Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

страхование для выдачи студентам / Элементы страховой математики

.pdf
Скачиваний:
197
Добавлен:
22.03.2016
Размер:
2.33 Mб
Скачать
получаем выражение для D(X).

f(x)dx = 1

0

 

Сделаем замену:

lnx m

= t ;

 

 

lnx = + m ;

x = e+m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда: dx = d(e+m )= e+m d(tσ + m) = e+m σdt

 

+m 1

 

 

 

e

t2

 

 

 

1

 

e

t2

1 =1

f(x)dx =

 

 

 

 

e+m σdt =

 

 

 

 

dt =

σ 2π

2

 

2

0

−∞(e

)

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+m1

 

 

 

 

 

t2

 

 

M(X) = xf(x)dx = (e+m )

 

 

 

 

e

 

e+m dt =

 

(e

 

2

 

 

0

 

 

 

−∞

 

)σ

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1

t 2

 

 

 

 

em

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

e

 

eem dt =

e

 

+dt

 

 

2

 

 

2

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для удобства показатель надо дополнить до «полного квадрата».

 

 

 

t2

 

+ = −

1

 

 

[t2

2tσ]

= −

1

[t2

2tσ + σ2

σ2 ]= −

1

(t

σ)2 +

σ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда искомый интеграл превратится :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ2

 

 

 

 

 

 

 

σ2

 

 

 

 

 

 

 

em

 

 

1

 

 

 

σ2

 

 

+m

 

 

(tσ)2

 

 

+m

 

 

(tσ)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

(tσ)2 e

 

 

 

 

dt = e 2

 

e

2 dt = e 2

e

2 d(t σ)=

 

2

2

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+m

 

 

 

 

 

 

σ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= e

 

 

+m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е

 

 

M(X) = e

 

+m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, формула начальных моментов M(Xk) справедлива для К=1. Это позволяет убедиться в её правильности для произвольного «К» методом индукции. Тогда используя

M(X 2 )= e 2 +2m

2. СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Для двух независимых случайных величин U и V строим новую величину W = U V . Тогда

291

M(W) = M(U V) = M(U) M(V)

D(W) = D(U V) = M[(U V)2 ] [M(U V)]2 = M[(U V)2 ] [M(U) M(V)]2 = = M[U 2 V 2 ] [M(U) M(V)]2 = M[U 2 ] M[V]2 [M(U)]2 [M(V)]2

D(U) = M[U 2 ] [M(U)]2 ,M[U 2 ] = D(U) + [M(U)]2

M[U 2 ] M[V 2 ] = [D(U) + (M(U))2 ] [D(V) + (M(V))2 ] = D(U) D(V) + + D(U) [M(V)]2 + D(V) [M(U)]2 + [M(U)]2 [M(V)]2

D(W) = D(U) D(V) + D(U) M(V)2 + D(V) M(U)2

1, p

V = A = U = (X|A)

0,q = 1 p

Например, А – случайное страховое событие, Х – случайная величина ущерба (безусловного или полного), (Х|A) - случайная величина ущерба, если страховой случай произошел.

3. СВЁРТКА (КОМПОЗИЦИЯ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН)

Пусть известны плотности двух CB: X и Y. Надо найти плотность

CB: Z=X+Y

 

 

 

 

X ~ f(x) ,

Y ~ g(y)

 

 

 

Z = X+Y

h(z) = ?

H(z) = ?

 

 

H(z) = P{Z < z} = P{X +Y < z} = P{(X < x) (Y < z x)} = Z

f(x) g(z x)dx

тогда: h(z) = H'(z)

 

0

 

 

 

 

X ~ e λ ( λ m m! )

Y ~ e ( µ n n! )

Z = X + Y

Для дискретных величин интеграл заменяется суммой Например, есть две СВ, распределённые по законам Пуассона:

292

P(Z

k

=

m =0

 

k

 

 

 

= k) = P(X

= m) P(Y = k m) =

m =0

 

 

 

[(e λ

λm

) (e µ

 

µ k m

)] =

m!

