемый риск страховщика – одинаковый! Соответственно, одинакова и рисковая премия. (Для безусловной франшизы этого эффекта нет!)

Поэтому при дискретном распределении величины ущерба для условной франшизы различимы только сами дискретные значения ущерба (например, 150 или 250), их и следует выбирать в качестве L. А при непрерывном распределении величины ущерба этот эффект исчезает.

Замечание. Пример с франшизой иллюстрирует различие понятий: «ущерб страхователя X» и «ущерб страховщика Y». И соответственно, «вероятность наступления страхового случая P(A)» и «вероятность предъявления обоснованного иска о возмещении ущерба» (вероятности ущерба для страховщика):

P(A|X>L) = P(A)*P(X>L|A) < P(A) .

4.4.Характеристики объема страховой ответственности

Ранее выяснено отличие ущерба страховщика и ущерба страхователя в договоре с франшизой. В пропорциональном страховании (и в страховании по принципу первого риска) вероятности “страхового случая” и “ущерба” совпадают, но различны величины ущерба сторон. Поэтому в практике страхования при расчете тарифов используется система поправочных коэффициентов (на вероятность), учитывающих особенности договора (Шахов , Гвозденко и др.).

Это приводит к тому, что страховщик в своих расчетах опирается не на распределения случайных величин, характеризующих вероятности возникновения страховых случаев и их тяжесть, т.е. распределение величины ущерба, а использует специальный показатель: “убыточность страховой суммы”, т.е. отношение общего объема выплат по данному однородному субпортфелю к общему объему страховой ответственности (общей страховой сумме). Разумеется, можно использовать и отношение средних величин. Данный вопрос рассмотрен в соответствующем разделе. Однако, автор настоящей монографии считает, что, несмотря на

80