Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5158 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Ижевский государственный технический университет им. М. Т. Калашникова
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

страхование для выдачи студентам / Элементы страховой математики

.pdf
Скачиваний:
197
Добавлен:
22.03.2016
Размер:
2.33 Mб
Скачать
☆

Г. Оценка параметров нормального закона методом максимального правдоподобия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) =

 

1

 

e

−(x − µ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(xi ) =

 

 

1

 

e

−(xi − µ)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2σ 2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2σ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

−

(x i − µ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

−

(x i − µ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

1

 

∑

(x i −

µ)

2

 

 

 

∏ f(x i ) = ∏

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)n ∏e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)n e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

e

 

2σ

2 = (

 

 

1

 

 

2σ 2 = (

 

1

 

 

2σ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

2π

 

 

σ

2π

 

σ

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑

 

 

 

 

 

 

i =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln[∏ f(xi

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

)n e

−

1

 

(xi −µ)2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

∑(xi

 

− µ)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)] = ln[(

 

 

 

 

 

2σ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

] = nln

 

 

−

 

 

=

 

σ

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

2π

2σ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −nlnσ − nln

 

 

2π − 2σ1

2

∑(xi

− µ)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

∂

= −

1

 

 

∂

∑(xi − µ)2 = −

1

 

[

∂

( ∑xi 2 − 2µ∑xi + µ2 ∑1)] =

∂µ

2σ2

∂µ

2σ2

∂µ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i =1

 

 

 

 

 

= −

1

 

[0 − 2∑xi + 2µµn =

1

[ ∑xi

− µn] =

1

 

[ ∑

xi

− µ ]

 

 

 

 

 

 

 

2σ

2

σ2

nσ

2

n

 

 

 

 

 

 

Приравняв к 0 получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ) = ∑

xi

= x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

= −n

1

−∑(xi − µ)2

1

 

∂

σ−2 = −

n

−

 

 

∑ (x −µ)2

(

−2) σ−3 = −

n

+

∑ (x

−µ)2

 

 

 

 

 

i

 

 

 

i

 

 

 

∂σ

σ

2

∂σ

σ

 

 

 

 

 

2

 

σ

 

 

σ

3

 

 

 

 

Приравняв к 0 получим: nσ2

= ∑(xi − µ)2

 

 

 

 

 

 

 

)

2 =

∑

(x −µ)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д. Оценка параметров логарифмически-нормального закона методом максимального правдоподобия

∂

∂m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

e−

(ln xi −m)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( xi ) =

 

 

 

 

 

 

 

2σ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

; xi > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xiσ 2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∏ f (xi ) = ∏[

 

1

 

−

(ln xi −m)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

)n ∏[

1

 

−

 

1

 

∑(ln xi −m)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

2σ 2

 

 

] = (

 

 

 

 

 

e 2σ 2

 

 

 

 

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xiσ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln ∏ f (xi ) = n ln

1

 

 

 

+ ∑ln

1

 

 

 

−

 

 

1

 

∑(ln xi − m)2 =

 

 

 

 

σ 2π

 

 

xi

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− n lnσ − n ln

2π − ∑ln xi −

 

 

1 2

 

∑(ln xi

− m)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

1

 

 

 

 

∂

∑(ln xi − m)2 = −

 

 

 

 

1

 

 

 

 

[

 

∂

 

 

(−2m ∑ln xi ) +

∂

m2n] =

2σ

2

 

 

 

 

2σ

2

 

 

∂m

∂m

 

 

 

 

∂m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

1

(−2∑ln xi ) −

1

2mn = ∑

ln xi

− σmn2 = 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

2σ 2

2σ 2

 

σ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

= ∑

ln x

 

 

 

 

 

 

1

∑ln xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

i

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

=

 

∂

 

 

(−n lnσ ) +

 

∂

 

[−

 

1

 

 

 

∑(ln xi − m)2 ] =

 

 

 

 

 

 

 

 

∂σ

 

 

 

 

 

 

∂σ

 

2σ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− n

1

+ ∑(ln xi − m)2

∂

(−

1

σ −2 ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

∂σ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

n

 

+ ∑(ln xi − m)

2

(−

1

)

 

(−2σ

−3

) =

∑(ln xi −m)2

−

 

n

= 0

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

3

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ)2 = ∑(ln xi −m)2 n

301

Приложение 2. Практикум по курсу «Основы актуарных расчетов»

1.Решения тренировочных заданий

1.Реальная цена коттеджа 200000 у.е. 1. C = 200000, S1 = 60000, S2 = 40000.

