страхование для выдачи студентам / Элементы страховой математики

91.Уменьшение размера удержания приводит к следующим результатам:

а) повышается ожидаемая прибыль и одновременно увеличивается вероятность разорения; б) снижается ожидаемая прибыль и одновременно снижается вероятность разорения;

в) повышается прибыль и устойчивость страховщика; г) снижается прибыль и устойчивость страховщика.

92.Резерв премий состоит из:

а) средств страховщика; б) единовременных премий, внесенных в предыдущем календарном году;

в) собранных рисковых надбавок.

93. Технические резервы предназначены для:

а) защиты от колебаний суммы убытков в пределах нормального отклонения от среднего уровня; б) оплаты услуг перестраховщика;

в) будущих выплат по случаям, которые уже произошли, но еще не заявлены.

94. При обсуждении проблемы определения размера удержания приведена формула (из кн. Штрауба):

Дайте содержательную интерпретацию этой формулы:

а) объем передаваемого риска должен обеспечивать максимальную прибыль цедента при минимальной вероятности его разорения; б) потребность в перестраховочной защите должна соответствовать отношению пользы этой защиты к ее стоимости; в) размер удержания определяется из условия максимальной прибыли цедента при ограничении на вероятность разорения; г) размер удержания определяется из условия минимизации

вероятности разорения при ограничении на размер ожидаемой прибыли.

321

3.Итоговый тест для аудиторной контрольной работы

1.В чем выражается эквивалентность обязательств сторон?

2.Какой математический принцип обеспечивает эквивалентность обязательств сторон?

3.Какая характеристика вычисляется на основе эквивалентности обязательств?

4.Чем отличаются: рисковая премия, нетто – премия, брутто – премия?

5.Какова роль рисковой надбавки?

6.Какова роль нагрузки?

7.Какова роль начального резерва?

8.В чем цель перестрахования?

9.Охарактеризуйте структуру риска страховщика и пути его покрытия.

10.В чем состоит предпринимательский риск в страховом бизнесе?

11.Как понимается однородность страхового портфеля и для чего она исследуется?

12.Каким образом влияет объем портфеля на устойчивость страховщика?

13.Что понимается под устойчивостью страховщика?

14.Портфель состоит из нескольких однородных договоров. Какой математический аппарат используется для оценки суммарного ущерба?

15.Что такое – франшиза и для чего она предназначается?

16.О каких убытках страхователь должен информировать страховщика при наличии франшизы и почему?

17.Что такое – квотное перестрахование?

18.Что такое – эксцедентное перестрахование?

19.Что такое – уровень удержания и на что он влияет?

20.Каково соотношение между рисковыми надбавками у страховщика и перестраховщика и почему?

21.Что происходит с риском при заключении договора об эксцедентном перестраховании?

22.Как влияет договор об эксцедентном перестраховании на цену договора страхователя со страховщиком?

23.Что понимается под разорением страховщика в актуарных расчетах?

24.Сформулируйте принципы актуарной оценки вероятности разорения.

25.Использование распределения Пуассона в актуарных расчетах.

26.Оценка параметра распределения Пуассона методом максимального правдоподобия.

27.Использование экспоненциального распределения в актуарных расчетах.

322

28.Оценка параметра экспоненциального распределения методом максимального правдоподобия.

29.Использование нормального закона в актуарных расчетах.

30.Оценка параметров нормального закона методом максимального правдоподобия.

31.Почему в имущественном страховании практикуются, в основном, краткосрочные договора?

32.Франшиза – это атрибут имущественного страхования или страхования жизни или страхования дополнительной пенсии?

33.Почему в имущественном страховании возникает проблема определения величины реального ущерба?

34.Почему в имущественном страховании возникает проблема оценки закона распределения величины реального ущерба?

35.В чем состоит проблема работы с новым риском?

36.Почему в имущественном страховании повышается роль дисперсии риска (по сравнению со страхованием жизни)?

37.Как определить размер ожидаемой прибыли?

38.Как актуарно определяется разорение страховщика?

