страхование для выдачи студентам / Элементы страховой математики

Замечание. Если рассмотреть процесс расчета взносов в обратной последовательности (месяц – квартал – год), то может возникнуть впечатление, что страховщик предоставляет скидку «солидному» клиенту, который платит взносы сразу за весь срок действия договора.

В действительности ситуация несколько иная. Формально выполненные расчеты приведут к тем же результатам. Ежемесячный взнос составит 14, причем современная цена трех таких взносов (т.е. за квартал) равна 41 (вместо квартального взноса 40).

Причина этого эффекта становится ясной, если рассмотреть пример, когда страхователь заплатил квартальный взнос, а затем произошел страховой случай, причем до начала третьего месяца (например, в течение второго месяца от начала действия договора). Страховщик выплатил возмещение (т.е. выполнил свои обязательства) и действие договора прекращено.

Ясно, что в данной ситуации страхователю достаточно было бы уплатить только два ежемесячных взноса. Взнос за третий месяц для него «пропал». Страховщик его не возвращает и не засчитывает в счет взносов за новый договор. Клиент «переплатил».

Видно, что в договоре такого типа возникает риск страхователя заплатить больше, чем нужно для страховой защиты. С целью компенсации этого риска необходимо учесть вероятность возникновения подобной ситуации. Это и приводит к тому, что квартальный взнос, уплачиваемый единовременно, несколько меньше современной цены трех ежемесячных взносов по этому договору. Следовательно, дело не в скидке, а в более точном расчете эквивалентности обязательств сторон.

Замечание. Иногда (даже на цивилизованном страховом рынке) агент показывает клиенту не «правильный» тариф, а несколько завышенный (например, на 3%). Цель – создать видимость торговли. Агент внезапно проникается расположением (симпатией) к будущему страхователю и только поэтому снижет (специально для него) утвержденный тариф. Можно даже 1% снять своей властью, а еще 2% от имени своего начальника, которого надо будет еще убедить в целесообразности этого послабления.

Вариантов поведения агента может быть очень много, обсуждение их не входит в предмет нашего курса. Важно отметить, однако, что как бы ни складывался разговор, результат его предрешен заранее, причем

на основе строгих количественных расчетов. Агенту оставлен очень узкий коридор, за пределы которого он выходить не в праве. Надо пройти между «Сциллой» надежности и «Харибдой» конкурентоспособности. Правила игры на рынке – очень жесткие!

Замечание. На современном отечественном страховом рынке редко практикуется уплата страховых взносов чаще, чем раз в полгода, при условии, что большинство договоров заключается на 1 год. Страховщики настаивают на этом, исходя из необходимости контроля

51

над процессом поступления взносов. Каждый взнос (ежемесячный, ежеквартальный, полугодовой или годовой), независимо от размера, требует одинаковых усилий, а следовательно, и затрат. Поэтому «учащение» уплаты взносов приводит к росту расходов на ведение дела. Т.е. увеличивается доля нагрузки в тарифе, что приводит к удорожанию страховых услуг (и без того достаточно дорогих!). Таким образом, в определенном смысле страховщик прав, когда говорит о предоставлении «скидки» клиенту при уплате единовременного взноса. (Точнее, страховщик не берет с клиента денег за дополнительную работу, которую он не выполняет!). Ясно, что речь в этом случае может идти именно (и только!) о скидке с нагрузки, а не с нетто-премии. Выше отмечено, что анализ процесса формирования нагрузки не входит в задачу данной книги. Но надо отметить, что данный эффект проявляется и на цивилизованном страховом рынке. Рядовой страхователь, конечно, этот нюанс не улавливает, и замечает лишь сам факт снижения общей платы за страховку в течение срока действия договора.

2.10.Замечание о равенстве рисков страховщика и страхователя

Впримере с рассрочкой взносов проиллюстрировано изменение цены денег и показано различие рисковых премий, если выплаты дисконтируются и если не дисконтируются. Видно, что эквивалентность обязательств сторон может трактоваться неоднозначно. Проанализируем ситуацию с несколько иных позиций.

Пример 25. Рассмотрим договор о страховании на 1 год от угона автомобиля ценой 25000 у.е. Предполагается, что вероятность угона автомобиля такого класса в течение года равна 0.02, и при угоне страховая сумма, равная цене автомобиля, возмещается полностью. Страховая премия вносится единовременно. Найти рисковую премию.

Решение. 1) В договоре игнорируется процентная ставка. Тогда рисковая премия равна: П = pS = 0.02 25000 = 500. Вероятность играет роль рисковой ставки. В среднем собранные премии равны выплаченным возмещениям, т.е. за счет рисковой премии страховщик никакой прибыли не получит.

