страхование для выдачи студентам / Элементы страховой математики

Врассмотренной схеме предполагалось, что ответственность перестраховщика начинается после окончания ответственности страховщика. Однако, возможно и долевое перестрахование, когда ответственность по каждому случаю из некоторого диапазона разделена

вопределенной пропорции между страховщиком и перестраховщиком. Естественно, при выборе схемы перестрахования следует учесть такую возможность и выполнить соответствующие расчеты.

На практике не применяется схема, где зоны ответственности резерва и перестраховщика меняются местами. Свой резерв при этом существенно падает, но плата перестраховщику существенно возрастает. Должна возникнуть какая-то особая (искусственная) ситуация, при которой такая политика страховщика была бы оправдана.

Утверждение о неоднозначности решения задачи определения границ зоны ответственности страхового резерва и его величины базируется на известном из теории вероятности факте. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал численно равна площади фигуры под кривой плотности распределения. И для любого распределения, кроме равномерного, эта площадь зависит не только от длины интервала, но и от его местоположения.

Например, для унимодальных распределений, как нормальное или пуассоновское, эта площадь уменьшается при удалении от моды (для интервалов одинаковой длины). Данное обстоятельство и объясняет тот факт, что на практике на перестрахование передаются отдаленные

(большие) риски, которые достаточно редки, по сравнению со средними. А риски в промежутке между средними и большими перекрываются своими резервами, в надежде, что прибегать к резерву почти не придется.

Это же обстоятельство объясняет и поведение компании, когда она сокращает свой резерв (зону ответственности резерва), увеличивая передаваемый риск и плату за него. Компания рассчитывает инвестировать высвобожденные средства и не только компенсировать увеличение оплаты перестрахования, но и перекрыть его да еще получить некоторый доход.

Встранах с развитой рыночной экономикой данные варианты давно актуарно оценены, и по результатам исследований (подтвержденных практикой) принят ряд законов, регламентирующих инвестиционную деятельность страховых компаний. Смысл этих мер - повысить надежность страхования в целом, то есть помешать страховщикам разориться, участвуя в сомнительных проектах в погоне за сверхприбылью.

При работе актуария, например, с распределением Пуассона, возникают некоторые вопросы, решение которых требует определенной аккуратности. Как известно, нормальный закон распределения является предельным случаем для нескольких законов, в том числе, для биномиального и пуассоновского. Поэтому существует возможность

31

аппроксимировать правую часть распределения Пуассона нормальным законом. А это, в свою очередь, позволяет упростить решение задач построения доверительных интервалов.

Однако здесь необходимо оценить точность подобной аппроксимации. Очевидно, на различных участках правой ветви эта точность будет различной. Это порождает целое направление актуарных исследований. (В данной книге приведен соответствующий пример.)

Существует и еще один смежный вопрос, требующий достаточно тонкого подхода. В основе задачи лежит биномиальное распределение, которое можно аппроксимировать как нормальным (если вероятность р в отдельном испытании не стремится ни к 0, ни к 1), так и распределением Пуассона (если р стремится к 0). Понятно, что применить эти две аппроксимации одновременно нельзя. (А четкая граница, разделяющая области применения этих аппроксимаций, - отсутствует!).

В то же время распределение Пуассона можно аппроксимировать нормальным распределением при достаточно большом значении λ. (см. В. Феллер /27/). Возникает некоторое противоречие, разрешение которого также представляет определенный интерес, как для актуарной науки, так и для практических задач.

Как ни парадоксально, но численное решение задачи построения доверительных интервалов для сравнительно простого распределения Пуассона получается, в принципе, значительно проще, чем аналитическое. Можно поручить ПЭВМ вычислить вероятности того, что произойдет именно k страховых случаев, и накапливать сумму этих вероятностей (либо в требуемом диапазоне изменения k, либо до получения требуемого значения этой суммы). Такой подход достаточно часто реализуется при создании актуарных ППП, но для актуария интерес представляет и аналитическое решение. Его можно использовать для решения других, более сложных задач.

32

7.5 тыс., которые должны быть возмещены на 50% , т.е. в размере 3.75 тыс. Здесь условие “50%” учтено дважды, т.е. клиент, заплатив за половину риска, получит только 25% компенсации.

Замечание. На цивилизованном страховом рынке действуют четкие законы (и они дополнительно конкретизируются общими правилами страхования, которым заключаемый договор не может противоречить!). Поэтому возможность обмана страховщиком своего клиента практически исключена, следовательно, он и не будет пытаться это сделать.