Владелец застраховал дом от пожара в S = S1 + S2 = 100000 = C*50%. компании А на 60000 у.е. и в X = 70000. Страхователь должен компании В на 40000 у.е. Произошел получить 70000*50% = 35000. Причем пожар, при котором реальный ущерб А выплатит 60% (т.е. 21000), а В – составил 70000 у.е. Какое возмещение 40% (14000).

должен выплатить каждый страховщик?

2. В условиях предыдущей задачи:

2. S1 + S2 = 250000 > C. Но

C = 200000, S1 = 150000, S2 = 100000,

возмещение не превосходит реальную

X = 200000 (полное уничтожение).

цену.

 

Поэтому

выплаты:

Кто сколько должен заплатить?

200000*(150000/250000)

= 120000

и

 

200000*(100000/250000)

=

80000

 

соответственно.

 

 

 

 

3. Страховая сумма 500 у.е. Граница

3. Риск делится в пропорции 200:300 =

покрытия 200 у.е. Страховой взнос 20

2:3 поэтому и взносы распределятся

у.е. Как он распределится между

соответственно:

20*(2/5)=8

 

и

цедентом и перестраховщиком (при

20*(3/5)=12.

 

 

 

 

 

одинаковых надбавках)?

 

 

 

 

 

 

 

4. Объем портфеля 2000, вероятность

4. N=2000, p=0.01, q=0.99, Np=20,

 

страхового случая 0.01. Оценить

Npq=19.8,

 

Npq =4.4,

 

 

 

степень риска в портфеле.

K=4.4/20=0.22=22%.

 

 

 

 

5. Есть два субпортфеля: N1=4000,

5. Для субпортфелей в отдельности:

 

p1=0.002, N2=4000, p2=0.003. Оценить

N1*p1=8,

 

 

N1*p1*q1=7.984,

степень риска в каждом субпортфеле

N1* p1*q1 =2.83,

 

 

 

 

и во всем портфеле.

K1=2.83/8=0.35=35%.

 

 

 

 

N2*p2=18,

 

N2*p2*q2=17.946,

 

N2 * p2 *q2 =4.24,

 

 

 

 

 

K2=4.24/18=0.24=24%.

 

 

 

 

Для всего портфеля:

 

 

 

 

 

N1*p1 + N2*p2 = 8+18=26,

 

 

 

D=D1+D2=7.984+17.946=25.93,

 

 

 

25.93

=5.09,

 

 

 

 

 

K=5.09/26=0.20=20%.

 

 

 

302

6. Объем портфеля 3000, вероятность

6. К=СКО/МО= Npq /Np= 11.952 /12=

страхового случая 0.004, страховая

3.46/12=0.29=29%.

 

сумма 1000 у.е. Какой максимальный

При малой p для нового риска (в целях

риск может принять страховщик?

сохранения К) max равен:

 

 

 

 

X=2* K2*NpS= 2*0.292*12*1000 =

 

 

 

 

2018.4.

 

 

 

7. Вероятность предъявления

7. B U(0,200), p=0.05, q=0.95.

требования 0.05. При возникновении

M(B|A)=100,

 

страхового случая ущерб распределен

M(B2|A)=(1/3)*(1/200)*2003=104*4/3;

равномерно на (0,200). Найти

D(B)=104*4/3–1002=104/3,

математическое ожидание и

M(I)=p=0.05,

 

дисперсию выплаты.

 

D(I)=pq=0.05*0.95=0.0475,

 

 

 

 

M(X)=p*M(B|A)=0.05*100=5,

 

 

 

 

M(X2)=p*M(B2 |A) =0.05*104/3 = 500/3,

 

 

 

 

D(X)= 500/3 – 52 = 141.67,

 

 

 

 

D = 11.9, K=11.9/5=2.38.

8. Объем портфеля 6000 договоров со

8. M(S)=6000*10*0.01+4000*20*0.01=1400,

страховой суммой 10 у.е. и 4000

D(S)=6000*102*0.01*0.99+4000*202*0.

договоров со страховой суммой 20 у.е.

01*0.99=21780,

D =147.6

Вероятность

 

предъявления

P=Pr(S>1400+300)=Pr(t>300/147.6)=

требований об оплате одинакова и

Pr(t>2.03)=(1-Ф(2.03))/2=

равна

0.01.

Оценить

вероятность

=(1-0.9576)/2=0.02=2%.