2) В действительности ситуация иная. Пусть банковская процентная ставка составляет 12% в год и проценты начисляются в конце каждого месяца. При этом проценты – простые, т.е. 1% в месяц. Возмещение не индексируется. Вероятность угона распределена равномерно.

Тогда внесенные в начале года 500 у.е. превратятся через 1 месяц в 505 у.е., еще через месяц – в 510 у.е. и т.д. В конце года – 555 у.е. Эти деньги находятся у страховщика. Следовательно, если случай произойдет в течение первого месяца, то потери страховщика составят: 25000 – 500 = 24500 у.е. Соответственно, для второго месяца потери составят: 25000 – 505 = 24495 и т.д. до последнего (двенадцатого) месяца, где потери равны: 24445 .

52

Поскольку распределение равномерно, то средние (ожидаемые) потери страховщика составят при наступлении страхового случая составят: 0.5 (24500 + 24445) = 24472.5 у.е. И произойдет это с вероятностью 0.02 . То есть, умножив условное математическое ожидание на вероятность, получим МО потерь страховщика: 489.45 у.е., что не равно 500 – определенной ранее рисковой премии. Более того, с учетом банковского процента потери страхователя в среднем составят: 0.98 (500 + 555)/2 = 516.95 у.е. Разница 27.5 составит для страховщика прибыль за счет неверно назначенной рисковой премии (более 5.6 % ).

Причины этого эффекта две: не учитывается банковский процент для внесенных страхователем рисковых премий и не учитывается, что при выплате возмещения часть этого возмещения составляют средства самого страхователя, которому они выплачиваются. Очевидно, что если вместо простых процентов использовать сложные или непрерывные, то эффект усилится. Разумеется, играет роль и отсутствие индексации для возмещения.

Понятно, что в условиях дикого рынка этот эффект не столь заметен, особенно, отечественному неискушенному страхователю. Однако, при переходе к цивилизованному рынку такие ошибки недопустимы. Завышенный тариф снизит конкурентоспособность, а недобросовестность и некомпетентность подорвут доверие к страховому бизнесу в целом.

3) Какой же должна быть рисковая премия, чтобы риски сторон были равны? Составим уравнение:

(p/12) ∑12 (S – п (1 + i (j-1))) = п(1 – p) ∑12 (1 + i (j-1))/12;

0.02(12 25000 – п∑12 (1 + 0.01(j-1)) = п 0.98 ∑12 (1 + 0.01(j-1));

∑12 (1 + 0.01(j-1)) = 1.00 + 1.01 + … + 1.11 = 12.66;

j=1

(n + in(n+1)/2); 0.02(300000 – п 12.66) = п 0.98 12.66;

6000 = п 12.66 ; п = 473.93 .

Очевидно, страховщик на практике трактует принцип равенства риска несколько иначе: все собранные рисковые премии (в среднем) равны всем выплаченным возмещениям. Т.е здесь не предполагается рисковать деньгами страховщика. Он всегда перекладывает свои расходы на клиента. Если бы он рассчитывал рисковую премию так, как показано, то для обеспечения безубыточности страхования была бы соответственно повышена рисковая надбавка.

Как было показано ранее, рисковая премия определяется из равенства современной цены всех собранных премий и всех ожидаемых

53

выплат. Т.е. здесь не предполагается, что страховщик рискует СВОИМИ деньгами. Тогда П=Sp.

Ранее показано, что можно рассматривать равенство рисков сторон иначе: страхователь рискует суммой П с вероятностью (1-p), а страховщик – суммой (S-П) с вероятностью p, то возникает уравнение:

П(1-p)=(S-П)p . Отсюда: П=Sp, - тот же результат.

Замечание. Недобросовестный страховщик может попытаться обмануть своего клиента с помощью следующих рассуждений. Страховщик рискует страховой суммой S c вероятностью p, а страхователь рискует своей единовременной рисковой премией П с вероятностью 1-p, поэтому: П(1-p)=Sp, т.е. П=Sp/(1-p) > Sp ! Здесь он «не учел», что уже получил взнос П, поэтому он рискует только суммой

S-П.

Замечание. При обсуждении влияния рисковой надбавки на вероятность разорения употреблялся термин «разорение наступает не чаще одного раза в 100 лет». И это понятие привязывалось к вероятности выхода за правую границу доверительного интервала.

В действительности, выход за правую границу с вероятностью 0.01 свидетельствует лишь о том, что из 100 страховщиков с такими характеристиками портфеля В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ГОДА, скорее всего, 1 – разорится, а 99 – выживут. Т.е. решается совсем другая задача.