(k m)!

k

 

+ µ)

 

λm µ k m

 

=

[e

 

]

 

m! (k m)!

m =0

k

= e + µ) + µ) k

m =0

k

= e + µ) + µ) k

m =0

 

+ µ)

 

k

λm µ k m

 

= e

 

 

=

 

 

 

m! (k m)!

 

 

 

 

 

m =0

 

 

 

[ λ + µ) ] m [ µ + µ) ] k m

 

=

 

 

m!

(k m)!

 

 

 

 

 

 

p m q k m

 

=

 

 

 

 

 

 

m! (k m)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ µ)

 

 

 

 

 

k

k

 

 

p m q k m

 

 

 

 

 

 

e + µ)

+ µ) k

 

 

 

 

 

=

e

+

µ)

 

 

k!

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m! (k m)!

k!

 

 

 

k!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

k!

 

 

 

 

m

 

k m

 

 

 

e + µ) + µ) k

 

 

 

 

k

m

 

m

 

k

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m! (k m)!

 

 

p

 

q

 

=

 

 

k!

 

 

 

C k

p

 

 

q

 

 

 

=

m =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e ( λ + µ ) ( λ +µ ) k

 

 

k

 

 

 

 

 

 

e ( λ + µ ) ( λ +µ ) k

 

 

( λ +µ )

 

 

( λ +µ ) k

=

 

Pm (k ) =

1

= e

 

 

 

 

 

k !

 

 

 

k !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k !

m =0

т.е. формула Пуассона для параметра (λ+µ). Интенсивности потоков складываются.

Для нормального закона выполняется то же условие.

Свёртка двух независимых нормальных СВ образует нормальную СВ с параметрами (µx+µy), (σ2x+σ2y).

4. КОМПОЗИЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Сначала без потери общности рассмотрим СВ, равномерно распределенное на [0,а]. Их плотность 1/а на этом отрезке и 0 вне его.

Итак U 1 (x) = {a -1 ,0 α; иначе 0}

Рассмотрим две случайные величины Х и Y. Z=X+Y Є [0, 2а]

 

f (z)= 02a

f1 (x) f2 (z x)dx = a

f1 f2dx +

2af1 f2dx

 

 

 

 

 

 

 

0

 

a

 

 

 

 

 

 

1) 0<z<a

тогда f1

(x) =

1

, f2 (z x) =

1

 

т.е. z f1f2dx =

1

 

 

z

=

z

 

 

α

α

2

 

 

2

 

 

 

 

0

 

α

 

0

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

293

2) a<z<2a Здесь необходимо выполнение двух условий:

0<x<a тогда f1 (x) =

1

 

 

 

a

 

1

 

 

и 0<z-x<a (т.е.x>z-a) тогда

f2 (z x) =

a

 

 

 

 

Итак: e

f1 f2dx =

1

2

z α

 

α

Окончательно:

x

α

=

(2α z)

 

 

 

 

 

α2

 

 

z α

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

, 0

< z < α,

 

 

 

α

2

 

 

 

 

 

 

 

 

f(z)

 

 

2α - z

, α < z <

=

 

 

 

 

 

 

 

α 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, иначе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В наших обозначениях:

a2 x,0 < x < a

U 2 (x) a2 (2a x), a < x < 2a

0,иначе

Для произвольного “n” получим по индукции

Un+1 (x) =

1

a Un (x y)dy =

1

[Un (x) Un (x a)]

 

a

 

a 0

 

Эти результаты обобщаются на произвольном отрезке [a,b].

294

5. КОМПОЗИЦИЯ ДВУХ ОДНОМЕРНЫХ НОРМАЛЬНЫХ СВ

Без потери общности проведем доказательство для нормированных нормальных СВ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ~ f1 (x) =

 

 

 

1

 

e

x 2

, y ~

f2 (y) =

1

 

e

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=x+y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

(zx)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+(z

x)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

z

2

 

 

z2

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

x

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

4

 

f(z) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

2

 

e

 

2

 

dx =

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1 e

z2

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1 e

z2

1 =

 

 

1

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

2

 

 

 

dx =

 

4

 

 

 

 

 

e

 

2 2

 

 

 

 

 

2 −∞

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2π 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это плотность нормального закона распределения с параметрами 0

и 2 .

Обобщая получим:

X ~ N(µ1 1 ),Y ~ N(µ2 2 ) , то Z=X+Y

Z ~ N(µ1 + µ2 ; σ12 + σ22 )

Т.е. сумма независимых нормально распределенных СВ имеет нормальное распределение.

В дальнейшем это положение будет обобщено и на случайных многомерных СВ.

6. КОМПОЗИЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ НА ПЛОСКОСТИ

Если есть две независимые величины X и Y, то для случайной величины Z=X+Y справедливо: M(Z)=M(X)+M(Y); D(Z)=D(X)+D(Y).

В многомерном случае недостаточно определить только характеристики каждого признака в отдельности. Необходимо учесть и взаимосвязь признаков. Например, для двух независимых двумерных случайных величин V1(X1,Y1) и V2(X2,Y2), каждая из которых распределена нормально, необходимо задать наборы параметров:

{mx1 , my1 , σx1 , σy1 , px1 y1} и {mx2 , my2 , σx2 , σy2 , px2 y2}

Теперь проанализируем V=V1+V2. Для составляющих этой новой вершины справедливо: X=X1+X2 и Y=Y1+Y2.

Следовательно:

295

mx = mx1 + mx2 ;my = my1 + my2 ;

σ2 x = σ2 x1 + σ2 x2 2 y = σ2 y1 + σ2 y2

Авзаимосвязь признаков характеризуется корреляционным

моментом. K(X,Y), для которого справедливо: K xy

= K x1 y1 + K x2 y2 Т.к.

ρxy =

K xy

, то ρxyσxσy = ρx1 y1 σx1 σy1 + ρx2 y2 σx2 σy2

 

 

 

 

σxσy

 

 

 

 

поэтому:

ρx1 y1 σx1 σy1

+ ρx2 y2 σx2 σy2

 

 

ρxy =

 

 

(σ2 x1 + σ2 x2

) (σ2 y1 + σ2 y2

)

Эти формулы позволяют выполнить композиции нормальных законов на плоскости. Теперь можно присоединить третью СВ V3(X3,Y3) и т.д. Если использовать трехмерные нормальные СВ, то необходимо использовать матрицу R и формулы в матричном виде.

7. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ. ЕЁ СВОЙСТВА И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ.

Рассмотрим пример:

 

СВ X принимает значения: 0,1,2,3,…

с вероятностями pi, т.е.

P{x=i}=pi, P{x>i}=qi, i=0,1….

 

Тогда : qk=pk+1+pk+2+…, k0

 

Производящие функции для последовательностей {pi} и {qi} это:

P(S)=p0+p1S+p2S2+p3S3+….

Q(S)=q0+q0S+q2S2+q3S3+…

Оба ряда сходятся при S <1

Производная p'(S) = k pk S k 1 тоже сходится при S <1

k =1

Если S=1, то kpk=M(X)

Разумеется, интерес представляет, в основном, КОНЕЧНОЕ математическое ожидание.

 

Тогда: Q(1)=P' (1)=M(X), т.е.

M (X ) = j p j = qk

 

1

0

Отсюда следует, что M[X(X-1)]= k(k-1)pk=P'' (1)=2Q' (1) И поскольку: D(X)=M(X2)-(M(X))2, то

D(X)=P' ' (1)+P' (1)-(P' (1))2=Q' (1)+Q(1)-Q2(1)

Это позволяет вычислять математическое ожидание и дисперсию Х, используя производящие функции P и ее производные: P’, P’’ в точке

S=1.

296

8. КОМПОЗИЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. СВЁРТКИ И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ.

Пусть X~f(x), Y~g(y); Z=X+Y. Исследователя интересует: h(z)=H’(z);

где H(z) = P(Z<z) = P(X+Y<z) = P((X<x) и (Y<y)) = f(x)g(z-x)dx

Для независимых CB (X и Y) независимы и Sх и Sy, поэтому:

M(Sx+y)=M(Sx)M(Sy)

В ряде случаев это позволяет упростить процесс композиции случайных величин. В общем случае используется таблица производящих функций для основных распределений (аналогично таблицам производных, интегралов, рядов и т.д), что и упрощает процесс аналитических выкладок. Проиллюстрируем на некоторых примерах применение этого аппарата.

А. Биноминальное распределение :

Производящая функция для b(k;n, p) = Cnk pk qnk есть

n

 

Cnk ( ps)k qnk = (q + ps)n

, т.е. b(k;n;p) – распределение суммы

k =0

 

n

Sn = X i независимых CB с производящими функциями: q+ps

1

т.е. {b(k ;n, p)}={b(k;1,p)}n*

(n-кратная свертка).

В частности, из мультипликативного свойства следует:

{b(k;m;p)} {b(k;n;p)}={b(k;m+n;p)}

Очевидно, что дифференцируя производящую функцию, получим:

M(Sn)=np и D(Sn)=npq

Для доказательства найдем первую и вторую производные: d(q+pS)n/dS = np(q+pS)n-1;

d2((q+pS)n)/dS2 = n(n-1)p2(q+pS)n-2.

Подставляя S=1 и используя выражение для M(X), D(X), получим:

D = n(n-1)p2 + np – (np)2 = npq.

Разумеется, для столь простого случая удобнее получить эти результаты на основе свойств математического ожидания и дисперсии суммы n независимых одинаково распределенных случайных величин, но в более сложных ситуациях данный подход эффективнее традиционного.

(q+pS)n(q+pS)m = (q+pS)m+n

297

т.е. сумма двух биномиально распределенных случайных величин также подчиняется биномиальному распределению. Непосредственное доказательство этого свойства – более трудоемко!

Б. Распределение Пуассона.

Производящая функция распределения Пуассона

λ

 

λk

p(k;λ) =e

k!

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

равна: eλ

(λS )

= eλ+λS = eλ(S 1)

 

 

 

k!

 

 

 

k =0

 

 

 

 

Отсюда: {p(k;λ)} {p(k;µ)}={p(k;λ+µ)} т.к. exp(λ(S-1))* exp(m(S-1))= exp((λ+m)(S-1))

Полезно сравнить мультипликативное свойство с непосредственным выводом. Объединение двух потоков Пуассона является потоком Пуассона. Это полезное свойство активно используется в актуарных расчетах.

При дифференцировании убеждаемся, что M(k)=D(k)=λ

Например, d(exp(λ(S-1)))/dS = λexp(λ(S-1)); d2(exp(λ(S-1)))/dS2 = λ2exp(λ(S-1));

Подставим: S=1 и получим результат.

В. Геометрическое и отрицательное биномиальное распределение.

Геометрическое: Х: p{x=k}=qkp, k=0,1,2……; p+q=1

 

p

Тогда производящая функция : p(qs)k =

1 qs

k =

0

d(p/(1-qS))/dS = pq/(1-qS)2; d2(p/(1-qS))/dS2 = 2pq2/(1-qS)3;

Подставив: S=1 и используя выражения для M(X), D(X), получим:

M(X)=pq/(1-q)2=q/p; D(X)= 2pq2/(1-q)3 +q/p –(q/p)2 = (q2 +pq)/p2;

Отсюда: M (x) = qp и D(x) = pq2 .

Здесь Х можно интерпретировать, как время ожидания ПЕРВОГО успеха (среди n испытаний).

Для отрицательного биномиального распределения

f (k; r; p) = Ck r pr (q)k k=0,1,2…. P{Sr=k}=f(k;r;p)

298

Число неудач, предшествующих r-му успеху. Т.е. это r-кратная свертка геометрического распределения

{f(k;r;p)}={qkp}r*

 

 

 

p

r

Тогда производящая функция:

 

 

(1

 

 

 

qs)

При r>0: M(X)=rq / p;

D(X)= rq / p2

Доказательство: F = (p/(1-qS))r;

dF/dS = pr*d((1-qS)-r)/dS = p-r(1-qS)–r-1(-q) = = (p/(1-qS))rrq/(1-qS) = F rq/(1-qS);

d2F/dS2 = d(dF/dS)/dS = d(F* rq/(1-qS))/dS =

=dF/dS* rq/(1-qS) + F*d( rq/(1-qS))/dS =

=F* rq/(1-qS)* rq/(1-qS) + F* rq/(1-qS)2(-1)(-q) =

=F*( rq/(1-qS)2 + rq2/(1-qS)2) = F* rq2*(1+r)/ (1-qS)2;

Подставив: S=1 и используя выражения для M(X), D(X), получим:

M(X) = pr/(1-q)rrq/(1-q) = rq/p;

D(X) = (p/(1-q))rrq2(1+r)/(1-q)2 + rq/p – (rq/p)2 = rq2(1+r)/p2 + rq/p

(rq/p)2 =

=(rq2 +r2q2 + rpq – r2q2)/p2 = (rq2 + rpq) /p2 = rq/p2;

Кроме того: {f(k;r1;p)} {f(k;r2;p)}={f(k;r1+r2;p)}

Т.е. и для этого распределения сумма двух СВ подчиняется тому же закону.

Г: Свойства свертки: g f=f g ; (f g) h=f (g h) ; f (g+h)=f g+f h.

Эти свойства иногда позволяют упростить аналитические выкладки.

9. ПОЛУЧЕНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

Пусть есть случайная величина Х, относительно которой предполагается, что она распределена по некоторому закону: f(x,O), где О – вектор параметров. Значения этих параметров – неизвестны, их надо определить на основании n наблюдений СВ, т.е. Хi, I=1…n.

299

Для этого строится произведение f(Xi, O), которое при логарифмировании превращается в сумму ln f(Xi,O). Экстремум этой суммы находится приравниванием к нулю частных производных по каждому неизвестному параметру. Возникает система уравнений относительно неизвестных параметров. Решение этой системы указывает оценки искомых параметров, оптимальные с точки зрения метода максимального правдоподобия.

А. Оценка максимального правдоподобия в биноминальном законе.

В “n” опытах событие реализовалось ”r” раз.

L = Cnr pr (1 p)nr

lnL = lnCnr + rlnp +(n r)ln(1 p)

p lnL = 0

rp (1(np)z) = 0

= r

p

n

Б. Оценка максимального правдоподобия в законе Пуассона.

f(x

i

) = eλ

λx i

;

i = 1, ..., n

(xi )!

f(xi ) = eλ

x

 

λ i

 

 

 

 

(xi )!

 

lnf(xi ) = ln[eλ

λx i

] = ( λ) + ( xi ) ln(λnln[(xi )!

(xi )!

= −n + xi

1

0 = 0

 

λ

λ

 

xi

n = 0

 

 

λ =

xi

 

= x

λ

 

 

n

В. Нахождение оценки параметра α для экспоненциального закона по методу максимального правдоподобия

f(xi ) = αeαxi

f(xi ) = αeαxi = αn eαxi

lnf(xi ) = lnαn + lneαxi

= nlnα axi

ln

= n

1

xi = 0

 

 

 

 

α

α

 

 

 

 

n

 

 

 

 

)

x

1

 

1

x i = 0

α = (

i

)

= (x)

 

α

n

 

300