разорения, если компания имеет

 

 

 

 

капитал 300 у.е.

 

 

 

 

 

9. В условиях предыдущей задачи

9. λ1=n1*p1=60, λ2=n2*p2=40,

найти

математическое

ожидание и

λ=λ1+λ2=100,

 

дисперсию с помощью коллективной

w1=λ1/λ=0.6, w2=λ2/λ=0.4;

модели.

 

 

P(x)=

0,

x<10;

или P(x)=0.6,

 

 

 

 

10<x<20;

или P(x)=1, x>20;

 

 

 

 

M(X)=w1*S1+w2*S2=0.6*10+0.4*20=14;

 

 

 

 

M(X)=0.6*102 + 0.4*202 = 60+160=220;

 

 

 

 

M(Y)=λ*M(X)=100*14=1400;

 

 

 

 

D(Y)=λ*M(X2)=100*220=22000.

10. Объем портфеля 5000, вероятность

10.

M=Np=25,

D=Npq=24.875,

предъявления

требования об оплате

D =4.9875,

 

0.005, страховая сумма 100 у.е. Найти

ε=0.01=(1-Ф(t))/2, Ф(t)=0.98, t=2.32,

резерв

U,

обеспечивающий

t=(U/S-M)/ D ,

 

вероятность неразорения не ниже 99%

U/S=M+t*

D =25+2.32*4.9875=

при отсутствии надбавки.

=25+11.571=36.571,

 

 

 

 

 

U=36.571*100=3657.1 у.е.

 

 

 

303

 

 

 

11. Есть два субпортфеля с

11. ε=0.05=(1-Ф(t))/2,

Ф(t)=0.90,

параметрами:

N1=1000,

p1=0.001,

t=1.645,

 

 

S1=10;

N2=4000, p2=0.0005,

S2=3.

M1=N1*p1=1,

D1=N1*p1*q1=0.999,

Найти

одинаковую

относительную

M1*S1=10, D1*S12=99.9,

 

рисковую надбавку, обеспечивающую

M2=N2*p2=2,

D2=N2*p2*q2=1.999,

вероятность неразорения в

портфеле

M2*S2=6, D2*S22=17.991;

 

не ниже 0.95.

 

 

 

 

Для всего портфеля:

 

 

 

 

 

 

 

M(X)=M1*S1+M2*S2=16,

 

 

 

 

 

 

 

D(X)=D1*S12+D2*S22=117.891;

 

 

 

 

 

 

117.891 =10.86,

 

 

 

 

 

 

 

 

d=t*

D(X) =1.645*10.86=17.86;

 

 

 

 

 

 

θ=d/M(X)=17.86/16=1.116=111.6%.

 

 

 

 

 

 

Относительная

надбавка

слишком

 

 

 

 

 

 

велика.

 

 

12. Выплаты страховщика

 

 

12.

θ

 

 

распределены экспоненциально.

 

*M(X)>h*M(Z), M(Z)=exp(-M),

 

θ>h*exp(-M),

 

M>ln(h/θ),

Относительные надбавки: у

 

 

M>ln(4/3)=0.29=29%.

 

страховщика 30%, у перестраховщика

Цедент должен оставить у себя не

40%. Определить нижний предел

 

менее 29% принятого риска.

 

уровня удержания.

 

 

 

 

 

 

 

13. Страховщик принял риск, для

13. Страховщик выплачивает 5 у.е.,

которого

с

практической

первый перестраховщик 10 у.е.,

достоверностью можно считать, что

второй перестраховщик 7 у.е.

ущерб не превысит 30 у.е. Он

 

 

 

 

установил

уровень

собственного

 

 

 

 

удержания 5 у.е. и заключил

 

 

 

 

соответствующий

договор

об

 

 

 

 

эксцедентном

перестраховании с

 

 

 

 

лимитом

 

ответственности

 

 

 

 

перестраховщика 10 у.е. А затем он

 

 

 

 

заключил

второй

договор

о

 

 

 

 

перестраховании

риска

 

сверх

 

 

 

 

обусловленных первым договором. В

 

 

 

 

результате

страхового

случая

 

 

 

 

фактический ущерб составил 22 у.е.

 

 

 

 

Как распределены выплаты?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

304

14. Размер ущерба не превышает 50

14.

Страховщик

платит:

у.е. Собственное удержание цедента

10+20*20%=14 у.е., перестраховщик

10 у.е. Остальной риск передан на

платит: 20*80%=16 у.е.