Если же исследовать вероятность разорения КОНКРЕТНОГО страховщика за n лет, то ситуация – иная. Пусть вероятность разорения страховщика в течение 1 года (т.е. выхода за правую границу) равна P (например, 0.01). Тогда вероятность его выживания в течение года есть Q = 1 – P (т.е. 0.99). А за n лет он должен выжить n раз. Вероятность этого Qn = Q(n) .

В частном случае P = 1/n имеем: (1 – 1/n)n = 1/e = 0.36 . Совершенно неудовлетворительный результат. В более общем случае:

(1–P)n= (1– P)(-1/P)(-n P) = = e(-nP),

т.е. итог определяется значением nP, что позволяет оценить ситуацию в первом приближении.

Теперь можно решить и обратную задачу. Задать вероятность выживания за n лет и по ней определить вероятность выживания за 1 год, а затем по этой вероятности нарушения правой границы найти все требуемые характеристики.

Например, становится понятным, почему в разделе «Степень риска» расчеты проводятся для вероятности разорения в течение года 0.0001, а не 0.01. Этот же пример показывает, почему на бесконечном временном интервале вероятность разорения равна 1. Следовательно, необходимо четко указывать, какая вероятность разорения исследуется: за 1 год или за n лет.

54

Это и есть рисковая премия при полном возмещении ущерба.

А при пропорциональной ответственности (C=20000, S=15000) премия корректируется:

П= M(Y) = M(X) S/C = 100 15000/20000 = 75.

2)Ущерб, нанесенный страхователю, имеет те же характеристики, но по договору (предусматривающему ответственность по правилу первого риска) страховщик либо оплачивает полный ущерб в пределах страховой суммы, либо платит страховую сумму, если ущерб превышает ее. Поэтому:

П = M(Y) = 93.75

Видно, что во втором договоре возрастание ответственности сопровождается увеличением взноса, который (тем не менее) не достигает платы за полную страховую защиту (100). Далее соответствие взноса объему ответственности в разных договорах будет рассмотрен более подробно.

2.12.Понятие о начальном капитале (резерве) и перестраховании

При рассмотрении рисковой надбавки мы столкнулись с невозможностью обеспечить требуемую надежность только за счет взносов страхователей. Поэтому, для повышения вероятности выживания необходимо создать резерв или заключить договор о перестраховании. Рассмотрим первую возможность. При большом однородном портфеле допустима нормальная аппроксимация.

Пример 29. N = 3000, p = 0,003, S = 250000, R = 5%. Найти U.

Решение. Как обычно, найдем среднюю и дисперсию:

M = Np = 9, D = Npq 9. Тогда СКО 3.

Если суммарный иск X, то: R = (1 - Ф((U – M)/ D )/2;

Ф((U-9)/3) = Ф(t)=0.9. t=(U-M)/СКО, т.е. t=(U-9)/3 = 1,645, т.е.

U = 9 + 3×1,645 = 13,9 е.с.с. (или около 3,5 млн.). В этом случае X превысит U не чаще, чем, в среднем, 1 раз в 20 лет. Здесь предполагается, что надбавки нет, взносы платятся в рассрочку, поэтому собранные средства очень малы, и весь ущерб компенсируется из резерва. Если бы рисковые премии вносились единовременно, то суммарный взнос составил бы М=9, поэтому достаточно было бы резерва: t D = 1,645×3=4.935 е.с.с. Итак, необходимо конкретизировать условия решаемой задачи!

56

Если решать эту проблему с помощью только рисковой надбавки, то нетто-премия составит 13,9/9 = 1,54 рисковой премии, т.е. относительная надбавка составит 54%.

Изучение проблем перестрахования начнем с простейших примеров расчета размера возмещения, опираясь на сведения, известные из теоретического курса по страхованию. Основной страховщик –

цедент – становится перестрахователем, обращаясь за перестраховочной защитой к коллеге – перестраховщику.

Пример 30. В договоре квотного перестрахования доля перестраховщика составляет 20% по каждому риску этого вида, но не более 25 тыс. по каждому случаю. Страховщик (цедент, перестрахователь) принял от страхователя 3 риска: 100, 125 и 150 тыс. По всем трем договорам произошли страховые случаи, повлекшие полное уничтожение объекта. Сколько заплатит перестраховщик цеденту?

Решение. Размер переданного риска составит соответственно: 20, 25, 25 тыс. (В третьем случае 20% составят 30 тыс., но есть ограничение: до 25!). Поэтому доля перестраховщика в возмещении: 70 тыс. у.е.