Согласно общим правилам страхования страховая сумма S не может превышать реальную цену застрахованного объекта С. Кроме того, величина ущерба X также не может превышать С. Наконец,

возмещение V не превышает min(X,S). Согласно принципу

пропорционального возмещения: V = (X/C) S = (S/C) X.

Пример 3. Коттедж ценой 250 тыс. у.е. застрахован на 1 год на условиях сострахования у четырех страховщиков, каждый из которых принял на себя риск 50 тыс. Взносы оплачены единовременно. Через полгода дом был полностью уничтожен. Но к этому времени один из четырех страховщиков разорился. Какую компенсацию получит страхователь?

Решение. Отметим двойную недальновидность страхователя. Он оставил 50 тыс. на своем риске. И не предусмотрел возможности разорения страховщика (за которого его коллеги не отвечают). Поэтому он получит не 200, а только 150 тыс. Он должен был застраховаться у одного страховщика на полную стоимость коттеджа, оговорив при этом перестрахование этого риска. (Последнее условие, как и случай разорения страховщика – специфика современной российской действительности!)

Замечание. Разумеется, один страховщик тоже может разориться (даже при наличии перестраховочного договора). Поэтому страхователю лучше обратиться в страховой пул, устойчивость которого выше, чем у отдельных страховщиков.

Пример 4. Пусть действительная цена автомобиля – 5000 у.е., а величина ущерба – 3000. Найти возмещение.

Решение. Возмещение V зависит не только от цены C, но и от страховой суммы S. В частном случае, если эти два значения совпадают, S = C = 5000, то возмещение V равно величине ущерба X=3000. Если S<5000, например 2500, то возмещение соответственно уменьшается:

V = S/C*X = (2500/5000) 3000 = 1500 у.е. Но если S > 5000 , например,

7000, то возмещение не увеличивается и равно: V = X = 3000 у.е. (Страхование не является средством обогащения!)

34

Тогда СКО = 3.46 104 ; коэффициент вариации: 34600/300 = 115 . Здесь проиллюстрирована опасность для страховщика принятия

одного риска.

Пример 9. Ущерб при пожаре (если он произошел) распределен по экспоненциальному закону со средним значением 2000. Предел ответственности страховой компании 5000. Найти среднее значение действительно предъявленного иска.

Решение. Уточним, если X < L, то компания платит X; иначе платит L, т.е. Y = min(X,L) . Поэтому строим распределение величины

действительно предъявляемого иска:

P(Y≤ x) = 1 , если x ≥ L ; или P(Y≤x) = P(X ≤ x) , если x< L.

Можно рассмотреть:

P(Y > x) = 0, если x ≥ L; или P(Y≤x) = P(Y > x), если x > L.

Теперь находим математическое ожидание, рассматривая (вместо интеграла от 0 до бесконечности) интеграл от 0 до L, (после L подынтегральная функция равна 0). Получим:

F(x) = 1 – exp(-αx); f(x) = F ' (x) = α exp(-αx); α = 1/ x . По условию: x = 2000, (α = 1/2000 = 0.0005); L = 5000; Y = X, если x < L = 5000; и Y = L, если x > L.

37

M(Y) = 2000 (1 – exp(-5/2)) = 1836 < 2000 = x ; lim M(Y) = α1) = x = 2000.

Результат можно получить несколько короче:

Отметим, что найденное среднее значение меньше параметра, и это будет иметь место при любом L, причем с увеличением L разность будет стремиться к 0. Это определяется свойствами экспоненциального распределения.

Замечание. Строго говоря, надо различать «предъявляемый» и «оплаченный» иски. Они не обязаны совпадать. (Предъявленный иск равен размеру реального ущерба, а оплаченный определяется условиями договора.) Разумеется, второй не больше первого. И в примере исследуется именно «оплаченный» иск. Но данный пример несколько идеализирован и предполагает равенство этих двух величин.

2.4.Пример комбинированного страхования

Определенный эффект создает такой прием, как комбинированное страхование, которое позволяет несколько снизить тарифы из-за практической невозможности одновременного возникновения нескольких страховых случаев. Рассмотрим пример комбинированного страхования.

Пример 10. Первый страхователь застраховал на один год свое домашнее имущество на сумму в 1000 условных единиц:

-от пожара в компании X (событие А с вероятностью 0.02);

-от порчи в результате аварии системы горячего водоснабжения в компании Y (событие В с вероятностью 0.01);

-от кражи в компании Z (событие С с вероятностью 0.03).

По договору, если случай произошел, то компания выплачивает страховую сумму полностью, независимо от величины фактического ущерба. Процентная ставка не учитывается, рассчитывается только единовременная рисковая премия.