 

квотное перестрахование, в котором

 

 

 

цедент оплачивает 20% убытка.

 

 

 

Реальный ущерб составил 30 у.е.

 

 

 

Сколько выплатит каждая сторона?

 

 

 

 

15. В договоре перестрахования на

15. Суммарный риск 80 у.е. Передан

основе

эксцедента

убыточности

риск от 6-й до 25-й у.е. включительно.

передано два риска. Цена объектов 30

Реальный ущерб 20 у.е. Из них

у.е. и 50 у.е. Договор предусматривает

страховщик платит 5 у.е., а

оплату перестраховщиком 20 у.е.

перестраховщик 15 у.е.

 

сверх 5 у.е. Убытки составили

 

 

 

соответственно 5 и 15 у.е. Определить

 

 

 

выплаты сторон.

 

 

 

 

 

 

16. По данным прошлого года:

16. m/n=0.1, Ф(t)=0.98, t=2.33,

n=1000,

m=100.

Найти точечную

d=2.33

0.1 0.9 / 1000 =0.022,

 

оценку вероятности и правую границу

m/n+d=0.122.

 

доверительного

интервала

для

 

 

 

надежности 0.99.

 

 

 

 

 

 

17.Страховщик оценил p=0.02, число 17. np=4.7, поэтому страховщик может договоров n=235. При каком числе оплатить до 4-х случаев

страховых случаев собранных включительно. рисковых премий достаточно для выплаты возмещений?

18.В условиях задачи 17 страховщик 18. U=6-4.7=1.3.

создает начальный резерв, чтобы обеспечить выплату 6 возмещений. Найти резерв.

19.

Портфель

состоит из 400

19.

П=Sp=10.

однородных

договоров

(S=1000,

 

 

p=0.01).

Найти

единовременную

 

 

рисковую премию.

 

 

 

 

20.

В условиях задачи 19 найти

20.

Np=4. Npq=3.96, 3.96 =1.99,

рисковую надбавку, обеспечивающую

(1-Ф(t))/2=0.05, Ф(t)=0.9, t=1.645,

вероятность

неразорения

не ниже

d=1.645 1.99=1.629,

0.95.

 

 

 

 

 

d/П=1.629/10=16.3%. П+d=11.63.

305

21. В условиях задачи 20 найти 21. f=0.2, 1-f=0.8, 11.63/0.8=14.54.

брутто-премию, если нагрузка на ведение дел составляет 20% от тарифа.

22.Найти

 

нетто-премии

в

22.

n1 p1=3,

n2 p2=3,

λ1 = λ2 = 3 ,

 

субпортфелях. (N1=750, P1=0,004,

p1 S1=4, p2 S2=6. e−λ = e−3

= 0.05 .

 

 

 

S1=1000);

(N2=500,

P2=0,006,

P(m=k)= e−λ λk

/ k !, k=0,1,...,6,7

 

 

 

S2=1000); (ε=0.05).

 

 

P(m=k): 0.050, 0.150, 0.225, 0.225,

 

 

 

 

 

 

 

 

0.169, 0.101, 0.051, 0.022;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(m≤6)=0.97>0.95.

1+ Θ = 6 3 , Θ=1,

 

 

 

 

 

 

 

 

НП1 = 2 РП1 = 2 4 = 8 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

НП2 = 2 Р П2 = 2 6 = 12 .

 

 

 

23.

Есть

2

субпортфеля:

(N1=200,

 

 

,

 

 

 

=

4.24 ,

P1=0.1,

 

S1=30);

(N2=300,

P2=0,12,

23.n1 p1=20

n1 p1 q1=18, 18

 

 

 

S1 p1=3, S1 p1 n1=600,

 

 

 

S2=50); найти нетто-премии в

n2 p2=36, n2 p2 q2=31.68,

3168. = 5.63 ,

субпортфелях. (ε=0.1).

 

 

S2 p2=6, S2 p2 n2=1800,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф(t)=1-2ε=0.8; t =1.282,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d1 = 1282. 4.24 30 = 163.07

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Θ1=163.07/600=27% ; НП1 = 3 127. = 3.81

 

 

 

 

 

 

 

 

d2 = 1282. 5.63 50 = 360.88

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Θ2=360.88/1800=20% ; НП2 = 6 12. = 7.2

24.

Портфель

(n=400,

p=0.075,

24.

np=3,

npq=2.775,

2.775 =1.666,

S=1000). На рынке средняя надбавка

pS=75,

 

 

 

 

 

 

10%.