Пример 31. Договор о перестраховании 3-х наибольших убытков за год, но не более 100 млн. за все три вместе. Фактические убытки за год составили (в млн.): 10, 17, 21, 35, 18, 42, 22, 20, 15. Сколько заплатит перестраховщик?

Решение. 42+35+22=99<100, поэтому 99.

Если бы произошел еще один случай с убытком 25 млн., то

42+35+25=102>100, поэтому только 100.

2.13.Оценка объема риска, передаваемого на перестрахование

Предположим, что в большом однородном портфеле, где допустима нормальная аппроксимация суммарного ущерба, страховщик удерживает выплату возмещения ущерба до «a» включительно, а риск возмещения ущерба от «a» до «b» передает на перестрахование. (Далее расположена зона необеспеченного риска, попадание в которую может привести к техническому разорению страховщика.) Надо оценить объем ответственности перестраховщика, на основе чего определится математическое ожидание его риска. Таким образом, из принципа эквивалентности обязательств сторон, будет найдена рисковая премия в перестраховочном договоре. При необходимости можно оценить и отклонение риска перестраховщика от среднего значения, что позволит указать его рисковую надбавку, а, следовательно, уточнить нетто-

57

премию. Сначала считаем, что относительная рисковая надбавка в перестраховочном договоре – фиксирована.

В первом приближении оцениваем математическое ожидание риска перестраховщика по формуле:

∫(x-a) f(x) dx

Ситуация проиллюстрирована на следующем графике. Разумеется, на практике интеграл считается численно. Нас в этом учебном примере интересует принцип решения задачи. Криволинейная трапеция, образованная плотностью f(x), заменяется прямоугольной трапецией (на основе хорды g(x), проходящей выше дуги, с учетом поведения плотности на правом участке). Поэтому площадь (значение искомого интеграла) несколько возрастает. Разумеется, при численном интегрировании для повышения точности одна «большая» прямоугольная трапеция заменяется несколькими «маленькими», т.е. эффект сохраняется, но проявляется слабее.

Итак, y(a) = f( aσ−µ) , y(b) = f( bσ−µ ) ; хорда g(x) имеет вид:

Подставим значения «a» и «b», а также значения параметров нормального закона, например, npS и npqS2 в формулу плотности f(x) и

58

получим f( a σ− µ ) , f( b σ− µ ). Отметим, что, если значение S, одинаковое

для всех договоров, принять за «единицу страховой суммы», то можно не учитывать множитель S. Т.е. все расчеты будут вестись в «е.с.с.». Определив математическое ожидание риска перестраховщика, примем его в качестве рисковой премии в перестраховочном договоре. Если известны: относительная рисковая надбавка перестраховщика для подобного риска, его нагрузка и комиссионные, уступаемые цеденту, то можно последовательно найти нетто-премию и брутто-премию.

Пример 33. По данным примера 29 требуется повысить надежность (вероятность выживания) до 0.99 с помощью перестрахования. Оценить рисковую премию в перестраховочном договоре.

Решение. Определим границы ответственности перестраховщика. Резерв обеспечивает вероятность выживания 0.95, т.е., если объем

ущерба не превысит: M+U=13.9. Если ε=0.01 то t=2,33, поэтому:

M+tS=9+2,33*3=16,0.

Следовательно, границы ответственности перестраховщика: от

13,9 до 16,0. Тогда y(a)=f(1.645)=0,1031, y(b)=f(2,33)=0,0264. Подставим в формулу и получим:

M(Z)=0,33×(0,1031+0,0264)×(16,0-13,9) 2 =0,19 е.с.с.

Итак, получено значение МО риска перестраховщика, т.е. рисковая премия в перестраховочном договоре. Зная относительную рисковую надбавку перестраховщика h и его нагрузку f1 (с учетом комиссионных), можно последовательно определить его нетто-премию:

НП = РП (1 + h), а затем и брутто-премию: БП = НП/(1 – f1).

Более подробно перестрахование рассмотрено в соответствующем разделе. Здесь достаточно отметить, в первом приближении, что принцип расчета цены перестраховочной защиты аналогичен правилу расчета цены страховой защиты в основном договоре. Т.е., определяется рисковая премия и рисковая надбавка, а затем – брутто-премия. Специфика: в более высокой надежности, т.е. в повышенной относительной надбавке и наличии комиссионных, уступаемых перестраховщиком цеденту (снижении нагрузки). В целом, перестрахование одной единицы риска стоит дороже, чем страхование этой единицы в основном договоре. Поэтому цедент без веских причин не обращается к перестраховщику.

59