39.Какой математико-статистический аппарат используется для определения вероятности разорения страховщика?

40.Как влияет капитал страховщика на вероятность его разорения? 41.Как влияет перестрахование на вероятность разорения цедента? 42.Сформулируйте принцип нахождения оптимального уровня

удержания в эксцедентном перестраховании.

43.За счет чего повышается устойчивость цедента при квотном перестраховании?

44.Что такое степень риска и какова ее роль в актуарных расчетах? 45.Как используется степень риска для оценки целесообразности

принятия нового риска?

46.Как используется степень риска для оценки целесообразности объединения субпортфелей?

47.Как используется степень риска для оценки “границы безопасности” – максимально возможной величины принимаемого риска?

48.Как используется степень риска для оценки целесообразности заключения договора о перестраховании?

49.В чем состоит проблема образования коалиций отдельных субпортфелей внутри одного портфеля?

50.Какие меры должен принять страховщик во избежание создания коалиций?

51.На каких принципах основано оценивание распределения величины суммарного ущерба в портфеле?

52.На основании чего страховщик определяет, какую часть риска должен перекрывать собственный резерв, а какую следует перестраховать?

323

53.В чем различие между облигаторным и факультативным перестрахованием (с актуарных позиций)?

54.Сформулируйте идею индивидуальных моделей риска.

55.Сформулируйте идею коллективных моделей риска.

56.Сложное распределение Пуассона и его применение.

57.Принципы построения функции полезности.

58.Применение функции полезности в страховании.

59.Идея доверительных оценок в страховании

60.Основные подходы в построении оценок для вероятности разорения.

4. Возможные задачи для аудиторной контрольной работы, зачета, экзамена

1)Автомобиль ценой S=С=10000 застрахован от угона (полная стоимость с вероятностью p1=0.03) и от аварии, которая может произойти с вероятностью p2=0.05; в этом случае ущерб распределен равномерно. Определить единовременные премии при раздельном и комбинированном страховании. При раздельном страховании найти надбавки на безопасность, считая их равными СКО, при условии, что компания имеет портфель из n=2500 подобных договоров. Нагрузка составляет 10% от тарифа.

2)В условиях задачи 1: С=S=15000, p1=0.04, p2=0.03, n=1600.

3)В условиях задачи 1: С=S=20000, p1=0.02, p2=0.04, n=900.

4)Дом ценой 50000=S=С застрахован от полного разрушения при землетрясении (с вероятностью p1=0.02) и от пожара (с вероятностью p2=0.05), при котором ущерб распределен равномерно. Найти единовременные премии при раздельном и комбинированном страховании. Определить надбавки на безопасность при раздельном страховании, приняв их равными СКО, при условии, что компания имеет n=900 таких договоров. Нагрузка составляет 12% от тарифа.

5)Решить задачу 4 при: С=S=70000, p1=0.03, p2=0.07, n=400.

6)Решить задачу 4 при: С=S=80000, p1=0.04, p2=0.08, n=625.

7)Корабль ценой 1 млн. застрахован от потопления (полный ущерб с вероятностью p1=0.01) и от аварии с вероятностью p2=0.05, тогда ущерб распределен равномерно в пределах (0%, 50%) цены корабля. Найти единовременные премии при раздельном и комбинированном страховании и надбавки при раздельном страховании, считая их равными СКО, при условии, что число договоров n=100. Нагрузка равна 15% тарифа.

8)Решить задачу 7 при: С=S=2, p1=0.02, p2=0.04, (0%, 60%),

n=150.

9)Решить задачу 7 при: С=S=3, p1=0.015, p2=0.06, (0%, 40%),

n=200.

324

10)Автомобиль ценой С=12000 застрахован от аварии с вероятностью p=0.05; ущерб распределен равномерно. Найти единовременную рисковую премию и проанализировать изменение этой премии при наличии условной и безусловной франшизы L=1000, 2000, 3000.

11)Решить задачу 10 при: С=15000, p=0.04, L=2000, 3000, 4000.