 

 

Найти

капитал,

(1-Ф(t))/2=0.05,

 

t=1.645,

обеспечивающий надежность 95%.

d=1.666 1.645=2.74,

np+d=5.74,

 

 

 

 

 

 

 

 

d/np=0.91=91%,

npS=3000,

θ =0.1,

 

 

 

 

 

 

 

 

1+θ =1.1,

 

 

3000 1.1=3300,

 

 

 

 

 

 

 

 

5.74 1000=5740,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5740-3300=2440=U

 

 

 

25.Распределение ущерба:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 100

200

300

400

 

 

25.M(X)=100 0.5+200 0.3+300 0.15+40

 

 

0 0.05=165

 

 

 

 

 

 

P

0.5

0.3

0.15

0.05

 

 

При безусловной:

 

 

 

 

Найти

 

рисковые премии

при

100 0.15+200 0.05=25

 

 

 

условной

и

безусловной франшизе

При условной: 300 0.15+400 0.05=65.

200.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

306

26. В портфеле два одинаковых

26.

 

 

 

 

 

 

 

договора с распределением ущерба:

M(Xi)=100*0.3+200*0.2+400*0.1=110

Xi

0

100

200

400

Суммарный

ущерб

 

имеет

Pi

0.4

0.3

0.2

0.1

распределение.

 

 

 

 

 

Найти

рисковую

премию при

X

0 100 200

300

400

500

600

800

перестраховании

суммарного

P 0.16 0.24 0.25

0.12 0.12

0.06

0.04

0.01

ущерба более 300.

 

P(X > 300)=0.12+0.06+0.04+0.01=0.23.

 

M(X)=2*M(Xi)=220.

 

 

Или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

непосредственно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100*0.24+200*0.25+…+600*0.4+800*

 

 

 

 

 

0.01=220.

X=Y+Z.

 

где

Y-

 

 

 

 

 

удерживаемый риск.

 

 

 

 

 

 

 

 

Распределение риска

 

 

 

 

 

 

 

 

перестраховщика:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

0

100

200

300

500

 

 

 

 

 

 

P

0.77

0.12

0.06

0.04

0.01

 

 

 

 

 

 

M(Z)=12+12+12+5=41

–

искомая

 

 

 

 

 

рисковая премия перестрахования

27.В условиях примера 26 27. Рисковая премия в основном

определить,

как

отразится

договоре

110,

т.е.

без

перестраховочный договор на цене

перестрахования

нетто-премия равна

основного договора, если

рисковая

 

 

 

После

надбавка страховщика 15%, а у

110 1.15=126.5.

 

 

перестрахования

рисковая

премия

перестраховщика 20%.

 

делится: 69 – страховщику и 41 –

 

 

 

перестраховщику,

 

поэтому:

 

 

 

69 1.15+41 1.20=128.55 – итоговая

 

 

 

нетто-премия (увеличилась на 2).

28.1<X<9, U(X)=1 - e(-2X) ; показать, 28. Производная : 2e(-2X) >0, а вторая что U(X) – обладает свойствами производная: -4e(-2X)<0 .

функции полезности.

29.3<X<10, U(X)=ln X ; является ли 29. Производная: 1/X >0 , вторая:

эта функция – функцией полезности?

-1/X2 < 0 .

30. Цена подобного риска 10,

30. Средние значения по периодам: 12,

значения выплат по новому риску

13, 13, 13.5. Коэффициент равен: 0.2,

составили : 12, 14, 13, 15.

0.4, 0.6, 0.8. Поэтому взносы:

Предполагается, что через 5 периодов

1)

 

12

 

информации будет достаточно, чтобы

0.2

+ 0.8 10 = 10.4

2)

0.4 13

+ 0.6 10 = 11.2

опираться только на новый риск.

3)

0.6 13

+ 0.4 10 = 11.8

Коэффициент доверия возрастает

4)

0.8 13.5 + 0.2 10 = 12.8

равномерно. Найти взносы по

 

 

 

 

периодам.

 

 

 

 

307

2.Тест для самоподготовки.

1.Одной из задач актуария является:

а) проверка правильности счетов, актов и т.д.; б) оценка ситуации на рынке на качественном уровне;

в) количественная оценка риска финансовой деятельности.

2. Решающее правило Байеса требует: а) равенства вероятностей ошибок; б) равенства плат за ошибки;

в) равенства сумм: взносов и возмещений.