Решение. Единовременные рисковые премии равны: S p (в первом договоре 20, во втором 10, в третьем 30). Итого: клиент заплатил 60 у.е. взносов.

Пример 10.1. Второй страхователь застраховал такое же имущество на ту же сумму от тех же трех рисков (на тех же условиях) в одной компании одновременно в одном договоре. Найти единовременную рисковую премию.

38

Решение. Очевидно, что одновременно может произойти не более одного из этих трех событий. (Реализация одного из них автоматически делает невозможным два других.) Поэтому надо рассматривать не

событие: (А В С), а событие ((A B C) (A B C) (A B C)),

вероятность которого равна не 0.06, а числу:

0.02 0.99 0.97 + 0.98 0.01 0.97 + 0.98 0.99 0.03 =

= 0.019206 + 0.009506 + 0.029106 = 0.057818

Единовременная рисковая премия равна 57.8 у.е. и уменьшилась почти на 4%. Соответственно уменьшились и периодические ставки (рисковая, нетто- и брутто-). Естественно, агент страховой компании представляет это снижение тарифа, как премию, выплачиваемую компанией клиенту за разностороннее сотрудничество, то есть как скидку. В действительности компания ничего не теряет, она просто возвращает клиенту его же деньги. Она не может поступить иначе. Вопервых, из-за конкуренции, а во-вторых, такой неправильный расчет рисковой премии (и всех последующих!) вызовет недовольство «Cтрахнадзора», который воспримет это как некомпетентность и попытку обокрасть клиента (и тем самым подорвать его доверие к страховому делу вообще). На практике недостаточно квалифицированный клиент может этой детали не заметить, чем страховщик и пользуется, особенно, в России.

10.2. Размер скидки может меняться. Например, все вероятности увеличились в 10 раз и составили соответственно: 0.2, 0.1, 0.3 .

Решение. Для первого клиента сумма рисковых премий равна 600 у.е. А для второго равна:

0.2 0.9 0.7 + 0.8 0.1 0.7 + 0.8 0.9 0.3 = 0.126 +0.056 + 0.216 = 0.398

Тогда рисковая премия равна 398 у.е., то есть снизилась более, чем в 1.5 раза, а скидка составила 34% .

Итак, точный учет вероятности сложного события, вероятности совместного появления отдельных страховых случаев позволяет компании снизить свои тарифы и тем самым повысить конкурентоспособность при той же надежности.

2.5.Страхование ответственности владельца автомобиля

Теперь рассмотрим пример страхования ответственности автомобилиста. Водитель может (в принципе) относиться к одному из нескольких классов надежности (с точки зрения безаварийной езды). Это события Ai с вероятностями P(Ai). Для каждого класса известна вероятность совершить аварию (событие B) за единицу времени (обычно срок договора 1 год), то есть известны условные вероятности P(B/Ai)

39

совершить аварию, если водитель принадлежит к определенному классу надежности.

В зависимости от принадлежности к классу устанавливается тариф при страховании ответственности. Есть два водителя, априорно отнесенные к одному и тому же классу. Поэтому тарифы у них одинаковы. За год один из них совершил аварию, а другой не совершил. Как это отразится на их новой классификации (и как следствие на новых тарифах) на следующий год?

Эта задача решается с помощью формулы Байеса. Рассчитываются апостериорные вероятности принадлежности к различным классам для обоих водителей. Затем для каждого полученные вероятности сравниваются с заданными ранее (априорными). Если различие существенное, водителя переводят в другой класс, что отражается на размере платы за страховку. При несущественном различии он остается в прежнем классе. На практике для поощрения необходимо несколько лет безаварийной езды в каждом классе, чтобы перейти в более высокий. Но достаточно одной аварии для перевода в более низкий. Дело в том, что P(Ai/B) существенно отличается от P(Ai), но P(Ai | В ) несущественно отличается от P(Ai). Должно пройти k лет (событие В повторится подряд k раз), чтобы (P(Ai | В )) стало существенно отличаться от (P(Ai)) .

Пример 11. Известно, что 20% водителей – новички, для которых вероятность попасть в аварию в течение года равна 0.2. Для 30% водителей со средним стажем безаварийной езды эта вероятность – 0.15. Опытные водители (их 40%) попадают в аварию с вероятностью 0.1. А 10% «асов» - с вероятностью 0.05. Проанализировать ситуацию.

Решение. Составим вспомогательную таблицу.

Видно, что происшедшая авария сильно уменьшила вероятности отнесения водителя к благополучным классам и увеличила вероятности его зачисления в неблагополучные. А если аварии не было, то вероятности практически сохранились. Причина этого эффекта в сравнительно малых значениях вероятностей совершить аварию во всех классах.

40