12)Решить задачу 10 при: С=18000, p=0.06, L=1500, 2500, 3500.

13)Есть n=1000 однородных договоров страхования автомобилей от угона (С=S=10000, p=0.02). Найти единовременную рисковую премию и надбавку на безопасность, считая ее равной СКО. Найти квартальную премию при равномерном и экспоненциальном распределении вероятности страхового случая в течение года.

14)Решить задачу 13 при: С=S=12000, n=500, p=0.03.

15)Решить задачу 13 при: С=S=15000, n=800, p=0.04.

16)Компания имеет 2 крупных риска: С1=S1=1млн., С2=S2=2 млн., P1=0.04, p2=0.03. Ущерб, если случай произойдет, распределен равномерно. Компания передает на перестрахование суммарный ущерб по этим двум рискам с уровнем собственного удержания M=0.5 млн. Считая надбавку на безопасность равной d1=10% у страховщика и d2=15% у перестраховщика (после вычета комиссионных), показать, как этот договор о перестраховании отразится на цене основного договора для страхователя.

17)Решить задачу 16 для: С1=S1=2, С2=S2=3, p1=0.05, p2=0.06, M=1, d1=12%, d2=18%.

18)Решить задачу 16 для: C1=S1=3, С2=S2=5, p1=0.03, p2=0.02, M=2, d1=11%, d2=16%.

19)Дом ценой C=70000 застрахован от пожара с вероятностью случая p=0.05 и равномерным распределением величины ущерба (0%, 50%) цены. Найти единовременную рисковую премию (S=C) и проанализировать изменение премии при наличии условной и безусловной франшизы L=5000, 10000, 15000.

20)Решить задачу 19 для: C=80000, p=0.04, (0%, 60%), L=10000, 15000, 20000.

21)Решить задачу 19 для: C=100000, p=0.03, (0%, 40%), L=5000, 7000, 10000.

22)Есть n=1000 однородных договоров с вероятностями p=0.01 (L=10) и страховыми суммами в 1 е.с.с. Надбавка у страховщика d1=10%, а у перестраховщика d2=15% (после вычета комиссионных) от рисковой премии. Найдено: SUM Pr(m = k, k=0,...,9)=0.458. Дальнейшие значения Pr(m = k) при k=10,...21 равны: 0.125, 0.114, 0.095, 0.073, 0.052, 0.035, 0.022, 0.013, 0.007, 0.004, 0.002, 0.001 . Банковская ставка i=20% в

год. Определить политику компании (резерв и уровень собственного удержания, объем передаваемого риска), если компания обязана обеспечить надежность P=0.99.

23)Решить задачу 22 при: d1=12%, d2=18%, i=25%, P=97%.

325

24)В задаче 22 изменения: n=2000, p=0.01, L=20, SUM Pr(m = k, k=0,..,20)=0.559, при k=21...35 Pr(m = k): 0.085, 0.077, 0.067, 0.056, 0.044, 0.034, 0.025, 0.018, 0.012, 0.008, 0.005, 0.003, 0.002, 0.001, 0.001. i=25%, P=95%, d1=10%, d2=15%.

25)В задаче 24 изменения: d1=12%, d2=17%, i=20%, P=0.98.

26)В задаче 22 изменения: n=1000, p=0.011, L=11, при k=0,...,11: SUM Pr(...)=0.579, а при k=12,...,23 Pr(m = k): 0.109, 0.092, 0.073, 0.053, 0.037, 0.024, 0.014, 0.008, 0.005, 0.002, 0.001, 0.001. i=20%, P=0.98, d1=10%, d2=15%.

27)В задаче 26 изменения: d1=12%, d2=17%, i=25%, P=0.99.

28)Потенциальный страхователь имеет капитал А=1000 и использует функцию полезности U=x^0.8 для оценки своего выбора. Ущерб распределен равномерно на (0, 300). Кроме отказа от страхования возможны следующие договоры: полная защита, защита с безусловной франшизой L=50, защита с условной франшизой 50, полная компенсация ущерба до К=200 и возмещение 50% ущерба сверх этого значения. При условии конкурентоспособности различных вариантов с точки зрения, основанной на функции полезности, какой может быть цена каждого договора?