3.Принцип эквивалентности обязательств сторон предполагает: а) равенство современных цен рисков сторон; б) равенства сумм: взносов и возмещений;

в) равенства взносов и возмещений в каждый промежуток времени.

4.Страховщик заинтересован в том, чтобы его портфель содержал:

а) большое количество одинаковых рисков; б) малое количество одинаковых рисков; в) малое количество различных рисков; г) большое число различных рисков.

5. Субпортфель – это:

а) определенная доля всего портфеля; б) однородное подмножество договоров;

в) часть всего портфеля, содержащая договора одного вида страхования.

6. Для оценки вероятности страхового случая используется:

а) отношение числа страховых случаев (в прошлом году) к числу заключенных договоров; б) отношение суммы возмещений к сумме взносов;

в) отношение суммы возмещений к общему объему ответственности.

7. Актуарий обязан найти пути для обеспечения: а) максимально высокой надежности;

б) максимально высокой конкурентоспособности; в) компромисса между высокими: надежностью и конкурентоспособностью.

308

8.Увеличение рисковой надбавки: а) повышает устойчивость;

б) повышает конкурентоспособность; в) повышает ожидаемую прибыль.

9.Создание значительного начального резерва: а) повышает устойчивость; б) повышает конкурентоспособность;

в) повышает ожидаемую прибыль.

10.Договор о перестраховании: а) повышает устойчивость;

б) повышает конкурентоспособность; в) повышает ожидаемую прибыль.

11.Страховщик специализируется на страховании домов в сельской местности. Условно все дома разделены на две группы. В одной – все частные дома крестьян, постоянно проживающих в этой местности, построенные 15 лет назад и более. В другой – коттеджи, построенные “новыми русскими” за последние 3 года.

Каково соотношение между рисковыми ставками в двух группах: а) в первой группе больше, чем во второй; б) во второй больше, чем в первой; в) ставки равны.

12.Каково соотношение в пр. 11 между рисковыми премиями в группах: а) в первой группе больше, чем во второй; б) во второй больше, чем в первой; в) премии равны.

13.Каково соотношение в пр. 11 между рисковыми надбавками в группах (в процентах к рисковым ставкам):

а) в первой группе больше, чем во второй; б) во второй больше, чем в первой; в) премии равны.

14.Каково соотношение в пр. 11 между нетто – ставками в группах:

а) в первой группе больше, чем во второй; б) во второй больше, чем в первой; в) ставки равны.

15. Каково соотношение в пр. 11 между нетто – премиями в группах: а) в первой группе больше, чем во второй; б) во второй больше, чем в первой; в) ставки равны.

309

16.Каково соотношение в пр. 11 между долями нагрузки на ведение дел в брутто – ставке для этих групп:

а) в первой группе больше, чем во второй; б) во второй больше, чем в первой; в) доли равны.

17.Что влияет на рисковую премию:

а) страховая сумма и вероятность страхового случая; б) объем страхового портфеля и вероятность неразорения;

в) страховая сумма, вероятность страхового случая, объем страхового портфеля и вероятность неразорения страховщика; г) факторы из п. в) и еще расходы на ведение дела.

18. Что влияет на нетто-премию:

а) страховая сумма и вероятность страхового случая; б) объем страхового портфеля и вероятность неразорения;

в) страховая сумма, вероятность страхового случая, объем страхового портфеля и вероятность неразорения страховщика; г) факторы из п. в) и еще расходы на ведение дела.

19. Что влияет на брутто-премию:

а) страховая сумма и вероятность страхового случая; б) объем страхового портфеля и вероятность неразорения;

в) страховая сумма, вероятность страхового случая, объем страхового портфеля и вероятность неразорения страховщика; г) факторы из п. в) и еще расходы на ведение дела.

20. Эквивалентность риска определяется равенством:

а) вероятностей наступления и ненаступления страхового cлучая; б) сумм всех внесенных премий и всех произведенных выплат; в) современных цен ожидаемых взносов и ожидаемых выплат.

21.Портфель состоит из 500 однородных договоров (S=800, p=0.1). При расчетах рисковой надбавки будет использована формула:

а) Бернулли; б) Пуассона;

в) локальная теорема Лапласа; г) интегральная теорема Лапласа.

22.Портфель состоит из 1000 однородных договоров (S=600, p=0.001). Рисковая надбавка рассчитывается по формуле:

а) Бернулли; б) Пуассона;

в) локальная теорема Лапласа; г) интегральная теорема Лапласа.

310

Соседние файлы в папке страхование для выдачи студентам
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности