
страхование для выдачи студентам / Элементы страховой математики
.pdf
∞∫f(x)dx = 1
0
|
Сделаем замену: |
lnx −m |
= t ; |
|
|
lnx = tσ + m ; |
x = etσ+m |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Тогда: dx = d(etσ+m )= etσ+m d(tσ + m) = etσ+m σdt |
|
|||||||||||||||||||
∞ |
∞ |
tσ+m 1 |
|
|
|
e− |
t2 |
|
|
∞ |
|
1 |
|
e− |
t2 |
1 2π =1 |
|||||
∫f(x)dx = ∫ |
|
|
|
|
etσ+m σdt = ∫ |
|
|
|
|
dt = |
|||||||||||
σ 2π |
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||
0 |
−∞(e |
) |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
2π |
|
|
|
|
|
2π |
||||
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
tσ+m1 |
|
|
|
|
|
t2 |
|
||||||
|
M(X) = ∫xf(x)dx = ∫(etσ+m ) |
|
|
|
|
e− |
|
etσ+m dt = |
|||||||||||||
|
(e |
|
2π |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
−∞ |
|
)σ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= 1 |
∞ |
− |
t 2 |
|
|
|
|
em |
∞ |
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
∫e |
|
etσ em dt = |
∫e |
− |
|
+tσdt |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
2π −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2π −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для удобства показатель надо дополнить до «полного квадрата».
|
|
|
− |
t2 |
|
+ tσ = − |
1 |
|
|
[t2 |
− 2tσ] |
= − |
1 |
[t2 |
− 2tσ + σ2 |
−σ2 ]= − |
1 |
(t − |
σ)2 + |
σ2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Тогда искомый интеграл превратится : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
em |
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
σ2 |
|
|
+m |
∞ |
|
|
(t−σ)2 |
|
|
+m |
|
∞ |
|
(t−σ)2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
∫e |
− |
|
(t−σ)2 e |
|
|
|
|
dt = e 2 |
|
∫e |
− |
2 dt = e 2 |
∫e |
− |
2 d(t − σ)= |
|||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2π |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
−∞ |
|
|
|
|
2π |
|
−∞ |
|
|
|
|
|||||
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+m |
|
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2π = e |
|
|
+m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
т.е |
|
|
M(X) = e |
|
+m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, формула начальных моментов M(Xk) справедлива для К=1. Это позволяет убедиться в её правильности для произвольного «К» методом индукции. Тогда используя
M(X 2 )= e 2σ2 +2m
2. СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Для двух независимых случайных величин U и V строим новую величину W = U V . Тогда
291

M(W) = M(U V) = M(U) M(V)
D(W) = D(U V) = M[(U V)2 ] − [M(U V)]2 = M[(U V)2 ] − [M(U) M(V)]2 = = M[U 2 V 2 ] − [M(U) M(V)]2 = M[U 2 ] M[V]2 − [M(U)]2 [M(V)]2
D(U) = M[U 2 ] − [M(U)]2 ,M[U 2 ] = D(U) + [M(U)]2
M[U 2 ] M[V 2 ] = [D(U) + (M(U))2 ] [D(V) + (M(V))2 ] = D(U) D(V) + + D(U) [M(V)]2 + D(V) [M(U)]2 + [M(U)]2 [M(V)]2
D(W) = D(U) D(V) + D(U) M(V)2 + D(V) M(U)2
1, p
V = A = U = (X|A)
0,q = 1 − p
Например, А – случайное страховое событие, Х – случайная величина ущерба (безусловного или полного), (Х|A) - случайная величина ущерба, если страховой случай произошел.
3. СВЁРТКА (КОМПОЗИЦИЯ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН)
Пусть известны плотности двух CB: X и Y. Надо найти плотность
CB: Z=X+Y |
|
|
|
|
X ~ f(x) , |
Y ~ g(y) |
|
|
|
Z = X+Y |
h(z) = ? |
H(z) = ? |
|
|
H(z) = P{Z < z} = P{X +Y < z} = P{(X < x) (Y < z − x)} = ∫Z |
f(x) g(z − x)dx |
|||
тогда: h(z) = H'(z) |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
X ~ e − λ ( λ m m! ) |
Y ~ e -µ ( µ n n! ) |
Z = X + Y |
Для дискретных величин интеграл заменяется суммой Например, есть две СВ, распределённые по законам Пуассона:
292

P(Z
k
= ∑
m =0
|
k |
|
|
|
|
= k) = ∑ P(X |
= m) P(Y = k − m) = |
||||
m =0 |
|
|
|
||
[(e − λ |
λm |
) (e − µ |
|
µ k − m |
)] = |
m! |
(k −m)! |
k |
|
−(λ+ µ) |
|
λm µ k − m |
|
|
= ∑ |
[e |
|
] |
|||
|
m! (k −m)! |
m =0
k
= e −(λ+ µ) ∑ (λ + µ) k
m =0
k
= e −(λ+ µ) (λ + µ) k ∑
m =0
|
−(λ |
+ µ) |
|
k |
λm µ k − m |
|
|||
= e |
|
∑ |
|
= |
|||||
|
|
|
m! (k −m)! |
||||||
|
|
|
|
|
m =0 |
|
|
|
|
[ λ (λ+ µ) ] m [ µ (λ+ µ) ] k − m |
|
= |
|
||||||
|
m! |
(k −m)! |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
p m q k − m |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
m! (k −m)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−(λ+ µ) |
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|
p m q k − m |
|
|
|
|
|
|
e − (λ+ µ) (λ |
+ µ) k |
|
|
|
|
|
||||||
= |
e |
(λ |
+ |
µ) |
∑ |
|
|
k! |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
m! (k −m)! |
k! |
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k |
|
k! |
|
|
|
|
m |
|
k −m |
|
|
|
e − (λ+ µ) (λ+ µ) k |
|
|
|
|
k |
m |
|
m |
|
k |
−m |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∑ |
m! (k −m)! |
|
|
p |
|
q |
|
= |
|
|
k! |
|
|
|
∑ C k |
p |
|
|
q |
|
|
|
= |
|||||||||
m =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
e − ( λ + µ ) ( λ +µ ) k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
e − ( λ + µ ) ( λ +µ ) k |
|
|
−( λ +µ ) |
|
|
( λ +µ ) k |
||||||||||||||
= |
|
∑ Pm (k ) = |
1 |
= e |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k ! |
|
|
|
k ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ! |
m =0
т.е. формула Пуассона для параметра (λ+µ). Интенсивности потоков складываются.
Для нормального закона выполняется то же условие.
Свёртка двух независимых нормальных СВ образует нормальную СВ с параметрами (µx+µy), (σ2x+σ2y).
4. КОМПОЗИЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Сначала без потери общности рассмотрим СВ, равномерно распределенное на [0,а]. Их плотность 1/а на этом отрезке и 0 вне его.
Итак U 1 (x) = {a -1 ,0 ≤ α; иначе 0}
Рассмотрим две случайные величины Х и Y. Z=X+Y Є [0, 2а]
|
f (z)= ∫02a |
f1 (x) f2 (z − x)dx = ∫a |
f1 f2dx + |
2a∫ f1 f2dx |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
1) 0<z<a |
тогда f1 |
(x) = |
1 |
, f2 (z − x) = |
1 |
|
т.е. ∫z f1f2dx = |
1 |
|
|
z |
= |
z |
|
|
|
|||||||||||||
α |
α |
2 |
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
α |
|
0 |
|
α |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
293
2) a<z<2a Здесь необходимо выполнение двух условий:
0<x<a тогда f1 (x) = |
1 |
|
|
|
|
a |
|
1 |
|||
|
|
||||
и 0<z-x<a (т.е.x>z-a) тогда |
f2 (z − x) = |
||||
a |
|||||
|
|
|
|
Итак: ∫e |
f1 f2dx = |
1 |
2 |
||
z −α |
|
α |
Окончательно:
x |
α |
= |
(2α − z) |
|
||||
|
|
|||||||
|
|
α2 |
|
|||||
|
z −α |
|
|
|
||||
|
|
|
|
z |
|
|||
|
|
|
|
|
|
, 0 |
< z < α, |
|
|
|
|
α |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(z) |
|
|
2α - z |
, α < z < 2α |
||||
= |
|
|
|
|
|
|||
|
|
α 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0, иначе |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В наших обозначениях:
a−2 x,0 < x < a
U 2 (x) a−2 (2a − x), a < x < 2a
0,иначе
Для произвольного “n” получим по индукции
Un+1 (x) = |
1 |
a Un (x − y)dy = |
1 |
[Un (x) −Un (x − a)] |
|
a |
|||
|
a ∫0 |
|
Эти результаты обобщаются на произвольном отрезке [a,b].
294

5. КОМПОЗИЦИЯ ДВУХ ОДНОМЕРНЫХ НОРМАЛЬНЫХ СВ
Без потери общности проведем доказательство для нормированных нормальных СВ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ~ f1 (x) = |
|
|
|
1 |
|
e |
− |
x 2 |
, y ~ |
f2 (y) = |
1 |
|
e− |
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
z=x+y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
(z−x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
x |
2 |
+(z |
−x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
z |
2 |
|
|
z2 |
|
||||||
|
1 |
|
|
− |
|
|
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
|
2 |
x− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
f(z) = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
2 |
|
e |
|
2 |
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
||||||||||||||||
|
2π |
|
|
2π |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= 1 e |
− |
z2 |
|
|
1 |
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 e |
− |
z2 |
1 = |
|
|
1 |
|
|
|
− |
|
z |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
∫ |
|
|
|
e |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx = |
|
4 |
|
|
|
|
|
e |
|
2 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2π |
|
|
|
|
2 −∞ |
2π |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это плотность нормального закона распределения с параметрами 0
и 2 .
Обобщая получим:
X ~ N(µ1 ,σ1 ),Y ~ N(µ2 ,σ2 ) , то Z=X+Y
Z ~ N(µ1 + µ2 ; σ12 + σ22 )
Т.е. сумма независимых нормально распределенных СВ имеет нормальное распределение.
В дальнейшем это положение будет обобщено и на случайных многомерных СВ.
6. КОМПОЗИЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ НА ПЛОСКОСТИ
Если есть две независимые величины X и Y, то для случайной величины Z=X+Y справедливо: M(Z)=M(X)+M(Y); D(Z)=D(X)+D(Y).
В многомерном случае недостаточно определить только характеристики каждого признака в отдельности. Необходимо учесть и взаимосвязь признаков. Например, для двух независимых двумерных случайных величин V1(X1,Y1) и V2(X2,Y2), каждая из которых распределена нормально, необходимо задать наборы параметров:
{mx1 , my1 , σx1 , σy1 , px1 y1} и {mx2 , my2 , σx2 , σy2 , px2 y2}
Теперь проанализируем V=V1+V2. Для составляющих этой новой вершины справедливо: X=X1+X2 и Y=Y1+Y2.
Следовательно:
295

mx = mx1 + mx2 ;my = my1 + my2 ;
σ2 x = σ2 x1 + σ2 x2 ;σ2 y = σ2 y1 + σ2 y2
Авзаимосвязь признаков характеризуется корреляционным
моментом. K(X,Y), для которого справедливо: K xy |
= K x1 y1 + K x2 y2 Т.к. |
||||
ρxy = |
K xy |
, то ρxyσxσy = ρx1 y1 σx1 σy1 + ρx2 y2 σx2 σy2 |
|
||
|
|
||||
|
σxσy |
|
|
|
|
|
поэтому: |
ρx1 y1 σx1 σy1 |
+ ρx2 y2 σx2 σy2 |
||
|
|
ρxy = |
|||
|
|
(σ2 x1 + σ2 x2 |
) (σ2 y1 + σ2 y2 |
) |
Эти формулы позволяют выполнить композиции нормальных законов на плоскости. Теперь можно присоединить третью СВ V3(X3,Y3) и т.д. Если использовать трехмерные нормальные СВ, то необходимо использовать матрицу R и формулы в матричном виде.
7. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ. ЕЁ СВОЙСТВА И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ.
Рассмотрим пример: |
|
СВ X принимает значения: 0,1,2,3,… |
с вероятностями pi, т.е. |
P{x=i}=pi, P{x>i}=qi, i=0,1…. |
|
Тогда : qk=pk+1+pk+2+…, k≥0 |
|
Производящие функции для последовательностей {pi} и {qi} это:
P(S)=p0+p1S+p2S2+p3S3+….
Q(S)=q0+q0S+q2S2+q3S3+…
Оба ряда сходятся при S <1
∞
Производная p'(S) = ∑k pk S k −1 тоже сходится при S <1
k =1
Если S=1, то ∑kpk=M(X)
Разумеется, интерес представляет, в основном, КОНЕЧНОЕ математическое ожидание.
|
∞ |
∞ |
Тогда: Q(1)=P' (1)=M(X), т.е. |
M (X ) = ∑ j p j = ∑qk |
|
|
1 |
0 |
Отсюда следует, что M[X(X-1)]= ∑k(k-1)pk=P'' (1)=2Q' (1) И поскольку: D(X)=M(X2)-(M(X))2, то
D(X)=P' ' (1)+P' (1)-(P' (1))2=Q' (1)+Q(1)-Q2(1)
Это позволяет вычислять математическое ожидание и дисперсию Х, используя производящие функции P и ее производные: P’, P’’ в точке
S=1.
296
8. КОМПОЗИЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. СВЁРТКИ И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ.
Пусть X~f(x), Y~g(y); Z=X+Y. Исследователя интересует: h(z)=H’(z);
где H(z) = P(Z<z) = P(X+Y<z) = P((X<x) и (Y<y)) = f(x)g(z-x)dx
Для независимых CB (X и Y) независимы и Sх и Sy, поэтому:
M(Sx+y)=M(Sx)M(Sy)
В ряде случаев это позволяет упростить процесс композиции случайных величин. В общем случае используется таблица производящих функций для основных распределений (аналогично таблицам производных, интегралов, рядов и т.д), что и упрощает процесс аналитических выкладок. Проиллюстрируем на некоторых примерах применение этого аппарата.
А. Биноминальное распределение :
Производящая функция для b(k;n, p) = Cnk pk qn−k есть
n |
|
∑Cnk ( ps)k qn−k = (q + ps)n |
, т.е. b(k;n;p) – распределение суммы |
k =0 |
|
n
Sn = ∑X i независимых CB с производящими функциями: q+ps
1
т.е. {b(k ;n, p)}={b(k;1,p)}n*
(n-кратная свертка).
В частности, из мультипликативного свойства следует:
{b(k;m;p)} {b(k;n;p)}={b(k;m+n;p)}
Очевидно, что дифференцируя производящую функцию, получим:
M(Sn)=np и D(Sn)=npq
Для доказательства найдем первую и вторую производные: d(q+pS)n/dS = np(q+pS)n-1;
d2((q+pS)n)/dS2 = n(n-1)p2(q+pS)n-2.
Подставляя S=1 и используя выражение для M(X), D(X), получим:
D = n(n-1)p2 + np – (np)2 = npq.
Разумеется, для столь простого случая удобнее получить эти результаты на основе свойств математического ожидания и дисперсии суммы n независимых одинаково распределенных случайных величин, но в более сложных ситуациях данный подход эффективнее традиционного.
(q+pS)n(q+pS)m = (q+pS)m+n
297

т.е. сумма двух биномиально распределенных случайных величин также подчиняется биномиальному распределению. Непосредственное доказательство этого свойства – более трудоемко!
Б. Распределение Пуассона.
Производящая функция распределения Пуассона |
−λ |
|
λk |
||
p(k;λ) =e |
k! |
||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
k |
|
|
|
|
равна: ∑e−λ |
(λS ) |
= e−λ+λS = eλ(S −1) |
|
|
|
k! |
|
|
|
||
k =0 |
|
|
|
|
Отсюда: {p(k;λ)} {p(k;µ)}={p(k;λ+µ)} т.к. exp(λ(S-1))* exp(m(S-1))= exp((λ+m)(S-1))
Полезно сравнить мультипликативное свойство с непосредственным выводом. Объединение двух потоков Пуассона является потоком Пуассона. Это полезное свойство активно используется в актуарных расчетах.
При дифференцировании убеждаемся, что M(k)=D(k)=λ
Например, d(exp(λ(S-1)))/dS = λexp(λ(S-1)); d2(exp(λ(S-1)))/dS2 = λ2exp(λ(S-1));
Подставим: S=1 и получим результат.
В. Геометрическое и отрицательное биномиальное распределение.
Геометрическое: Х: p{x=k}=qkp, k=0,1,2……; p+q=1
∞ |
|
p |
|
Тогда производящая функция : p∑(qs)k = |
|||
1 − qs |
|||
k = |
0 |
d(p/(1-qS))/dS = pq/(1-qS)2; d2(p/(1-qS))/dS2 = 2pq2/(1-qS)3;
Подставив: S=1 и используя выражения для M(X), D(X), получим:
M(X)=pq/(1-q)2=q/p; D(X)= 2pq2/(1-q)3 +q/p –(q/p)2 = (q2 +pq)/p2;
Отсюда: M (x) = qp и D(x) = pq2 .
Здесь Х можно интерпретировать, как время ожидания ПЕРВОГО успеха (среди n испытаний).
Для отрицательного биномиального распределения
f (k; r; p) = C−k r pr (−q)k k=0,1,2…. P{Sr=k}=f(k;r;p)
298
Число неудач, предшествующих r-му успеху. Т.е. это r-кратная свертка геометрического распределения
{f(k;r;p)}={qkp}r*
|
|
|
p |
r |
Тогда производящая функция: |
|
|
||
(1 |
|
|||
|
|
− qs) |
||
При r>0: M(X)=rq / p; |
D(X)= rq / p2 |
Доказательство: F = (p/(1-qS))r;
dF/dS = pr*d((1-qS)-r)/dS = p-r(1-qS)–r-1(-q) = = (p/(1-qS))rrq/(1-qS) = F rq/(1-qS);
d2F/dS2 = d(dF/dS)/dS = d(F* rq/(1-qS))/dS =
=dF/dS* rq/(1-qS) + F*d( rq/(1-qS))/dS =
=F* rq/(1-qS)* rq/(1-qS) + F* rq/(1-qS)2(-1)(-q) =
=F*( rq/(1-qS)2 + rq2/(1-qS)2) = F* rq2*(1+r)/ (1-qS)2;
Подставив: S=1 и используя выражения для M(X), D(X), получим:
M(X) = pr/(1-q)rrq/(1-q) = rq/p;
D(X) = (p/(1-q))rrq2(1+r)/(1-q)2 + rq/p – (rq/p)2 = rq2(1+r)/p2 + rq/p
–(rq/p)2 =
=(rq2 +r2q2 + rpq – r2q2)/p2 = (rq2 + rpq) /p2 = rq/p2;
Кроме того: {f(k;r1;p)} {f(k;r2;p)}={f(k;r1+r2;p)}
Т.е. и для этого распределения сумма двух СВ подчиняется тому же закону.
Г: Свойства свертки: g f=f g ; (f g) h=f (g h) ; f (g+h)=f g+f h.
Эти свойства иногда позволяют упростить аналитические выкладки.
9. ПОЛУЧЕНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Пусть есть случайная величина Х, относительно которой предполагается, что она распределена по некоторому закону: f(x,O), где О – вектор параметров. Значения этих параметров – неизвестны, их надо определить на основании n наблюдений СВ, т.е. Хi, I=1…n.
299

Для этого строится произведение f(Xi, O), которое при логарифмировании превращается в сумму ln f(Xi,O). Экстремум этой суммы находится приравниванием к нулю частных производных по каждому неизвестному параметру. Возникает система уравнений относительно неизвестных параметров. Решение этой системы указывает оценки искомых параметров, оптимальные с точки зрения метода максимального правдоподобия.
А. Оценка максимального правдоподобия в биноминальном законе.
В “n” опытах событие реализовалось ”r” раз.
L = Cnr pr (1 − p)n−r
lnL = lnCnr + rlnp +(n − r)ln(1 − p)
∂∂p lnL = 0
rp − (1(n−−p)z) = 0
= r
p
n
Б. Оценка максимального правдоподобия в законе Пуассона.
f(x |
i |
) = e−λ |
λx i |
; |
i = 1, ..., n |
||||||||||
(xi )! |
|||||||||||||||
∏ f(xi ) = ∏e−λ |
x |
|
|||||||||||||
λ i |
|
|
|
|
|||||||||||
(xi )! |
|
||||||||||||||
ln∏ f(xi ) = ∑ln[e−λ |
λx i |
] = ∑( −λ) + ( ∑xi ) ln(λn− ∑ln[(xi )! |
|||||||||||||
(xi )! |
|||||||||||||||
∂ |
= −n + ∑xi |
1 |
−0 = 0 |
|
|||||||||||
∂λ |
λ |
|
|||||||||||||
∑ |
xi |
− n = 0 |
|
|
λ = ∑ |
xi |
|
= x |
|||||||
λ |
|
|
n |
В. Нахождение оценки параметра α для экспоненциального закона по методу максимального правдоподобия
f(xi ) = αe−αxi
∏ f(xi ) = ∏αe−αxi = αn e−α∑xi
ln∏ f(xi ) = lnαn + lne−α∑xi |
= nlnα − a∑xi |
||||||||
∂ln |
= n |
1 |
− ∑xi = 0 |
|
|
|
|
||
∂α |
α |
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
|
) |
x |
−1 |
|
−1 |
−∑x i = 0 |
α = (∑ |
i |
) |
= (x) |
|
||||
α |
n |
|
300