29)В задаче 28 : A=2000, U=x^0.6, (0,500), L=100, K=400.

30)В задаче 28 : A=1500, U=x^0.7, (0,400), L=100, K=300.

31)Коттедж приобретен за 200 тыс. у.е. Через два года владелец решил его застраховать (как строение) от пожара. Страховщик оценил объект в 180 тыс. у.е. Стороны договорились о страховой сумме 150 тыс. у.е. и заключили договор на 1 год. Через полгода дом сгорел. Эксперт оценил то, что осталось от дома (стены, перекрытия и т.д.), в 60 тыс. у.е. Какую компенсацию получит страхователь?

32)Владелец автомобиля ценой 6 тыс. у.е. застраховал его от угона:

вкомпании А на 4 тыс., а в компании В – на 5 тыс. За период действия договора автомобиль был угнан. Какую компенсацию получит страхователь от каждой компании?

33)Владелец катера ценой 3000 застраховал его на условиях полного возмещения. Страховщик оценил вероятность страхового случая в 0.01. Владелец яхты ценой 10000 тоже застраховал ее на тех же условиях. Вероятность страхового случая 0.005. Сравнить рисковые премии и прокомментировать результаты.

34)При возникновении страхового случая (р = 0.05) величина ущерба распределена дискретно:

Найти математическое ожидание и дисперсию величины ущерба для страхователя и для страховщика, если ущерб компенсируется полностью.

35) В условиях задачи 34 найти характеристики ущерба страховщика при страховой сумме 700, если договор предусматривает:

326

а) пропорциональное возмещение; б) возмещение – по правилу первого риска.

36)В условиях задачи 34 объявлена франшиза 300: а) условная; б) безусловная.

37)Автомобиль ценой 5000 у.е. застрахован от аварии, вероятность которой 0.01. Величина ущерба распределена равномерно, ущерб компенсируется полностью. Найти характеристики ущерба страховщика.

38)В условиях задачи 37 объявлена страховая сумма 3000 с ответственностью: а) пропорциональной, б) по правилу первого риска.

39)В условиях задачи 37 объявлена франшиза 1000: а) условная; б) безусловная.

40)В договоре огневого страхования коттеджа ценой 200 тыс. У.е. оценить «экономию» страхователя на размере рисковой премии, если он заключит «комбинированный» договор, по сравнению с общей ценой четырех отдельных договоров. Договор предусматривает страхование от следующих случаев:

- от пожара, вероятность 0.004; - от удара молнии (р = 0.002); - от взрыва (р = 0.003);

- от падения пилотируемого летательного аппарата (р = 0.001).

41)При страховании ответственности владельца автомобиля все клиенты разбиты на 5 классов. Вероятности отнесения водителя к каждому из них соответственно равны: 0.2, 0.3, 0.3, 0.1, 0.1, а возможность совершить аварию оценена соответственно: 0.05, 0.04, 0.03, 0.02, 0.01. Как изменятся вероятности отнесения клиента к прежнему классу, если он в течении срока действия договора совершил аварию?

42)В условиях задачи 41 оценить ситуацию, если аварии не было.

43)На страховом рынке данный риск страхуют две компании. Портфель одной из них содержит 400 одинаковых договоров. У другой в портфеле 900 договоров. Какую рисковую премию и какую неттопремию назначит каждый страховщик, если страховая сумма 1000, вероятность страхового случая 0.01, имущество уничтожается полностью и, соответственно, ущерб полностью компенсируется. Страховщики обязаны обеспечить 95% надежность, не имея начального капитала и не прибегая к перестрахованию.

44)В условиях задачи 43 проанализировать изменение рисковой надбавки для объема портфеля: 100, 200, … 900, 1000.

45)В договоре на 1 год единовременная рисковая премия равна 100 у.е. Найти квартальную рисковую премию, если вероятность возникновения страхового случая распределена равномерно, а в течение 1 года случай может наступить с вероятностью 0.12. Процентная ставка равна 24% в год с ежемесячным начислением процентов.

46)В условиях задачи 45 найти ежемесячную рисковую премию.

327

47)Портфель содержит 800 договоров, в каждом из которых страховая сумма равна 5000 у.е., а вероятность страхового случая 0.01. По условиям конкуренции рисковая надбавка не может превышать 25%. Страховщик обязан обеспечить надежность 99%. Какой начальный капитал ему нужен?

48)В условиях задачи 47 страховщик не имеет своих средств и должен заключить договор о перестраховании. У перестраховщика рисковая надбавка равна 30%. Найти размер передаваемого риска.

49)В портфеле 3 однородных договора, предусматривающих либо полную компенсацию 10 тыс. у.е. с вероятностью 0.1, либо частичную компенсацию 1 тыс. у.е. с вероятностью 0.2. Найти рисковую премию. Проанализировать зависимость надежности от размера рисковой надбавки.

50)Есть портфель n=500, p=0.01; S=10 е.с.с. – выплачивается полностью при наступлении страхового случая, надбавка составляет 20%. Найти надежность, обеспеченную нетто-премией.

51)В условиях задачи 50 найти надбавку, обеспечивающую надежность 90%.

52)Вероятность страхового случая 0.05. Ущерб распределен равномерно от 0 до цены застрахованного объекта 1000. В договоре предусмотрена безусловная франшиза 200. Найти рисковую премию.

53)В условиях задачи 52 – франшиза – условная. Найти неттопремию, если надбавка равна СКО.

54)У страховщика два одинаковых договора с вероятностью страхового случая 0.05 и с распределением ущерба:

Составить закон распределения суммарного ущерба в портфеле и найти нетто премию, если надбавка равна СКО.

55)В условиях задачи 54, если у страховщика надбавка равна 20%,

ау перестраховщика 30%, оценить целесообразность эксцедентного перестрахования суммарного ущерба (>10000).

56)В условиях задачи 55 сравнить позиции перестраховщика, если он знает обо всех убытках цедента, и если он знает лишь о тех, в компенсации по которым он участвует.

57)Портфель цедента содержит 20000 договоров с вероятностью страхового случая 0.02. Страховые суммы различны (есть 4

субпортфеля): N1 = 10000, S1 = 1 млн., N2 = 6000, S2 = 2 млн., N3 = 3000, S3 = 5 млн., N4 = 1000, S4 = 10 млн. Относительная надбавка для всех одинакова и равна 20%. А у перестраховщика 30%. Оценить целесообразность перестрахования только самых крупных рисков (S4 = 10 млн.).

58)В условиях задачи 57 найти оптимальный (для цедента) уровень собственного удержания.

328

59)Страховая сумма 20 тыс. у.е. Вероятность страхового случая

0.01.По условиям договора сумма выплачивается полностью. Портфель содержит 2500 договоров. Найти степень риска в портфеле.

60)В условиях задачи 59, используя нормальную аппроксимацию закона Пуассона, оценить рисковую надбавку, обеспечивающую надежность 0.97.

61)Компания принимает новую группу из 30 страхователей с вероятностью страхового случая 0.01 и страховой суммой 1000 у.е. Какими средствами должен располагать страховщик, чтобы с практической достоверностью (0.999) гарантировать выполнение своих обязательств?

62)Имеется портфель страхования от несчастных случаев. Вероятность смерти 0.0005, вероятность несчастного случая без смертельного исхода 0.0015. Оценка поправочного коэффициента «на частичный ущерб» 0.40. Найти степень риска на случай смерти и на случай инвалидности. Прокомментировать результаты.

63)Страховщик имеет портфель из 2000 договоров с вероятностью страхового случая 0.001 и страховыми суммами 5 тыс. у.е. Оценить целесообразность принятия новой группы страхователей с N=30, p=0.01, S= 20 тыс. у.е.

64)В условиях задачи 63 число N=100. Оценить ситуацию.

65)Страховщик имеет 300 договоров с суммами 20 тыс. у.е. и вероятностями 0.015. Целесообразно ли принять новую группу из 25 договоров с суммами 10 тыс. у.е. и вероятностями 0.01?

66)Есть портфель 1600 договоров с суммами 10 тыс. у.е. и вероятностями 0.01. Надо ли принимать новую группу из 20 страхователей с суммами 20 тыс. у.е. и вероятностями 0.01?

67)В портфеле суммарная рисковая премия равна 5 млн., а СКО 1 млн. (т.е. К = 1/5 = 0.2). Определить максимальную величину принимаемого риска, при которой степень риска не увеличится.

68)В портфеле 30 договоров с суммами 2 тыс. у.е. и вероятностями

0.05.Какой начальный капитал нужен для того, чтобы с практической достоверностью (0.999) гарантировать выполнение обязательств?

69)Страховщик имеет два субпортфеля: (N1=30, S1=2 тыс., p1=0.05) и (N2 = 40, S2= 15 тыс., p2= 0.03). Какой выигрыш (с точки зрения степени риска) получает страховщик при объединении этих субпортфелей?

70)В условиях задачи 69 определить «максимум» отдельно для каждого субпортфеля и для объединенного портфеля. Прокомментировать результаты.

71)Портфель содержит 500 договоров с одинаковыми страховыми суммами 3 тыс. у.е., но различными вероятностями: для n1=150 p1=0.08, для n2=350 p2=0.12. Найти характеристики общего ущерба.

72)В портфеле 6000 договоров с суммами 15 тыс. у.е. и 4000 договоров с суммами 30 тыс. у.е. Вероятности одинаковы 0.01. Найти

329

характеристики общего ущерба и определить вероятность того, что фактический ущерб не менее, чем на 10% превзойдет ожидаемый.

73)По условию задачи 72 страховщик хочет повысить на 2% свою надежность за счет перестрахования. Плата за перестрахование одной единицы риска на 10% превышает плату за страхование. Найти оптимальный уровень собственного удержания.

74)Задачу 72 решить с помощью коллективной модели.

75)Портфель содержит 4000 договоров с вероятностями 0.002 и суммами 1 млн. у.е. Найти начальный капитал, обеспечивающий надежность не ниже 95%. (Рисковая надбавка отсутствует).

76)Есть 5000 договоров, в которых возможна выплата: либо 1 млн.

Свероятностью 0.005, либо 8 млн. С вероятностью 0.001. В других 15000 договоров вероятность полной компенсации – та же, а для частичной - равна 0.003. Найти суммарную рисковую надбавку, обеспечивающую надежность не менее 97%.

77)В условиях задачи 76 распределить суммарную надбавку между субпортфелями по различным правилам: - пропорционально рисковой премии, пропорционально дисперсиям, - пропорционально СКО. Прокомментировать результаты.

78)Есть 15000 договоров с вероятностью 0.005 выплаты 1 тыс. у.е. и вероятностью 0.001 выплаты 10 тыс. у.е. Проанализировать положение компании на предмет перестрахования.

79)В условиях задачи 78 рассмотреть уровень собственного удержания 1 тыс. у.е.

80)В условиях задачи 78 найти оптимальный уровень собственного удержания.

81)Портфель цедента содержит 30000 договоров с вероятностью страхового случая 0.02. Страховые суммы различны (есть 4

субпортфеля): N1 = 15000, S1 = 1 млн., N2 = 10000, S2 = 2 млн., N3 = 4000, S3 = 5 млн., N4 = 1000, S4 = 10 млн. Относительная надбавка для всех одинакова и равна 20%. А у перестраховщика 30%. Оценить целесообразность перестрахования только самых крупных рисков (S4 = 10 млн.).

82)В условиях задачи 81 распределить суммарную надбавку между субпортфелями по различным правилам: а)пропорционально рисковой премии, б) пропорционально дисперсиям, в) пропорционально СКО.

Прокомментировать результаты.

330